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1、菱形与抛物线5、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB OC,ZAOC=90,ZBCO=45, BC=12l： Z,点 C 的坐标为(-18, 0).(1) 求点B的坐标；(2) 若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4, OD=2BD,求直线DE的解 析式；(3) 若点P是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、 Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.5、解：(1)过点B作BFx轴于F在RtABCF中VZBCO=45, BC=6 .一.2.CF=BF=12.C的
2、坐标为(-18, 0).AB=OF=6.,点B的坐标为(-6, 12).(2)过点D作DGy轴于点G.ABDG .ODGsOBAAB=6, OA=12.DG_OD_OG 2,AB OB OA 3.DG=4, OG=8 .D (-4, 8), E (0, 4)设直线DE解析式为y=kx+b (k0)4 - ak+bwb二 4.厂b二 4.直线DE解析式为y= - x+4.(3)结论：存在.设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E (0, 4), F (4, 0), OE=OF=4, EF=4 如答图2所示，有四个菱形满足题意. 菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边.则有 PiE=P
3、iQi=0E=4, P1F=EF - P1E=4瑚:-4.易知 P1NF为等腰直角三角形，.崩卜二皿=#户4 - 2匝；设 P1Q1 交 x 轴于点 N,则 NQ1=P1Q1 - P1N=4 -(4 - 2 框)=2如,又 0N=0F-NF=2也，.叫(2方，-2也)； 菱形0EP2Q2，此时0E为菱形一边.此时Q2与Q1关于原点对称，.Q2(-2也，22)； 菱形0EQ3P3，此时0E为菱形一边.此时P3与点F重合，菱形0EQ3P3为正方形，Q3 (4, 4)； 菱形0P4EQ4，此时0E为菱形对角线.由菱形性质可知，P4Q4为0E的垂直平分线，由0E=4,得P4纵坐标为2，代入直线解析式y
4、=-x+4得横坐标为2,则P4 (2, 2)， 由菱形性质可知，P4、Q4关于0E或x轴对称，Q4 (-2, 2).综上所述，存在点Q，使以0、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点 Q 的坐标为：Q1(W2,-W2), Q2(-2血，2应),Q3 (4, 4), Q4 (- 2, 2).6. (2012-铁岭)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A (4, 0),抛物线顶点为E, 它的对称轴与x轴交于点D.直线y= - 2x - 1经过抛物线上一点B (- 2, m)且与y轴交于 点C,与抛物线的对称轴交于点F.(1) 求m的值及该抛物线对应的解析式；(2) P (x, y)是抛物线上的一点，
5、若Saadp=Saadc，求出所有符合条件的点P的坐标；(3) 点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度 匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.6、解：(1)：点 B (- 2, m)在直线 y= - 2x - 1 上 .m=3 即 B (-2, 3) 又.抛物线经过原点O .设抛物线的解析式为y=ax2+bx 点B (- 2, 3), A (4, 0)在抛物线上.pa- 2b=3. 1喝十北二0，1解得：2b= - 1.设抛物线的解析式为7=4；(2)VP
6、 (x, y)是抛物线上的一点，又.点C是直线y= - 2x - 1与y轴交点，若 Saadp=Saadc，.C (0, 1), .OC=1,;.点P的坐标为P(北灵，D , P? (2-2扳,1) , P3 (2 -1)(3)结论：存在.抛物线的解析式为f.顶点E (2,- 1)，对称轴为x=2；点F是直线y= - 2x - 1与对称轴x=2的交点，.F (2,-5), DF=5.又VA (4, 0),AE= 5.如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形： 菱形AEM1Q1.V此时 DM1=AE5, M1F=DF-DE-DM1=45,t1=4 -鹏； 菱形AEOM.V此时 DM =D
7、E=1,2.M2F=DF+DM2=6,.七6； 菱形aem3Q3.V,此时 EM3=AE=5,DM3=EM3 - DE=，ST,.M3F=DM3+DF= (.舌-1) +5=4+ 无，.七=4+必； 菱形AMEQ .44此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H,则AEXM4Q4,V.易知 AED-AM4EH, hL瓯即乌!侦 .蛇一DE，即，亏一.DM=ME-DE=E - 1=里 4 422.MF=DM+DF=+5=，22得略=言，13存在点M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为:t =4综上所述，-5）I2. （2010-恩施州）如图，在平面直角坐
8、标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式.（2）连接PO、PC，并把APOC沿CO翻折，在点P，使四边形POP C为菱形？若存在： 在，请说明理由.（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的 坐标和四边形ABPC的最大面积.（3，0），与y轴交于C （0，-3）点，点P是直2、解：（1）将B、C两点的坐标代入得（2分）得到四边形POP C,那么是否存 请求出此时点P的坐标；若不存解得:b=- 2所以二次函数的表达式为: y=x2 - 2x - 3 （3 分
9、）（2）存在点P，使四边形POPC为菱形;设P点坐标为（X, X2-2X-3）, PP交CO于E 若四边形POP，C是菱形，则有PC=PO； 连接PP，则PECO于E, .OE=EC亏y= 一 S（6 分） X2 - 2x - 3= 一解得X1=, X2= _成田（不合题意，舍去） P点的坐标为（之严，一3）（8分） （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P（X, X2-2X-3）, 易得，直线BC的解析式为y=X-3则Q点的坐标为（X, X - 3）；S =S+S+S四边形 ABPC AABC ABPQ ACPQ=AB OC+JP of+【qp bf222=|x4X3+| （- /+3G X3=弋（3）2成（1。分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为（项，-与），四边形ABPC的面积的最大值为溟.（12分）248
