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1、2011年全国大学生数学建模夏令营承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模夏令营竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设
2、置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学参赛队员（打印并签名）：1.张童童2. 柳树有3. 潘康指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2011年8月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:2011年全国大学生数学建模夏令营编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）:评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）:全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:手机购买方案摘要大学生都把手机当成了一种日常生活中的必需品。同时，来越多的商家也已开始把 大学生作为手机购买群中最重要的消费群体之一，开始为大学生量
3、身订做了很多款适合 大学生使用的手机。作为一种重要的联络手段，一种高端科技产品，一种时尚的象征和 身份的标志，手机在校园里的普及率已经超乎人们的想象，在有些院校几乎达到“人手 一部”。但是，如何评价一个手机品牌，帮助大学生选择手机是一个很需要解决的问题。本文在考虑功能、价格、手机待机时间、售后服务、品牌、销量因素的基础上，向 大学生朋友们选择手机品牌的决策中提出一些指导性意见。首先，选择市场上较受欢迎 的8种不同品牌的手机（诺基亚、三星、索爱、联想、LG、步步高、长虹、OPPO）， 然后，针对每个手机品牌选择销量最好的5款机型并获得每款机型的价格、功能、待机 时间、售后服务、品牌、销量的相关的
4、权威性数据。最后，就每一个指标首先运用九级 标度法，再利用层次分析法分别评定针对六个因素中的某个因素，哪一种品牌更优。基 于此，给大学生以选择某个手机品牌的决策方案。关键词：九级标度层次分析主成分分析手机品牌一、问题重述如今，大学生都把手机当成了一种日常生活中的必需品。同时，来越多的商家也已 开始把大学生作为手机购买群中最重要的消费群体之一，开始为大学生量身订做了很多 款适合大学生使用的手机。作为一种重要的联络手段，一种高端科技产品，一种时尚的 象征和身份的标志，手机在校园里的普及率已经超乎人们的想象，在有些院校几乎达到 “人手一部气我们在此并不准备讨论大学生购买手机的利与弊，是向目前大量准备
5、购 买新手机或者即将更换自己的手机的大学生朋友们提出一些指导性意见，即考虑功能、 价格等因素，给出选择不同品牌手机的决策方案。二、基本假设针对本问题建立如下合理的假设：1、购买手机的大学生都是在同一个市场里选择手机（如：淘宝网），即不考虑不同 市场手机的差价；2、不考虑性别对手机选择的影响，即不分“男式手机”和“女士手机”；3、购买手机的大学生都计划通过正规渠道购买手机，即不考虑购买者是否能通过 其他渠道是手机降价（如在手机市场购买“水货”等）以及所购买手机是二手；4、由于手机的价格每天都会有浮动以及受到所参与的手机市场数据的限制，在此 假设购买手机的大学生都是在2011年8月17日去淘宝网购
6、买手机；5、由于某一品牌手机款式很多，本文只考虑该品牌手机在淘宝网中周销量前五名 手机型号代表本品牌。三、符号与说明某手机品牌的五种型号;某手机品牌的某型号销售量;某手机品牌的的待机时间;某手机品牌的价格;某手机品牌的加权价格;某手机品牌的平均待机时间;xij某手机品牌的某一指标的数值;四、问题分析大学生选择何种手机，是一个综合问题。如何从价格、功能、待机时间、售后服务、 品牌即本品牌的销量来决定购买哪个品牌的手机是很难抉择的。本题中，首先，针对一 个品牌的手机需要大量的权威数据和手机相关信息来说明该手机的性能，其次，结合多 个品牌的手机的功能、价格等因素给其赋予综合评定指标。最后，将每个因素
7、的评定结 果进行排序，通过对于每种考虑到的因素的品牌排序来说明何种品牌的手机更适合大学 生购买。由于手机品牌和型号种类繁多，本文只考虑市场上较受欢迎并且市场占有率较大的 几种手机品牌，我们选择了 8中手机品牌，即诺基亚、三星、索爱、联想、LG、步步 高、长虹、OPPO。并选择每种品牌的销量最高的5款手机型号作模型运算，最终得到 结果。五、模型建立5.1数据准备：一款手机，它的价格必然会影响人们是否购买该手机。对于某一个品牌手机的总体 价格也同样影响着它的销售量。本文通过官方网站分别查询诺基亚、三星、索爱、联想、 LG、步步高、长虹、OPPO手机在各自品牌中销量前五的官方价格，就如诺基亚手机，N
8、okia/ 诺基亚C5-03周销量3798件排行第一，价格1195元；诺基亚5000周销量3532件排 行第二，价格196元;Nokia/诺基亚5800W周销量1334件排行第三，价格1579元;Nokia/ 诺基亚5230XM周销量1187件排行第四，价格916元；Nokia/诺基亚E63周销量1005 件排行第五，价格1059元。然后将上述各品牌的销售前五的型号的价格和销量结合起来，做加权处理，得到一 个加权价格，将这个价格作为本品牌在市场上的平均价格，它将影响本品牌在市场的销 售情况。具体如下：/田浴苴口占由壬土n右无坏开ujb* k k k夭n k 仙i白如左酉住昌外星ivn x x1
9、假设呆品斤牌手机匕有五款型号 1、2、3、4和 5，I他们的销售量分别问1、2、x x xJ J J J J3、4和5，他们的几个价格分别为i、2、3、4和5，则丁=&项2 Ji=1i=1作为该款手机在市场上的加权价格，J将影响本品牌是否被更多的人们购买。一款手机的待机时间，也影响人们是否选择本手机。上述各个品牌手机的待机时间 考虑如下：/由决 口岫午士n 右工块开un k k k k 壬口 k 仙/pi的土士n 口日八甲斗 d d假设品牌手机有五款型号1、2、3、4和5，他们的待机时间分别为、2、 d3、d4 和 d5 .则d = z5i=1作为该款手机在市场上的平均待机时间，d将影响本品牌
10、是否被更多的人们购买。对于手机的品牌因素对消费者购买欲的影响，本文通过查找资料，将上述品牌进行 排序，他们的顺序越是在前，消费者对它的购买欲强。售后服务同样影响人们购买的欲望，通过查找资料，对不同品牌进行打分，他们的 分值决定了他们的售后服务好坏。分值越大，售后服务越好。对于销量的影响，通过将各品牌的销售前五加和产生销售总量，销售量给购买者提 供信息，当然销量大的品牌更加受消费者的喜欢，销量越多，消费者的购买欲越强。对于手机功能对消费者的影响，运用主成分分析法进行处理，将一个手机品牌的功 能信息记录到表（表5.1），对其进行主成分分析。x17x27:x87x x11 12x x将表中的资料写成
11、矩阵形式：X = 2122. .x x并求出指标均值x_ =1 xt=1为了消除原来各指标的量纲，1- 8182x ）2，（i=1，2，.，7）。 i与修正方差S*2 =1 （ xi 6 tit=1使各指标之间具有可比性，需对原资料作标准化处理yti=，Y=，一，1, ,1 TI计算其相关系数矩阵R=（r.k =-（YTY），j=1，2，7），其中r =1歹y y是iJ 8X7 7ij 6 ti tji=1第i个指标与第j个指标之间的样本相关系数，并进一步由R的特征方程”-人17=0计 算出其特征值人.（i =1，2，7）。I然后对最优加权因子由式c7S = y 人.i=1进行数据融合，得到功
12、能影响购买欲的结果，如下表5.1表5.1通话时间像素上网智能视频GPS其他综合影响（SQ诺基亚2.832.21.61.81.25.45.1486三星3.662.81.621.65.47.5267索爱3.46.42.81.621.268.064LG14.22.61.21.41.645.8884联想1.422.20.41.20.43.43.2781OPPO22.6201.205.44.2312J H J H 步步高2220104.43.3168长虹6.81.42.201.40.82.61.23855.2建立模型经过数据准备后，最终得到各手机品牌的功能、价格、待机时间、售后服务、品牌、 周销量对消费
13、者的购买欲影响矩阵，如下表5.2表 5.2-1价格（元）待机时间（小时）功能售后服务（分）品牌（排名）周销量（件）诺基亚811.27437.65.148686110856三星1943.156867.52677329850联想703.33043.27817153158OPPO884.422964.23127462000LG1380.773205.88847943131J H J H 步步高678.37234.43.3168677952长虹315.9817241.2385628394索爱1556.71427.28.06480336515.2.1层次分析图利用层次分析法和九级标度法为基础建立模型，通
14、过对数据的分析研究建立如下图 的层次结构分析图（图5.2-1）（下页）准则层B但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并5.2.2构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重 常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大 程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性 程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。设现在要比较n个因子X = 气,%，xn对某因素Z的影响大小可以采取对因子进行两两比较建立成对
15、比较矩阵的办法。即每次取两个因子Yi和Yj，和Y.对z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A =（a.），称A为X z之间的成，ij n x n对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出若Y与Yj对Z的影响之比为。司，则Y与r对z的影响之比应为:ajiaij关于如何确定七的值引用数字2及其倒数作为标度。表522列出了 2标度的含义:表 5.2-2标度135792,4,6,8倒数表示两个因素相比，具有相同重要性 表示两个因素相比，前者比后者稍重要 表示两个因素相比，前者比后者明显重要 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 表示两个因素相比，前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值那么因素j与因素
16、i重要性之比若因素i与因素j的重要性之比为， 为 a =1/a,.1Jn (n - 1)最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素 都和某个元素比较，即只作n-1次比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判 断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避n(n -1) .,、 一一， 一、一一 ，、.免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从 而导出一个合理的排序。5.2.3单层次单排序及一致性检验判断矩阵A对应于最大特征值人max的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应 因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这
17、一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对 因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果 比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：a a = a，i, j, k = 1, 2,., n对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：(i) 计算一致性指标CICI =RImaxn 1(ii)查找相应的平均随机一致性指标RI。n=1,2,，9对，Saaty给出了 RI的 值，如下表所示：n123456789RI000.580.91.121.241.321.411.45RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩
18、阵：随机地从1-9及其倒数中 抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值* max ,并定义（iii）计算一致性比例CRCR :CI二 RT当CRV0.01时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当 修正。5.2.4层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元 素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自 上而下地将单准则下的权重进行合成。设上一层次（A层）包含A1, A2，,A共m个因素，它们的层次总排序权重分别为a，a，a。又设其后的下一层次（B层）包含n个因素B，B，B， 12m12n
19、它们关于A的层次单排序权重分别为b ，b ，b ，（当B与A无关联时， J1J 2 Jnji jbj = 0 ），现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b， b 2,，bn，计算按表5.2-3所示方式进行，即b =堂 b a，i=1,2，nj=i表 5.2-3VAA1a1A2a2AmamB层总排序权层B 值bbb切b aB1 j j111121 mj=1bbbb aB2 j j221222 mj=1b aBbbbnj jnn 1n 2nmj=1对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这 是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，
20、各成对比较判断矩阵都已具有较 为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分 析结果较严重的非一致性。设B层中与A.相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单 排序一致性指标为CI(j),(j=1,2，,m),相应的平均随机一致性指标为RI(j),则B层总排序 随机一致性比例为jj) aCR = jiL RI (j) ajj=1当CRV0.01时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：(i)如何根据实际情况抽 象出较为贴切的层次结构；(ii)如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理
21、。层 次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学 管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：(i) 它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中 的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。(ii)比较、判断过 程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量(或定 性与定量结合)的方法。六、模型求解6.1准则层的判断矩阵矩阵如表6-1满意度AB1B2B3B4B5B6B1115347B2114547B31/51/41523B41/31/51/511/32B51/
22、41/41/2313B61/71/71/31/21/316.2方案层的判断矩阵矩阵如表6-2 (下页)功能B1C1C2C3C4C5C6C7C8C111/31/44521/23C2311/267425C342178536C41/41/61/7121/31/51/2C51/51/71/81/211/41/61/3C61/21/41/53411/32C721/21/356314C81/31/51/6231/21/41(2) 、价格B2C1C2C3C4C5C6C7C8C11541/21/4231/3C21/511/21/61/81/41/31/7C31/4211/51/71/31/21/6C42651
23、1/3341/2C548731562C61/2431/31/5121/4C71/3321/41/61/211/5C837621/2451(3) 、待机B3C1C2C3C4C5C6C7C8C111/2241/3536C221351/2647C31/21/3131/4425C41/41/51/311/621/23C532461758C61/51/61/41/21/711/32C71/31/41/221/5314C81/61/71/51/31/81/21/41(4) 、售后B4C1C2C3C4C5C6C7C8C115268437C21/511/4241/21/33C31/24157326C41/61
24、/21/5131/31/42C51/81/41/71/311/51/61/2C61/421/33511/24C71/331/246215C81/71/31/61/221/41/52品牌B5C1C2C3C4C5C6C7C8C112358647C21/21247536C31/31/2136425C41/51/41/31421/23C51/81/71/61/411/31/51/2C61/61/51/41/2311/32C71/41/31/225314C81/71/61/51/321/21/41(6)、销量B6C1C2C3C4C5C6C7C8C112348657C21/21237546C31/31/2
25、126435C41/41/31/215324C51/81/71/61/511/31/41/2C61/61/51/41/3311/22C71/51/41/31/24213C81/71/61/51/421/21/316.3 C层的总排序的结果C层次总排序的结果如表6-3所示。表 6.3-1、指手机、标品牌、功能B1价格B2待机时 间B3售后服 务B4品牌B5销量B6诺基亚C10.10590.10590.15720.32860.33130.3313三星C20.23070.02360.23070.07110.23070.2307索爱C30.33130.03270.10590.22940.15720.1
26、572联想C40.03270.15720.04770.04770.07090.1059长虹C50.02360.33130.33130.02330.02360.0236Oppo C60.07090.07090.03270.1060.04770.0477LG C70.15720.04770.07090.15690.10590.0709步步高C80.04770.23070.02360.03690.03270.0327综合结果: 表 6.3-2诺基亚三星索爱联想长虹oppoLGJ H J H 步步高1.36031.01731.01380.46220.75670.37590.60960.4042对上述所
27、有的排序进行一致性检验，编写MATLAB程序进行验证，求解如下:CR(1)=0.0292,CR(2)=0.0292,CR(3)=0.0292,CR(4)=0.0432,CR(5)=0.0292,CR(6)=0.0292CR=0.0300由于所有CR(j)和总的CR都小于0.01，认为层次所有排序结果具有较满意的一致性 并接受该分析结果。七、结果分析(1) 从B1的排序可以得出：从功能方面考虑，从最好到比较差的手机品牌顺序为 索爱、三星、LG、诺基亚、OPPO、步步高、联想和长虹。比较看重功能的同学可以按 此顺序选择手机品牌。(2) 从B2的排序可以得出：在价格方面，从最便宜到比较贵的手机品牌顺
28、序为长 虹、步步高、联想、诺基亚、OPPO、LG、索爱和三星。比较看重价格的同学可以按 此顺序选择手机品牌。(3) 从B3的排序可以得出：在待机时间方面，从最长到比较短的手机品牌顺序为 长虹、三星、诺基亚、索爱、LG、联想、oppo、步步高。比较看重待机时间的同学可 以按此顺序选择手机品牌。(4) 从B4的排序可以得出：在售后服务方面，从最好到比较差的手机品牌顺序为 诺基亚、索爱、LG、oppo、三星、联想、步步高、长虹。比较看重售后服务的同学可 以按此顺序选择手机品牌。(5) 从B5的排序可以得出：在品牌方面，从影响最好到比较差的手机品牌顺序为 诺基亚、三星、索爱、LG、联想、OPPO、步步
29、高和长虹。比较看重品牌的同学可以按 此顺序选择手机品牌。(6) 从B6的排序可以得出：在销量方面，从最多到比较少的手机品牌顺序为诺基 亚、三星、索爱、联想、LG、OPPO、步步高和长虹。比较看重销量的同学可以按此顺 序选择手机品牌。(7) 从综合方面考虑，从最好到比较差的手机品牌顺序为诺基亚、三星、索爱、 长虹、LG、联想、步步高和OPPO。比较看重综合因素的同学可以按此顺序选择手机品 牌。综上可以看出，综合考虑，诺基亚的综合排名相对较高，这和目前大学生所使用于 机品牌多数为诺基亚的事实较为符合，可见模型较为成功。八、模型的评价与推广本模型考虑了较多数量的手机品牌，并分别就手机品牌选择了其在市
30、场上销量较 好而5款型号的手机信息，数据量充足。另外，在于机功能等因素的衡量上运用了科学 的九级标度法，尤其在考虑手机功能因素时，我们考虑了通话时间、像素、智能与否、 上网效果、是否有GPS功能及其他使用功能等多种小因素，并运用主成分分析法将多 种小因素综合成一种归为于机功能这一大因素的运算结果。在此基础上运用层次分析法 得到最终的排序结果，且最终结果是针对手机品牌给出决策方案，符合题中要求，结果 具有代表性。然而本模型还是有自己的缺点，首先，由于手机功能非常多，为了建模过程简单 一些，本文从中筛选了相对比较重要的功能，但也舍去了许多有用的功能。比如录音功 能，计算器等，这是模型的实用程度下降
31、了。另外，手机是以中国个性化十足的产品。 如果深入分析购买者的心理的话，需要用到心理学知识，这个模型只是从客观上描述了 购买者对手机的鉴别和选择过程，很多主观因素没有考虑。参考文献【1】包仁中，手机购买研究，www.beiren.info, 2011/8/15【2】 【3】 附录(1) 一致性检验程序：clearfid二fopen(txt3.txt ,r);n1=6;n2=8;a二口；for i=1:n1tmp=str2num(fgetl(fid);a=a;tmp; endfor i=1:n1str1二char(b,int2str(i),=;);str2二char(b,int2str(i),=
32、b ,int2str(i),;tmp;);eval(str1);for j=1:n2tmp=str2num(fgetl(fid);eval(str2);endendri=0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45;x,y=eig(a);lamda二max(diag(y);num=find(diag(y)=lamda);w0=x(:,num)/sum(x(:,num);cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)for i=1:n1x,y=eig(eval(char(b,int2str(i);lamda=max(diag(y);num=find(di
33、ag(y)=lamda);w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num);cr1(i) = (lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);endcr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0(2) 主成分分析程序：函数：function s=ronghe(y)m,n=size(y);y1=mean(y);for j=1:nfor i=1:my2(i,j)=y(i,j)-y1(j);endend r=y2*y2;h,d=eig(r); s=max(max(d);a,b=find(d=s) hl=h(:,b);s=y*hl；主程序：A=2.8 32.23.6 62.8 1.63.4 6.4 2.8 1.61 4.2 2.6 1.21.4 22.2 0.42 2.6 2022206.8 1.4 2.2 0 ;B=ronghe (A);1.6 1.8 1.2 5.421.6 5.421.2 61.4 1.6 41.2 0.4 3.41.2 05.4104.41.4 0.8 2.6
