抛物线的解析式的三种形式.docx

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1、抛物线的解析式的三种形式抛物线的解析式有三种形式： 一般式：尹二/+3工+。（a尹0）； 顶点式：丁=工T）止0壬）,（h, k）是顶点坐标； 交点式:y =侦F （a尹0），其中x1, x2是方程澎+蔽+ 5 的两个实根。在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、歹叭求、定。例1、已知二次函数图像顶点坐标为（一2, 3）,且过点（1, 0）,求此二次函数的解析 式。（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。解法一：设二次函数的解析式为：七 因为二次函数图像过点（1, 0所以。=1

2、+ 2尸+3所以 3y = -（x + 2）2 + 3所以函数解析式为。分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x=2，利用抛物线的对称 性，可求得点（1, 0）关于对称轴x=2的对称点（一5, 0）,可选用交点式。解法二：设二次函数的解析式为：+5），因为二次函数图像过点（一2, 3）3 = a（-2-l）（-2 + 5）. = -1所以所以函数解析式为。点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与X轴的交点时，一 般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与X轴的一个交点后，利用对称轴可 从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与X轴的交点坐标，再

3、利用交点式 获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不 如这两种方法简单。例2、已知二次函数厂舔+龈+。，当X= 1时有最小值一4,且图像在X轴上截得 线段长为4,求函数解析式。分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在 本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（一1,一4），另外一个条件是图像在x轴上截得 的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x= 1时有最小值一4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为(一3, 0),(1, 0),从而可利用交点式解决问题。解：.当

4、x= 1时有最小值一4,且图像在x轴上截得线段长为4.函数图像与x轴交于(一3, 0),(1, 0)两点。.设二次函数的解析式为*(1)3 + 3) .二次函数过(一1,一4)一4 =。(一1一1)(一1 + 3) . .a=1 y=(x-l)(x + 3)=x2+2x-3 . 点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a, b, c的两个等式，再利用“图b2 -Aac _ 4像在x轴上截得线段长为4”转化为同，组合成一个关于a, b, c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。(1) 用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位

5、置；(2) 若A点的坐标为(0, 4), D点的坐标为(7, 0),试验证点D是否在经过点A、 B、C的抛物线上；(3) 在(2)的条件下，求证直线CD是。M的切线。解：(1)如图，点M即为所求。(2)由A (0, 4),可得小正方形的边长为1,从而B (4, 4)、C (6, 2)。设经过点a、b、c的抛物线的解析式为y* +於+4C-12依题意 = *十bi，解得I ,y = - x2 + x +4所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为63把点D (7, 0)的横坐标代入上述解析式，v = -ix49 + x7 + 4 = 0 得：632,所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。(3)如下图

6、，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E,连结MC,作直线CD。所以 CE=2, ME=4, ED=1, MD = 5, 在 RtACEM 中，/CEM=90,所以 MC2 = ME2 + 商=42+22 = 20 在 RtACED 中，/CED = 90,所以 CT2 = 2+OT2 = l2+22 = 5, 所以 MD2 = MC2CD2,所以 ZMCD = 90,因为MC为半径，所以直线CD是。M的切线。点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第2）问中所给三个 点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3） 问和圆的知识结合起来，

7、求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明 线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。例4、已知抛物线】=口与丁轴交于点（，与轴分别交于即，），冲）两点.（1）求此抛物线的解析式;（2）若点B为线段S的一个三等分点，求直线的解析式;（3）若一个动点/自必的中点心出发，先到达工轴上的某点（设为点下）， 再到达抛物线的对称轴上某点（设为点卢），最后运动到点H.求使点尹运动的 总路径最短的点占，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.解：（1）根据题意，了 二：,f a +3 +3=0,所以 1.253 + 5 + 3 = 0.1-1解得1-5户以一虬+ 3所以抛物线解析式为55.

8、（2）依题意可得S的三等分点分别为（0,1）,.设直线的解析式为尸队世当点D的坐标为（）时，直线CD的解析式为5X + 1当点的坐标为（，2）时，直线的解析式为5（3）如图，由题意，可得点财关于叫由的对称点为 I 2），点H关于抛物线对称轴工=3的对称点为做、连结H由.根据轴对称性及两点间线段最短可知，皿的长就是所求点运动的最短总路径的长. 5分所以次沮与轴的交点为所求占点，与直线工=3的交点为所求点.33y=-x-可求得直线次的解析式为 42可得下点坐标为（源F点坐标为由勾股定理可求出2所以点尹运动的最短总路径（ME +龄+视）的长为2点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第

9、（2）问如果注意到线段 OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不 难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、 转化问题的能力。例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A （ 1，0）、B （2， 0）、 C （0，2）.（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线 段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为 s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围.（3）在对称轴右侧的抛物

10、线上是否存在点？，使左PAC为直角三角形？若存在，求出 所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（4）将AOAC补成矩形，使AOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶 点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）.图1解：(1)设抛物线的解析式为y=a (x+1)(x2),2=aX1X(2),.a=1,.y=x2x2；其顶点M的坐标是(亍一孑).(2) 设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，点N的坐标为N (t, h), 皿=M +白解得：k= 2 , b=3,.线段BM所在的直线的解析式为y= x3.h= N t3,.一 2h0, 322 N

11、 t30,即 3 t2-t-3-t2 +-t+lS = SAAOC + S 梯形OCNQ= X1X2+(2+ll)t=.-It2 +-t+-.s与t间的函数关系式为s= 42.自变量t的取值范围为3 tAC，所以边AC的对角ZAPC不可能为 直角.（4）以点O,点A （或点O,点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 OA （或边OC）的对边上，如图2,此时未知顶点坐标是点D （1，2）。以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3,1 24 S _ 此时未知顶点坐标是E （） , F （尸方）.易证 AEOAOFC,AE _0A _1.矛=商如又AC顼，

12、击p设 OE=a, 则 OF=a, AE=,7?-a由勾股定理得：（N ） 2+a2=1,.=力也.OE=上2再设点E的坐标为（x,y）,由射影定理得:x= 一上，y= 51 24 S , _.此时未知顶点坐标是E （厂5 ）；同理可求得点F的坐标为（尸5 ）.【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空1、 已知二次函数厂展的图像经过点（一2,2），则这个二次函数为。2、 若二次函数丁=-欧工+幽-3的图像经过原点，则落值必为。推3、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度贝间与水平距离的函数图像，铅球4、已知二次函数的图像开口向上，且与j轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：

13、。5、 函数y*J+3E 的对称轴是1=2,且经过点P （3, 0），则a+b+c=；6、抛物线/ = +五f 经过点a （-1，0），B （4, 0）两点，则这条抛物线的解析式为。7、若2, 4是方程x2+x + c = 0的两个根，则对应抛物线y=x皇I 的对称轴是8、关于x的一元二次方程亍-式-建=0没有实数根，则抛物线y = x 一工一形的顶点在 象限。9、用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为im，窗户的透光 面积为jm2, j与i的函数图象如图2所示。（1）观察图象，当1=m时，窗户透光面积最大。（2） 当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长 m。10、 若点P

14、（1，a）和Q（ 1，b）都在抛物线y=-x2+1上，则线段PQ的长是.11、 若二次函数7 = -而的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则。=。（只 要求写出一个）12、 函数 =以 土*+1的图象与x轴有且只有一个交点，则k=；交点坐标 为。二、选择题：13、在半径为4cm的圆面上，挖去一个半径为肛m的圆，剩下的面积是皿则尹与 的函数关系式是（）A.尸占-4 b. 亦一对 c. =d.尸-C167T14、二次函数y = 3x +6的图像上有两个点A （1, yi） , B （2, y），则y1、y2的 大小关系为（）A. yi y B. yi Wy C. y】 y D. yi = y15、

15、已知：a 1,点（a1,y1）,（a,y2），（a+1,y3）都在函数的图象上，则（）A. ”B. 2 C. 2 D.0，b0，c0，。B. a0，0 C. a0，0 D. a0 c0 c0。0C. b0 c0。0 D. b0 0的一部分（如图），若22、已知M、上，设点M的坐标为（a,），则二次函数y=abx2+（a+b）N两点关于j轴对称，且点M在双曲线2二上，点n在直线y=x+3x （）则他与篮底的距离l是（）B. 4m C. 4.5m D. 4.6m21、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 命中篮圈中心，A. 3.5mA,有最小值，且最小值是5C,有最大值，且最大值是B.有最大值，

16、且最大值是一D.有最小值，且最小值是一三、解答题1、已知二次函数了 =况+於+ =经过点A( 1, 0),且经过直线y=x3与坐标轴的 两个交点B、C。(1)求此抛物线的解析式；(2) 求抛物线的顶点坐标：(3) 若点M在第四象限内的抛物线上，且OMLBC,垂足为D,求点M的坐标。2、如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，。为原点，点M在轴的 正半轴上，点在丁轴的正半轴上，= 0C = 3 .(1) 在H月边上取一点Q，将纸片沿。口翻折，使点H落在边上的点下处，求点 。，内的坐标；(2) 若过点口，点的抛物线与二轴相交于点F.M)，求抛物线的解析式和对称轴方 程；(3) 若(2)

17、中的抛物线与尹轴交于点丑，在抛物线上是否存在点尹，使尹跚的 内心在坐标轴上？若存在，求出点尹的坐标，若不存在，请说明理由.(4) 若(2)中的抛物线与轴相交于点丑，点&在线段口上移动，作直线丑&， 当点&移动到什么位置时，。两点到直线丑的距离之和最大？请直接写出此时点 的坐标及直线的解析式.【试题答案】一、1、1 ； 2、m=3； 3、10； 4、y=x2+2； 5、0； 6、一二一 #7、x=3；8、第一；9、1,1.5；10、2；11、10；12、0, 1, 9；( 1/3, 0),( 1, 0),(1/3, 0)二、13、D； 14、C； 15、C； 16、D； 17、C； 18、C；

18、19、B； 20、B； 21、B； 22、C。1 +妒1 +应三、1、(1)y=x22x3； (2)抛物线的顶点坐标(1, 一4) ； (3)M(22) 02、解法一：(1)依题意,E=0A=5 ,在Rt。穹中，穹屏-。检=5-乎=平，.穹=4.QZOED = ZOAD = 90,:.=.而NCEO +ZCOE = 90% /. ZCOE = HED .BD _CE _ BD _ A声=反，口乙:.BD = -,:. AD = AB-BD = 3- = -33 3,*)(43)点力，E的坐标分别为I力 .解法二：(上同解法一)/. CE = A.设点口的坐标为。，),则AD = DE = y,

19、 BD = 3-y, BE = 5-A = 在 RtABED 中， ed2 = eb2+bd.了 T+(3-4,解得，f 5,11(4,3).点Q，E的坐标分别为、幻,设抛物线的解析式为7 =履+版+匚伐钏，研4,3), F(-5,0)Q抛物线过点 力解得y = -j + x + 5抛物线的解析式为6对称轴的方程为（或用配方法：iy = -x2+ix+5 = -|-fx2-x-30j = -对称轴的方程为2 .）（3）存在这样的F点，使明 的内心在坐标轴上.解法一：若尹跚 的内心在尹轴上，设直线尹丹与工轴相交于点财HOFM，-X- 6【2)121+药- FO = MO,点沮的坐标为，）.直线r

20、y的解析式为y=f+飞y = -x-5户-+ + 5解方程组L66得顷if片- 一点尹的坐标为）.若尹明的内心在工轴上，设直线尹卢与V轴相交于点HFO=NFQ FOVHN，=，点陌的坐标为（，一5）直线川的解析式为=一工一% .。=-5y = x2+ x + 5&得工1 = -5/1 = 0解方程组点F的坐标为（0T刀.综合可知点尹的坐标为任一的或Z N）.解法二：当尹跚的内心在轴上时，X,- x2+ x + 5设F的坐标为I66QZW=ZPW = 45o,过F 作PMJLy 轴于M, HM = PM. 5- - x2+x + 5I 66/. X = 0, x2 = 7.点尸的坐标为。）.当F

21、ER的内心在二轴上时，h- x2 + x + 56 6QZHFO = ZPFO = 45过F作PNYx轴于、:. FN=PN:.x + 5 = -x2-x-566，r-7x-60 = 0瓦=12, x2 = -5 .点尹的坐标为7).综合可知，点尹的坐标为或(1Z T7).（3 1）(4) 点Q的坐标为0刃；直线瑚的解析式为V=Tx + 5提示：根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线 HQD时，两点到直线丑&的距离之和最大，此时点&为垂足。利用三角形相 似可求得点。的坐标。点评：此题是一道难得的好题，第1、2小题是常规题，有一定基础的学生均能较轻松的搞 定，第3小题是结论存在性问题，又需分类讨论，较容易漏解，第4小题可能比较难，具体 解题思路可参考提示。