抛物线的旋转翻折和平移.docx

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1、抛物线的旋转翻折和平移一、抛物线的平移求抛物线(，)沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式 也(，)，然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移 后的新顶点坐标即可。抛物线平移变换的规律是：左加右减(在括号)，上加下减(在末梢)。1. 简单的平移问题例1、将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位，求平移后所 得抛物线的解析式。2. 平移后与已知线段相交例2、如图，已知抛物线与x轴交于点A(2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8).(1) 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；(2) 设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内 找一点

2、G，使以点G、F、C为顶点的三角形与COE相似，请直接写出符合要求的，并在第 一象限的点G的坐标；(3) 在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到 原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(4) 将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上 最多可平移多少个单位长度？例3.如图1，已知AABC为直角三角形，匕ACB=g砂，AJBC，点A、C在x轴上，点B的 坐标为(3, m) (m0)，线段AB与y轴相较于点D，以P (1, 0)为顶点的抛物线过B、 D两点。(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图2,将(1)中

3、的抛物线沿y轴向上平移k个单位，平移后的抛物线交线段BD于 E、F两点，若EF=BD，求k的值；1例4.如图1,抛物线y=a （玲一力2+1与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C,抛物 线的对称轴交抛物线于点D,交轴于点E,若AB=2DE。（1）求抛物线的解析式;（2）沿抛物线的对称轴向下平移抛物线，平移后的抛物线交后抛物线的解析线段BC于F、G两点，若FG二BC，求平移式；例5.抛物线Amni交轴于两点，交轴于（；且满足E = n，若n 为（1）求这个抛物线的解析式；（2） 在轴上是否存在点广，使得，若存在请求出点尸的坐标，若不存在， 请说明理由。MNs7 AB（3） 若向上平移抛物线个

4、单位，与线段交于L 两点，且满足，求叫 的取值范围3. 平移与几何图形综合例6、如图在平面直角坐标系xoy中,矩形ABCD的边AB在x轴上且AB=3, BC=；，直线y=经过点C，交y轴于点G。（1） 点C、D的坐标分别是C（，D（；（2）求顶点在直线y=般一 -、上且经过点C、D的抛物线的解析式;(3) 将(2)中的抛物线沿直线y=*L3平移，平移后 的抛物线交y轴于点F，顶点为点E (顶点在y轴右侧)。 平移后是否存在这样的抛物线，使/EFG为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说 明理由。例7、已知抛物线(1) 求抛物线|的顶点坐标.(2) 将抛物线向右平移2个单

5、位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.(3) 如下图，抛物线的顶点为P，,轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是 否存在点M使。(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在， 求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线jd二(20)的对称轴是例8.(14分)如图1，抛物线一.的顶点为p，A、以抛物线上两点，AB/X轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB = 2AD.求矩形ABCD的面积；如图2,若将抛物线“，”,改为抛物线，3、-，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；若将抛物线“，-_,%_.”改为抛物线. ”，其他条件不变，请猜想矩形JAB

6、CD的面积(用a、b、c表示，并直接写出答案).附加题：若将题中、.”改为”，AB = 2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件？并说明理由.例9.如图，已知点A (-2，4)和点B (1，0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.(1) 求 m、n；(2) 向右平移上述抛物线 记平移后点A的对应点为A；点B的对应点为B，若四边形AABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；(3) 试求出菱形AABB的对称中心点M的坐标.例10矩形OABC的顶点A (-8，0)、C (0，6)，点D是BC边上 的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示.

7、(1) 求点D关于y轴的对称点D的坐标及a、b的值；(2) 在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；(3) 将抛物线y=ax2+bx向下记平移后点A的对应点为A1， 点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式.5. 平平中的距离问题 例112L定义一种变换;平移抛物线巴得到跑物线玲，使码经过Fl得 分 评卷人的顶点4设玲的对称轴分别交玲,舟手点SB,点。是点A关于直线8D的对称点-1）如图1,若Fi/=狎，经过变换后，得到曲,点C的坐标为（2,0） T则 b的值等于? 四边形ABCD为（）

8、iA,平行四边形B.矩形 C菱形D.正方形（2）如图2,若+c,经过变挽后，点B的坐标为（2,。一1）*求/XABD的面积，如图3,若Fi:了=/ 一号了+经过变换后*AC=2如,点F是直线AC上的动点,求点P到点D的距离和到直线AD的距斯之和的最小值，M1L（第24瘪图L）（彩4题图2 （第24建图3）6. 平移过程的存在性问题例12、如图1,抛物线y=a （x-1） （x+3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C,OC2 =3OAOB。（1）求此抛物线的解析式；（3）如图3,若直线：交x轴于点M,交y轴于点网将MON沿直线MN折叠，得到 MPN，点O的对称点为点P,是否存在这样的b值，使点P恰

9、好落在抛物线上？ 若存在，求b的值；若不存在，说明理由。例13.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A (3, 0), C (0, 1).将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90,得到矩形OABC.设直线BB，x轴交于点M、与y轴交于点N, 抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N.解答下列问题：(1) 求出该抛物线所表示的函数解析式；(2) 将左MON沿直线BB翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请 说明理由；(3) 将该抛物线进行一次(沿上下或左右方向)使它恰好经过原点O,求出所有符合 要求的新抛物线的解析式.例14.在平面直角坐标系中点A(0 2)(4 0)

10、, ABx轴， ABC是直角三角形ZACB=90.(1) 求出点B的坐标，并求出过A, B, C三点的抛物线的函数解析式；(2) 将 ABC直线AB翻折 得到 ABC1再将 ABC1绕点A逆时针旋转90度 得到 AB1C2请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上；(3) 将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线 的顶点落在 ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围.例15,如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A (0, 3)和B (5, 0)，连接 AB.(1) 现将 AOB绕点O按逆时针方向旋

11、转90,得到 COD,(点A落到点C处)，请画出 COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；(2) 将(1)中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物 线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值 时，求点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点？使左EPF为直角三 角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.二、抛物线的旋转1. 简单的旋转方法总结求抛物线. 一.：(，)绕其顶点旋转180。后的解析式，同样可先将其配方成顶点式I (“)，然后将二次项系数直

12、接改变成其相反数即可。例1、将抛物线 绕其顶点旋转180，求旋转后所得抛物线的解析式。分析：抛物线绕其顶点旋转180只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大 小及顶点位置。例2：如图，抛物线y=_营+ 4工3与坐标轴交与A、B、C三点，点M在线段BC上，将线段OM绕点O逆时针旋转90o,使点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求N的 坐标。例3.已知抛物线y=x+bx+c经过A (1, 0), B (0, 2)两点，顶点为D.(1) 求抛物线的解析式；(2) 将 OAB绕点A顺时针旋转90后，将B落到点C的位置，将抛 物线沿y轴平移后经过点C,求后所得图象的函数关系式.(3) 设(2

13、)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1, 若点N在平移后的抛物线上，且满足 NBB1的面积是 NDD1面积的 2倍，求点N的坐标.0 A D :2. 抛物线与几何图形综合例4如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD, ADBCx轴，AB=CD, AD=2, BC=8, AB=5, B点的坐标是(-1, 5).(1) 直接写出下列各点坐标.A (,) C (,) D (,)；(2) 等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几 何体的表面积(保留n);(3) 直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A 的函数关系式；(4) 若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使 得A，B，C，

14、D四点都在抛物线上？若能，请说理 由；若不能 将抛物线y=x2”改为抛物线y=mx2”， 试确定m的值，使得抛物线y=mx2经过上下左右 平移后能同时经过A，B，C，D四点.【解析】(1)易得点C的纵坐标和点B的纵坐标相等，横坐标比点B的横坐标小8,过A 作AEXBC于点E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么点A的横坐标比点B的横坐 标小3，纵坐标比点B纵坐标小4，点D的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标比点A的横 坐标小2；(2) 绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为4,母线长为5的圆锥的 侧面积和一个半径长为4,母线长为2的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；

15、(3) 设新函数解析式为y= (x-h) 2,把(-4, 1)代入即可求解；(4) 可把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2 上；进而设函数的解析式为y=mx2, A, B中的2点代入即可求解.例5如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A (3, 0), C (0, 1).将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90,得到矩形OABC.设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N, 抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N.解答下列问题：(1) 求出该抛物线所表示的函数解析式；(2) 将左MON沿直线BB翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线

16、上，并请 说明理由；(3) 将该抛物线进行一次(沿上下或左右方向)使它恰好经过原点0,求出所有符合 要求的新抛物线的解析式.1-rAB一yJ/0cA.I【解析】(1)根据四边形0ABC是矩形，A (3, 0), C (0, 1)求出B的坐标，设直线BB 的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的 坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函 数的解析式；(2) 设P点坐标为(x y),连接OP, PM,由对称的性质可得出OPMIN 0E=PE PM=0M=5， 再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得

17、出OE的长，利用两点间的距离公式求 出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；(3) 由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论.例6在平面直角坐标系中点A (0, 2) C (4, 0), ABx轴， ABC是直角三角形，匕ACB=90.(1) 求出点B的坐标，并求出过A, B, C三点的抛物线的 函数解析式；(2) 将 ABC直线AB翻折，得到 ABC1,再将 ABC1绕 点A逆时针旋转90度 得到 AB1C2请求出点C2的坐标， 并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上；(3) 将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析 式为y=ax2mx+2m ,并

18、使抛物线的顶点落在 ABC的内部或 者边上，请求出此时m的取值范围.pT口 1L5,7r7/0【解析】(1)过C作CDXAB于D,根据A、C的坐标， 易求得AD、CD的长，在RtA ACB中，CDAB，利用射影 定理可求得BD的长(也可利用相似三角形得到)，由此求 得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；(2) 根据 ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1XAB1，根据 ACDAAC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析 式中进行验证即可；(3) 在(1)题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，

19、 得(m，4m-m22)，由于此顶点在 ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0m5的范围 内，然后分三种情况考虑： 顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标. 求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标. 求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同.结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围.三、抛物线的翻折方法总结求抛物线,( 。，)沿某条坐标轴翻折后的解析式，首先仍应将其配方成顶点式“-,(，-)，然后再根据翻折的方向来确定新抛物 线的解析式一一若是沿轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若 是沿轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的

20、新顶点坐标外，还需将二次系数改变成 其相反数。例1、将抛物线按下列要求进行翻折变换，求翻折后所得抛物线的解析式：沿轴翻折；沿 轴翻折。分析：抛物线沿轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开 口大小。抛物线沿轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大 小不变。例2、如图1，抛物线Ly=a(x-1)2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的 顶点，且 ABD的面积为8。(1) 如图1，求抛物线的解析式；(2) 如图2，平移直线y=-x交抛物线于M、N两点，若MN=BC，求平移后的直线MN的解 析式；3x =(3) 如图3,将(1)中的抛物线沿直线2翻折

21、得到抛物线记为匕，线段AC绕平面内的某一点顺时针旋转90。后得到线段PQ。若P、Q两点都在抛物线L2 上，点P在 点Q的左侧，求P、Q两点的坐标。2例3如图1,四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.抛物线y=ax2经过A，0, D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的.(1) 求a的值；(2) 求图2中矩形EFGH的面积；(3) 求图3中正方形PQRS的面积.图1【解析】(1)根据题意可得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求得a的 值；(2) 根据图形分析得：正方形IJKL沿射线J

22、U方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT 重合，由平行移动的性质可知EH=15，同理可得EF=10，可得矩形的面积；(3) 建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可.图1图2I LM T四、抛物线的平移、旋转和翻折的综合例1(09年宁德).(本题满分13分)如图，已知抛物线C1：、的顶点 为P，与X轴相交于4、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1.(1) 求P点坐标及a的值；(4分)(2) 如图(1)，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后 的抛物线记为C3, C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；(

23、4 分)(3) 如图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线。4.抛物线C4的顶点为M与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、 F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.（5分）例2.如图，已知抛物线C1： y=a （x+2） 2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点（点A在 点B的左边），点B的横坐标是1.（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1）,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右，平移后的 抛物线记为C3, C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2）,点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4. 抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为 顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.