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1、抛物线中图形面积的最大（小）值问题解题思路：1. 坐标系内动点的坐标常常用解析式的代数式表示纵坐标；2. 表示坐标系中线段的长度一般用上减下（纵坐标），右减左（横坐标）；3. 利用点的坐标代数式表示出相关线段的长度或图形的面积的函数关系式；4. 用公式1水平底 渤锤高求三角形面积25. 求所列函数关系式的最大（小）值.6. 用抛物线的切线性质求最大面积。训练题：1. 如图，抛物线y=-x2+2x+3与X轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点 C，顶点为D.（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连掷。与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P
2、作PFDE 交抛物线于点F,设点P的横坐标为m； 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ 设 BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.并求S最大时的点P的坐标.C02. 已知：抛物线y=ax2+bx+c （a尹0）的对称轴为x=-1,与x轴交于A, B两点，与y轴交于 点C,其中A（-3，0），C（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 PBC的周长最小.请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点0、点C重合）.过点D作DEPC交x轴于点E.连 接PD、PE.设CD的长为mPDE的面积为S.求S
3、与m之间的函数关系式.试说明S是否存 在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.r b=12a9a 3b + c = 0c = 2r=解得* b =、c = 2此抛物线的解析式为尸=x2 x 2（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以 PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x= 1的交点即为所求的点P . 设直线AC的表达式为y=kx+b| 3k + b = 0则|b = -2解得|2此直线的表达式为y = 3 x-24把x=- 1代入得y=-34.P点的坐标为（1,）解法（二）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以APBC周长最小
4、，就是使PC+PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x= 1的交点即为所求的点P.设对称轴x= 1与x轴的交点为F,由题意知0C=2, 0A=3, 0F=l,PF II 0D.ZAPF=ZAC0, ZAPF=ZA0CAapf s Aaco竺=生 gnOC OA 2 3.-.PF=43.P点的坐标为（T,4-3)(3) S存在最大值解法(一):.DE/PC 即DE II ACAqed Aqac.OD OE B-mOE. OCOA P 2333/.0E = 3 m, AE = 3 OE = m22方法一：连结OPs=Se、5 s =s四边形PDOEAOED13=5 x (3- -m)
5、_ 33=一m2+ m423- o4+sA poe Apod4 1X + X3 2-SAoed1(2 - m) x 1 - xx (2 m)(3- m)当 m = l 时,s最大方法二:s=s -ss_ sAoac AoedAaepA PCD1131 341=X 3 X 2 -2X2(3- m) x (2-m)2 23x mx 123 333in?+ m =(m_l)2+ 4 2443-0, .四边形ACQP的面积有最小值，又=2满足0K2.5 ,33.当f = 2时，四边形ACQP的面积最小，最小值是石.(3)如图2,由OB=4得OP=2,把工“代入 34中，得V=T，所以D(2, -3),
6、_2直线CDIIX轴，设直线OD的解析式为F = S ,则 23V = - K，所以 2，因为W1O1D1是由pod沿乂轴向左平移m个单位得到的,-3 + lm所以P1 (2-m,0), Di(2-m, -3),E(2-m,2).设直线OM的解析式为P =2727y=-x3 ,所以 8第26题答图9,当时，作FH 轴于点H,由题意Oi(-m,0),又O1D1IIOD,所以直线OiDi片一髀，一一滞一所以U 10儿所以FH=10S四边形 OFD1E=SOO1D1D-SOO1F-SDD1EOC OC-OC -LdD1-海2221022 = H的解析式为联立方程组第26题答图3cm c2y=-x如图
7、3，当时，设D1P1交OM于点F,直线OM的解析式为，所以，解得,段=辱_勿 人所以目-EFQP.(2-.Soef=N =3 厂综上所述4. 如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2 , OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D.将ZDBC绕点B按顺 时针 方向旋 转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.(1) 求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2) 当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；(3) 连接EF，设 BEF与 BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并 求出这个最小值.解：(1)由题意可得A(0,2)
8、，B(2,2)，C(3,0)，设所求抛物线的解析式为y=ax2bx+c，r弟a 4 Aa我则解得匚/抛物线的解析式为y= x2 x+2设抛物线的顶点为G,则G(1, 3 ) .如图，过点G作GHXAB,垂足为H,则AH=BH=1, GH= 2= 3/OF M CEAAB, GHAB,EAGH.GHMABEA的中位线，.EA=2GH=.过点B作BMOC，垂足为M,则BM=OA=AB.VZEBF=ZABM=90,；.ZEBA=ZFBM=90oZABF,.CM=OCOM=3 2 = 1,.CF=FM+CM=3设CF=a,则FM=a 1或1 a,同时0a3BF2 = FM2 + BMz = (a 1)
9、2 + 22 = a2 2a+5.vaebaafbm,abe=bf.L 1 1则S= BEXBF=乙 BF2= (a2-2a+5),BEFn c 2 _ .2又.= FCXBM=XaX2 = a,BFC-5, 、2 , 2.S(a2 2a+5) a a2 2a+,2 z 、 3即S=乙(a2)2+乙,.当a=2(在0a3范围内)时，S最小值.5. (重庆市綦江县)如图，已知抛物线y=a(x1)2+ 3右(a尹0)经过点A( 2, 0),抛 物线的顶点为D,过0作射线OMAD.过顶点。平行于x轴的直线交射线OM于点C, B在x轴 正半轴上，连结BC.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若动点P从
10、点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时 间为t (s) .问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等 腰梯形？(3) 若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和 2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停 止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的 面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.(4) 在(3)中当t为何值时，以O,P,Q为顶点的三角形与 OAD相似？(直 接写出答案)解：解：(1)把火-2,0)代Ay = a(x -1)2 + 3去，
11、得0 = a(-2 -1)2 + 冻.,.a =- 1分.该抛物线的解析式为y=-(x -1)2 +充焰 以 匝艮呼=-3 X2+x+ 3分(2 )设点D的坐标为(xD , yD)，由于D为抛物线的顶点23.xD=-=1,yD=-X12+X1+=”.如图，过点D作DNx轴于N，则DN=3去,AN = 3,.AD=3照-=6 .nDAO=60。 4分.OMiiAD 当ad=op时，四边形DAOP为平行四边形.0P = 6.t = 6(s) 5分 当DP0M时，四边形DA0P为直角梯形.过点。作OEAD轴于E .在RfAOE中, vA0 = 2 ,zEAO=60,.AE=1 .(注：也可通过RfA
12、OEsRfAND求出AE = 1).四边形DEO购矩形，二0?二 DE = 6-1 = 5 .t = 5(s) 6分 当PD = OA时，四边形DAO购等腰梯形，此时0P二AD-2AE = 6-2 = 4 .t = 4(s)综上所述，当t = 6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.7分(3 )nDAO=60, OMiiAD,.nCOB=60.又vOC = OB,aaCOB是等边三角形,.OB = OC=AD = 6 .BQ=2t,.OQ=6-2t(Ot0) .求点M的运动时间七与APH的面积S的 函数关系式，并求出S的最大值.g=l分析：(1)根据抛物线y=a
13、x2+bx - 4与x轴交于点A (-2, 0)，直线x=1是该抛物线 4a- 2b - 4=0的对称轴，得到方程组b ，解方程组即可求出抛物线的解析式；-二 2a 1(2)由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以tW3,又当点M到达原点时需要 2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：当0VtW2时，由 AMP -AAOC，得出比例式，求出PM, AH,根据三角形的面积公式求出即可；当2VtW3 时，过点P作PMx轴于M, PFy轴于点F,表示出三角形APH的面积，利用配方法 求出最值即可.解：(1)：抛物线y=ax2+bx - 4与x轴交于点A(-2, 0),直线x=1是该抛物
14、线的对 称轴，r4a- 2b- 4=0 1.b，解得：,.抛物线的解析式是：ygx2-x-4,#、比-1(2)分两种情况： 当0VtW2时，.PMOC,.AMPsAOC,.旦匚跳，即旦LL,.pM=2t.OC AO 4 2解方程X2 -x- 4=0,得 x = -2, x =4,A (-2,0),B (4, 0),AB=4-(-2) =6.AH=AB - BH=6 - t,.S=1pM.AH=【X2t (6 - t) = - t2+6t= -(t-3) 2+9, 22当t=2时S的最大值为8； 当2VtW3时，过点P作PMx轴于M,作PFy轴于点F,则 COBACFP,又CO=OB,.FP=F
15、C=t - 2, PM=4 -(t-2)=6 - t, AH=4+堂(t - 2)二堂t+1,22.S=1pMAH=【(6-t)(富t+1)=-旨2+4t+3=-堂(t-呈)2+箜，2224433 当七二皇时，S最大值为箜.33综上所述，点M的运动时间t与AAPQ面积S的函数关系式是S=,S的最大值为号.11、一 一.7. 如图1,已知直线y = -x与抛物线y = -/2 + 6父于A B两点.(1) 求A, B两点的坐标；(2) 求线段AB的垂直平分线的解析式；(3) 如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A, B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动
16、，动点P将与A, B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并 指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由.8. 如图，已知抛物线y=ax分2x+c与x轴交于A. B (3, 0)两点，与y轴的交点坐标为(0, -3)，直线l与抛物线交于A. C两点，其中C点的横坐标为2.(1) 求此抛物线的解析式以及抛物线的顶点坐标；(2) 若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，有人说当 点E处于抛物线的顶点时线段PE的长度最大，你认为这种说法是否合理，若合理， 请说明理由，若不合理，请求出线段PE长度的最大值以及此时点E的坐标；9
17、.抛物线y =-必+ 2x + 3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，j轴相交于点 。，顶点为D.(1) 直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2) 连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m ； 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当时，四边形PEDF为平行四边形？ 设ABCF的面积为S，求S与m的函数关系式 大时的点P的坐标.10. 已知:抛物线的对称轴为x=-1，与X轴交于4 B两点，与j轴交于点G其中A(-3,0)、C(0,-2 ).(1) 这条抛物线的函数表达式： .(2) 已知在对称轴上存
18、在一点P,使得PBC的周长最小.请求出点P的坐标.(3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点0、点C重合).过点D作DE PC交x轴 于点E.连接PD、PE .设CD的长为m , PDE的面积为S .求S与m之间的函数关 系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.11. 如图，已知直角梯形0ABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上，0A=AB=2, 0C=3,过点B作BDBC，交0入于点D.将/DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边 分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.(1) 经过A、B、C三点的抛物线的解析式：(2) 当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；(3) 连结EF，设 BEF与ABFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个 最小值.
