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1、第三节扭转时横截面上的应力一、应力分布规律为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力 的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。圆棒扣转变形取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成 许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩mA、mB，在小变形的情况下，可以看 到圆棒的变形有如下特点：1. 变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没 有改变；2. 表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度Y，原来的矩形变成平行四边 形。两端的横截面绕轴的中心
2、线相对转动了一个角度平，叫做相对扭转角，见下图。观看动画 理解微元体的获得。扭转圆轴微元线段圆轴扭转变形通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果: 各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角 度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没 有正应力产生； 圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变 形，因此，在横截面上应有剪应力； 变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。 所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。由此知道扭转时横截面上只
3、产生剪应力，其方向与半径垂直。下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图 a)。假想ODC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d甲，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行 四边形ABCD，轴表面a点的剪应变就是纵线歪斜的角丫，而经过半径OD上任意点h的纵 向线EH在杆变形后倾斜了一个角度Yp，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上 述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为P，由于构件的变形通常很小， 即皿 WV K tfff = 四 ADHH HR?产码=而=由所以切(a)由于截面ODC象刚性平面
4、一样地绕杆轴线转动，图上O2HH与 ODD1相似，得HH p而示(b)Vp = P将式(b)代入(a)式得？ 以(1-40)上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面 点的剪应变最大。各点的剪应变Yp与离中心的距离P成正比。根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即c=G亦 在弹性x围内剪应变y越大，那么剪应力c也越大；横截面上离中心为？的点上，其剪应力为七；轴表面的剪应力为匚因此有 Tp=G yp, t=G ytp P=:代入(1-40)式可得目(1-41)上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是：横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正
5、比。圆心处剪应力为零，轴表面的剪应力C最大。分布情况如下图所示。如成疽！ m演示动画在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律。即、=T代(1-42)二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力要计算剪应力，只知道了横截面上剪应力分布规律还不够，还必须分析截面上的扭矩M与剪应 力c之间的关系。在截面上任取一距中心为？的微面积dA，作用在微面积上的力的总和dA 对中心O的力矩等于Cp -dA.p。截面上这些力矩合成的结果应等于扭矩M，即M = f lM dM = dA将式(1-42 )代入得_MR7, = f dA令，称做截面的极惯性矩。那么上式可以改写为p再令，称做抗扭截面模量。那么得到MZ = W
6、, 、(1-43)将式(1-43)代入式(1-42)，可得出横截面上任一点的剪应力计算公式M p% = 77/ 、p(1-44)三、极惯性矩 J p与抗扭截面模量W p的计算极惯性矩Jp与抗扭截面模量Wp是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算。实心同轴求用 对实心圆轴来说，如上图，可以取一圆环形的微面积dA,那么dA=2兀pdp，因此P =-血=以 P对 0. d322Jd =略舞16对内径为d外径为D的空心圆轴，它的极惯性矩Jp与抗扭截面模量Wp分别为32p 6D，令d/D=a，那么=夕1-心51叫1-tlD1% = (1-ot4) 0.2Bl-cz4)应当注意的是：圆形截面的极
7、惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差；而它的抗扭截面模量却 不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。下面是两道例题，供读者参照。例1-22.设搅拌轴的转速为n = 50r/min，搅拌功率为N=2kW，搅拌轴的直径d=40mm，求轴内 的最大应力。解析:3 rA/= 955 x 103=9550 x = 3S2.轴的外力偶矩为丸Nm,_= 0.2 = 0.2 x4O3 = IZSx抗扭截面模量为Nm杆在扭转时的最大剪应力为M 382xl03,例1-23 .有一实心圆轴，直径为d=81mm ；另一空心轴的内径为d=62mm，外径为Q=102mmm23 试比较这两根轴的抗扭截面模量。解析:N.m实心轴阡EXmfyp= 0.2Z；3(1-og*) = 0.2x102空心轴由此可见，在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较 大的外力矩。在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料。这从圆截面的应力分布也 可以看出，实心轴圆周上的最大剪应力接近于许用剪应力时，中间部分剪应力还与许用剪应力相 差很远，中间的材料大部分没有充分发挥它的作用。但空心轴比实心轴加工制造困难，造价也高， 在实际工作中，要具体情况具体分析，合理地选择截面的形状与尺寸。
