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1、14-3 有限自由度体系的稳定 静力法和能量法,稳定计算最基本最重要的方法,静力法：考虑临界状态的静力特征。（平衡形式的二重性）,能量法：考虑临界状态的能量特征。（势能有驻值，位移有非零解）,要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置，列平衡方程，由此求临界荷载。,=0，原始平衡,0，新平衡形式,特征方程（稳定方程）,临界荷载,确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.,1、静力法,对于具有n个自由度的结构，新的平衡形式需要n个独立的位移参数确定，在新的平衡形式下也可列出n个独立的平衡方程，它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方
2、程组。根据临界状态的静力特征，该齐次方程组除零解外（对应于原有平衡形式），还应有非零解（对应于新的平衡形式），故应使方程组的系数行列式为零，D=0即为稳定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载Pcr。,例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。,解：1）静力法,设变形状态 求支座反力,列变形状态 的平衡方程,如果系数行列式=0y1，y2不为零，对应新的平衡形式。,对称问题可利用对称性做。,2、能量法,静力法对等截面压杆的稳定分析较为简单，而对变截面杆、有轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。,A点为稳定平衡，偏离A点其势能将增加，故
3、知稳定平衡位置的势能为最小。,B点为随遇平衡，偏离B点=势能不变。,C点为不稳定平衡，偏离C点其势能将减小，故知不稳定平衡位置的势能为最大。,对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小球情况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载在位移上做功W（外力势能UP=W）使体系偏移，内力在变形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能=U+UP即总势能的增量。,如总势能=U+UP 0（0），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；如总势能=U+UP=0（=0），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能=U+UP 0（0），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。,用能量法求临界荷载，依据于临界状
4、态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：,弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即=0或：=0（单自由度体系）,（用于多自由度体系）,=0,弹性体系的平衡方程势能驻值原理：对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能为驻值，即：=0,=应变能U+外力势能UP,MA=k,弹性应变能,荷载势能:,应用势能驻值条件:,位移有非零解得：,单自由度体系也可由=0解得：,总势能是位移的二次函数，1）PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当=0，为极小值0。,对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值,2）Pk/l，当0，恒小于零（为负定）(即
5、UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)。当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。,3）P=k/l，当为任意值时，恒等于零(即U=UP)。体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l。,结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0，且位移有非零 解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。,2）能量法,在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移,D点的水平位移,弹性支座应
6、变能:,荷载势能:,体系总势能:,势能驻 值条件:,以后的计算步骤同静力法,能量法步骤:给出新的平衡形式;写出总势能表达式;建立势能驻值条件;应用位移有非零解的条件,得出特征方程;解出特征值,其中最小的即临界荷载Pcr。,势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。,体系总势能:,总势能是位移y1、y2的对称实数二次型。,1）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。,5）如果kl/3 Pkl，是不定的。,2）如果P=kl/3=Pcr，是半正定的（当y1=y2 时，=0）。,4）如果P=kl，是半负定的（当y1=y2 时，=0）。,3）如果Pkl，是负定的。,由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然
7、是：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。（或说：势能达驻值，位移有非零值）,A,B,C,k,例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。,1、静力法：两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程并求解：,求失稳曲线：,2、能量法：外力势能：,应变能：,总势能：,根据势能驻值条件：,由位移参数不全为零得稳定方程：,以下计算同静力法。,例3：用静力法求图示体系的临界荷载。,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程：,B,例
8、3：用能量法求图示体 系的临界荷载。,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,求变形能和外力势能：,B,当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。,例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程：,由位移参数不全为零得稳定方程：,A,B,C,D,例4：用能量法求图示体系的临界荷载。EI=,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,由位移参数不全为零得稳定方程：,A,B,C,D,求变形能和外力势能：,利用对称性求 EI=,1、正对称失稳取半刚架如图：取1为位移参数，设失稳 曲线如图。,2、反对称失稳取半刚架如图：取1为位移参数，设失稳 曲线如图。,
