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1、Ch2 平面杆系的几何构造分析一、几何不变与几何可变 杆件结构在不计材料应变的条件下，杆系的形状或各杆的相对位置保持不变，称为几何不变体系。否则，称为几何可变。,二、基本概念 1刚片本身几何不变的杆件或几何不变的杆系，均可看作刚片。特别地，地基可看作刚片。2自由度 物体或体系运动时，彼此可以独立改变的几何参数的个数，称为该物体或体系的自由度。在坐标系中，独立的几何参数的个数就是独立坐标的个数。例如，,3约束 约束是指限制物体或体系运动的各种装置。分外部约束（体系与基础之间的联系，即支座）和内部约束（体系内部各杆或结点之间的联系）1)必要约束：保证体系几何不变的最少的、合理的约束,2)多余约束：
2、必要约束以外的约束。三、几何构造分析的内容1 约束数目2 布置是否合理四、几何构造分析的结果1、少约束，几何可变2、约束数目恰当，布置不合理，几何可变 约束数目恰当，布置不合理，几何瞬变 约束数目恰当，布置合理，无多余约束，几何不变3 有多余约束，几何不变 有多余约束，局部几何可变,五、约束与自由度的关系1.一根支杆或一个链杆的约束-可消除一个自由度-一个约束2一个铰支座或一个单铰的约束-可消除两个自由度-两个约束3一个固定支座或一个刚结点的约束-可消除三个自由度-三个约束,六、几何不变体系的组成规则,2两刚片的组成规则 两个刚片由一个实铰和不过该铰的一根链杆连接，构成几何不变，且无多余约束的
3、体系。或：两个刚片由不彼此平行，也不交于同一点的三根链杆连接，构成几何不变，且无多余约束的体系。,1点和刚片的组成规则-二元片组成规则 一个点和一个刚片用不在一条直线上的两根链杆连接，可组成一个几何不变的整体，且无多余约束。其中的两链杆称为二元片,3三刚片组成规则三刚片若两两之间用不在一直线上的三个铰相连接，则三刚片构成几何不变，且无多余约束的体系。,七、体系的几何组成分析举例,I、II刚片如图所示，把地基看作刚片III。由三刚片法则，I、II实铰于A；II、III由3，4杆虚铰于无穷远B；I、III由1，2杆虚铰于无穷远C。A、B、C三铰不在同一直线上，构成几何不变，且无多余约束的体系。,例
4、1,如图所示刚片，,刚片I、II由1，2杆虚铰于A；刚片II、III由3，4杆虚铰于B；刚片I、III由5，6杆虚铰于C；如果A、B、C三铰不共线，是几何不变；若共线就是瞬变体系。,CH3 静定梁与刚架原理:平面上三个平衡方程,叠加原理方法:取研究对象过程:结构由杆件组成,作结构的内力图就是作各杆的内力图,而作杆件的内力图就要确定杆端内力.,示例1 作弯矩图解：,M,L/2,L,B,E,Hb,L/2,A,C,D,Ha,Va,Vb,1 取整体为研究对象，MB=0，VAL+M=0，得：VA=-M/LY=0，VA+VB=0，得：VB=M/L,2 取左半为研究对象，MC=0，VAL/2=HAL，得：H
5、A=-M/2L（向左）X=0，HA-HB=0，得：HB=HA=-M/2L（向右）,取AD为研究对象，MD=0，,得：MDA=HAL=-M/2（右侧受拉 同理：MEB=HBL=-M/2（左侧受拉）,在集中力矩的右侧作截面，取BEC为研究对象，MC=0，MCE+HBL-VBL/2=0，得：MCE=M（下侧受拉）,MDC与MEC可由结点D和E的平衡条件得到。,CH 4 桁架内力的数解法（一）结点法 1.应用条件(1)一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。（结点有两个自由度，仅能建立两个平衡方程）（2）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均可用
6、结点法。2特殊杆件(1)连接两根不共线杆的结点，若该结点上无荷载作用，则此两杆的轴力为零。（二元体上无结点荷载，该两杆不受力）,(2)连接三根杆的结点上无荷载，且其中两根杆共线，则另一杆必为零轴力杆,(3)X形连接杆件的受力特点,(4)K形连接杆件的受力特点。,（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象）截面法的应用条件：1截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3个2截面单杆的概念（1）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于同一点。则此杆为截面单杆。如图中的a、b、c杆,a,b,c,a,（2）截面截的得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此平行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如
7、图中的a,(三)示例 1,求指定杆1，2，3的轴力,P,1,2,3,d,4d,作 II 截面，取右半为研究对象，MA=0，,得：N1=P（拉力）,作IIII截面，取右半为研究对象，Y=0，N2=-P（压力）,MB=0，,得：N3=-P（压力）,（四）结点法和截面法的联合应用 在一道题中，结点法和截面法都可以应用。求解桁架，不必拘泥与那种方法，只要能快速求出杆件的轴力，就是行之有效的。总之，1基本理论 隔离体（研究对象），平衡力系2技巧(1)结点法和截面法的联合应用，不分先后，简单、快捷求出内力为前提。(2)巧取隔离体，即巧作截面，避免求解联立方程。(3)尽力避免求未知力臂，可把所求力沿其作用线
8、延长至恰当位置后分解，先求分力，再用相似定理求该力。(4)结点法求解时，选恰当的坐标系，尽力避免求解联立方程。有零杆的结构，先去掉零杆。,三、组合结构的计算 组合结构的特点及计算过程(1)由链杆及梁式杆构成(2)先计算链杆的轴力，后计算梁式杆的内力(3)截面法时，避免截断梁式杆（受弯杆）,Ch 5 静定结构位移计算 一、基本概念1.位移的种类*角位移*线位移*相对位移（相对角位移，相对线位移）2使结构产生位移的因素*荷载。由于材料的应变而产生位移*温度变化。热胀冷缩而产生位移*支座移动。地基沉降*材料的干缩、制造误差,3计算结构位移的目的*验算结构的刚度。*为制作、架设结构等提供依据*为分析超
9、静定结构作准备4线弹性体系的特征*结构的变形或位移与其作用力成正比*结构的变形或位移服从叠加原理二、变形体系的虚功原理1.虚功的概念,2.变形体系的虚功原理的表述,3位移计算的一般公式,4、位移计算一般步骤,1）计算荷载作用下的MP图,3）图形相乘法,三、各种情况下的位移计算 1.荷载作用下的位移计算-忽略轴向与剪切变形 2.温度改变条件下的位移计算-不计剪切变形 3.支座移动条件下的位移计算-刚体的虚功原理 4.制造误差条件下的位移计算-只计算有误差的杆件内力即可 5.含无限刚性杆结构的位移计算-无限刚性杆的变形为零 6.含弹簧铰、弹簧支座结构的位移计算-弹簧也要作变形功,四、图形相乘法 1
10、.4个标准图形的面积与形心位置 2.非标准图形利用叠加法拆成标准图形 3.两个图形相乘，同侧取正号；异侧取负号。4.求纵距的图形一定是直线图形。,五、互等定理 1虚功互等定理,力系统PI在由PJ引起的位移与变形上应用变形体的虚功原理,反之,PI,PJ,位移与变形系统,力系统,力系统PJ在由PI引起的位移与变形上应用变形体的虚功原理,以上两式的右边相同，得：,当PI=PJ=1 时，相应的位移,得：2.位移互等定理-由力产生的位移,3.反力互等定理（适用超静定结构）-由位移产生的力,4.力与位移互等定理-力产生的力与位移产生的位移上作功,-由功的互等定理得来,-由功的互等定理得来,-功的互等定理特
11、例,6m,1m,2m,2m,6kN,2kN/m,例题：求C点的竖向位移,C,例题：求D点的竖向位移,力法的基本概念一、超静定结构和超静定次数1超静定结构的概念几何构造方面：有多余约束的几何不变体系。力学解答方面：方程的个数少于未知力的个数。2超静定次数的确定 去掉多余约束使超静定结构成为静定结构，所去掉的多余约束数目，就是超静定次数。,一般地，*切断链杆（或支杆）是去掉了一个约束，相应一个约束力；*拆开一个铰（或固定铰支座）是去掉了两个约束，相应两个约束力；*切端刚结点（或固定支座）是去掉了三个约束，相应三个约束力；*刚结点变为铰结点，是去掉了一个约束，相应一个约束力；,三、力法原理基本假设：
12、弹性小变形确定超静定次数，选取恰当的基本体系位移协调条件的确定（补充方程）计算柔度系数（单位未知力产生的位移），建立力法方程结构内力的叠加公式作内力图,示例1,L,L,EI,EI,A,B,C,P,解：1.该结构为一次超静定结构，平面上3个平衡方程不能求 解4个支座反力2.求解思路 注意到原结构在荷载作用下的内力和变形是唯一确定的，特别地，支座反力也是确定的。,示例1,L,L,EI,EI,A,B,C,P,因此，如果设X是一个支座反力，则原结构的内力与变形就与基本体系（其结构是静定的）在荷载P和支座反力X共同作用下的内力与变形等价。这样，原超静定结构的计算就转化为静定结构的计算。,3.实现方法*在
13、基本结构中，按叠加法把P和X的共同作用分别作用在基本结构上，,+,*荷载作用下的结构内力与变形,B,B,B/,MP,*力X未知，对应的内力与变形也未知 如果令力X=1，,*则，X作用下的结构内力与变形 与X=1作用下的结构内力与变形,X=1,X=1,*由位移协调条件 B处的竖向位移为零，即,或,X=1,B,B/,*带入位移协调条件-称为力法方程,即，,解得：,此即支座B的约束反力，其余支座反力可随之求出,4.内力图的做法,=,X,+,=,P,MP,MX,原结构,基本体系,5.小结 综上所述，在用力法求所给超静定结构时，所作的弯矩图最基本的有两个，MP图与M图。分别表示：*基本结构仅在荷载作用下
14、的弯矩图;*仅多余未知力等于1时的弯矩图。,MP图与M图图乘表示荷载P作用下在B端产生的竖向位移，M图自己与自己图乘表示多余未知力X=1时在B端产生的竖向位移。,*,求出X后，依,作出弯矩图,例题,2m,2m,4m,8 kN,EI=常数,解：1）确定超静定次数-2次,第一,第 二,+,=,11X1,21X1,22X2,12X2,1P,2P,3）作,4)求解力法方程,解得：,5）作弯矩图,12/7,24/7,M图，单位：kNm,四、对称性的利用,1.构造对称荷载 当给出的对称结构的荷载不对称时，可构造对称荷载，再取半结构。例如,=,+,六、超静定结构的位移计算,引言：超静定结构的位移计算不需要另
15、外推导公式，在力法的计算过程中，其方法已经存在了。下面以例题的形式加以说明。,超静定结构的位移计算,基本体系,X1,X2,q,超静定结构的位移计算,2）原结构等价于基本体系，则原结构在C点竖向位移，就等价于求基本结构在X1，X2 及分布荷载q共同作用下C点竖向位移。即，问题转化为求静定结构的位移问题。,超静定结构的位移计算,3）为求C处的竖向位移，在C处作用P=1，与MP图图乘即可。,超静定结构的位移计算,4）,小结：超静定结构的位移计算：1）选基本体系作出超静定结构的弯矩图，作为MP图 2）任选该超静定结构的一种基本结构，在拟求位移 的位置作用单位力，作出 图 3）,CH 7位移法-基本概念
16、,重点：位移法的典型方程、符号规则、弯矩图的画法,难点：符号规则、内力图、刚度系数的计算、含无限刚性杆、弹簧支承结构的位移法。,一、内力符号规则与内力图1.弯矩定义：以杆端受顺时针方向的弯矩为正，如图。,基本概念,基本概念,2.剪力与以前的定义相同，即微元体（或杆端）截面顺时针方向的剪力为正，如图。,基本概念,3.轴力与以前相同，杆件受拉为正，受压为负。,4.内力图的画法规则弯矩画在杆件受拉纤维一侧，不用标明正、负号；剪力图、轴力图画在任意一侧，标明正、负号。,二、位移法位移的种类与位移正、负号的规定,1.位移的种类 1）刚结点 角位移 2）结点线位移 3）杆端相对侧移,图示结构在荷载作用下，
17、结点B、C都要产生水平位移，同时，结点B还要产生转角。在位移法中，以杆件为基本研究对象，位移变量取在杆端。1）角位移：B，C端虽然有转角，但不作为位移法变量。角位移通常是刚结点的转角。2）线位移：BH，CH 是指结点发生的绝对位移，包括刚 结点和铰结点。3）杆端相对侧移：AB 是指A、B两截面发生的相对侧移，由于A截面的线位移为零，所以，AB就是BH。,2.位移的正、负号规则 1）角位移：以顺时针转动为正，计算时，总是先假定刚结点有顺时针方向转动。2）杆端相对侧移：截面发生顺时针方向的相对侧移为正，反之，为负。例图中的AB就是正的相对侧移。,3.位移法基本结构与未知量的确定,基本假设-弹性小变
18、形*受弯杆件受弯后，不改变杆件的长度。,*杆端侧移的方向垂直于杆轴线。,基本概念,*忽略轴向变形与剪切变形。其实，以上假设与力法中是相同的。,位移法基本位知量的确定方法10 结构中每个刚结结点为一个独立角位移，共有na个刚结点。20 附加链杆（或支杆）使结构没有结点线位移产生（包括刚结点与铰结点）。设，附加的独立的附加链杆（或支杆）数为nb 则，位移法变量的数目为na+nb，也就是位移法基本未知量的数目。,基本概念,三、位移法的基本思路-先修改，后复原。,1位移法变量：B,2修改的方法,基本概念,1)在B结点附加刚臂，设想刚臂的作用只是阻止结点B的转动，各杆的弯矩不能互相传递。,2)求杆端弯矩
19、。由于各杆的弯矩不能互相传递。所以AB杆与BC杆的弯矩可独自求解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端固定，另一端铰支的超静定杆；而AB杆就等价于两端固定的超静定杆，上面没有可产生弯矩的荷载。如下图。,基本概念,3)附加刚臂的约束力矩,取B结点为研究对象，得：RP=-qL2/8（逆时针）,此时结构的弯矩图为,RP,这里，依弯矩的符号规则写出的MBC，附加刚臂的约束力总是假定顺时针方向。,基本概念,4）复原的方法-消去约束力矩,依叠加原理，若令：R=-RP，则消去附加刚臂的作用可看作是下列两个图形的叠加。R=-RP的含义是：在B结点反作用RP,基本概念,问题：MR图怎么作？,在B结点施加力矩R，刚结
20、点B就有转动，显然，该转角与R的大小成正比。,显然，使得转角为1，所施加的力矩为 r，r 称为刚度系数。,R是已知的，所以，若能确定 r，那么，结点B的转角 也就确定了。,问题转化为：求 r,基本概念,用力法已经事先求得各类支撑情况下的杆端转角时所产生的内力，例如：,记：EI/L=i 称为杆件的线刚度,基本概念,那么，时的弯矩图就可作出称为,取结点B为研究对象，,得：r=7i,由前所述，消除约束力矩就是使,由此式解出转角，把 放大 倍，就得到了MR图。从而实现了MP图与MR图的叠加。,基本概念,代入RP与 r,5）弯矩图的作法：,基本概念,小结：,1.附加刚臂2.作荷载作用下的弯矩图MP，求出
21、约束力矩3.作刚结点单位转角时的弯矩图，求出刚度系数 r 4.依 解出5.依 作出弯矩图。,典型方程,四、刚架的典型方程,P,A,B,C,D,E,解：1）位移法变量：B，CH，画出变形图。,2）为使结构各杆在荷载作用下的弯矩不相互传递，需施加两种约束。,典型方程,然后作出MP图。由于荷载作用在水平杆的轴线上且不计轴向变形，故，弯矩图为零。增加的2个约束力为：,A,D,B,E,典型方程,3）如何消去两个约束力？,办法是：逐次达到R1、R210 在C处附加支杆，在B结点上作用力矩,使B转角，如图,20 在B处附加刚臂，在C结点上作用力使C处产生位移，如图。,典型方程,叠加右侧2个图，得：施加的两个
22、力共同作用下在B处的约束力矩及在C处的约束力如图,典型方程,即，,4）弯矩图的作法-消去最先附加的刚臂,典型方程,也就是，,+,+,典型方程,5）作M图,典型方程,位移法的典型方程,这就是位移法的典型方程。,典型方程,五、位移法的计算步骤1.确定位移法变量2.作MP图，求出R1P、R2P,典型方程,五、位移法计算应注意的问题,1.位移法过程中，判断一个杆件有无弯矩的方法是：1）该杆有无杆端转角 2）该杆有无杆端相对侧移 3）该杆上有无荷载作用,2.各图中R1P，r11，r12 的方向应保持一致画出 R2P，r21，r22的方向应保持一致画出,3.r11，r22 均为大于零的值，即施加的单位力与发 生位移的方向协调一致。,计算举例,求作弯矩图，EI=常数，各杆长L=6m,19 kN,A,B,C,D,E,解：1.位移法变量：B，AH,2.附加约束作MP图，并求R1P，R2P,R1P=0，R2P=19 kN,计算举例,取结点B的弯矩平衡，得：r11=10i，r12=6i/L,取横梁为研究对象，得：r21=6i/L，r22=15i/L2,计算举例,5.作M图,6kN/m,杆长都是 6m,EI=常数,=-54/25i，=-54/25,
