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1、抛物线的性质归纳及证明抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦 点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线/ = 2px（p0）焦点F的弦两端点为力31，1）, 3（丁2，光）, 倾斜角为a,中点为C（Xo,y）,分 别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A，、B 、 C 1.求证：焦半径if+f二产；焦半径21 一 cos。BF=x2+- =p1 + COSQfT&+嘉= 弦长I朋1 =| | BF pXi + X2 + p- ;特别地，当sin aXi=X2（a=90。）时,弦长| AB |最短,称为通径，长为2p；AAOB 的面
2、积S她=熹.证明：根据抛物线的定义，|/歹|i-=1 AD I=x1+p, IBF 1 = 1 BC l=x2+p,I AB l = l AF l+l BF I=x1+x2+p 如图2,过A、B引x轴的垂线AA1.BB1, 垂足为A1、B,那么l RF l = l AD l-l FA1 l = l AF l-l AF lcosO,.l AF l =l RF l = p 1cos0 1cos0同理，l BF l =l RF l = p 1+cosO 1+cosO l AB l=l AF l +l BF l=+ 1cos。p = 2P1+cosO sin2。.L -，L=Smf+Sbf=2l OF
3、 ll 为 l+2lOF ll七l=；P.（l为l+l七l）*2=p2，则yT、y2异号，因此，| +i 入 1=1 yy21 S OAB = P 1 入-y2 1 = P奶+为)24 =P 2P2+4p2 =普 TT2P2 2sine .2.11求证：% -巴:yy =p2 ； | AF I + | BF I1 2412当ABx轴时，有|AF| = BF = p，成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：y = k(p、% 一 pv 2(p k 2 %3V 2).代入抛物线方程：顼十=。（1）_2麻.化简得：受一 2 p%K 2 % 2 p.方程(1)之二根为x, x,.xk .i
4、i+1 2AFBFAA1BB1X +P X +P122222 (X1 + X2)+ PP XX + X + X + pZAMB=RtZ先证明：ADM 竺ECM,：. AM 1=1 EM I, I【证法一】延长AM交 BC的延长线于E,如图3, 则EC I = I AD II BE I = I BC I+I CE I=I BC I+I AD I=I BF I+I AF I = I AB I:.ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，:.BMLAE,即ZAMB=RtZ【证法二】取AB的中点N,连结MN,则1 一 、 1,IMN 1=2(1 AD 1+1BC l)=2(l AF 1 + 1BFl)=1
5、l AB I,： I MN l = l AN l = l BN I2:ABM为直角三角形，AB为斜边，故 ZAMB=RtZ.【证法三】由已知得C(%, y2)、D(;如，由此得M(22kAM中).y1+y2=yif =yxi+22 芬 +，p2饥一为）。1 yrppLm-提 Wy2+p2 *+p2 冗同理临一界 =2L=ip2:.BMLAE, 即 ZAMB=RtZ.【证法四】由已知得C（p, y2）、（291）9 由此得 M（2，；2）.:.Ma =(x1+2, 2)，Mb =(x3+p，为一为、：.1MA MB = (x1 + 2)(x2 + 2) +饥为）02一如4=X1X2 +p (X1
6、 + X2)+P=p+p (驾+如+%，2+了2一勾24令孕=2+M=。:.MA VMB，故ZAMB=RtZ.【证法五】由下面证得N DFC=90，连结 FM,贝 FM=DM.故AADMFM，如图又 AD=AF, 4同理Z3=Z4.Z1=Z2,，一 1Z 2 +Z 3=)x 180 = 290:.ZAMB=RtZ.接着证明:ZDFC=RtZ【证法一】如图5,由于I AD 1=1 AF I, AD /RF,故可设 ZAFD=ZF=ZDFR=a, 同理，设Z BFC=ZBCF=ZCFR=9而Z AFD + Z DFR + Z BFC+ZCFR=180Z.2(a+P)=180,艮Pa+ 8=90,故
7、ZDFC=90【证法二】取CD的中点M, 即M(-p,乡)由前知k =P k = _y2 =_为=P 由前知kAM检CF np 丁 y+2+2二kAM=kCF，AMCF，同理，BM DF:.Z DFC =AAMB = 90 气【证法三】.T)F =0，r1), C =(p,-，2)，:fF CF = p2 + y1y2 =0:.DF CF，故ZDFC =90。.【证法四】由于I RF |2=p2= ,且 Z DRFy1y2=I DR I I RC I,I DR I = I RF I 即 IRFT=TRCI=Z FRC=90。: ADRFsAFRC:ZDFR = ZRCF,而ZRCF+ZRFC
8、=90。:ZDFR+ZRFC=90。:.ZDFC=904. C A、C B是抛物线的切线【证法一】.AM的直线方程为y-尸# 一务，-H疏-括），整理得 y22y1yyi与抛物线方程y2=2px联立 消去x得=0可见=（矶）24y 2=0,故直线AM与抛物线y2=2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2=2px，两边对x求导，32）;=（2px）:，xx得 2y y=2p，y =,故抛物线 y2=2px x x y在点A(x1,y1)处的切线的斜率为k切=yj y=y1=P君又kAM=?，k切=，即AM是抛物 线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切 线.【证法
9、三】.过点A(x1, y1)的切线方程为叩 =p(x+x1)，把 M(p, y1y)代入左边=y1 卓=营=竺工=P2Pxi2，右边=p(p+x1)=；+*1,左边=右 边，可见，过点A的切线经过点M,即AM是抛物线的切图9线，同理BM也是抛 物线的切线.5. CA、CB 分别是ZA9AB和ZBBA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于,如图9,则AMAECM, 有 BC, AB=BE,:.ZDAM=ZAEB=ZBAM,即AM平分ZDAB,同理BM平分ZCBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾 斜角a是直线AM的倾斜角。的2倍即 可，即a=2P，且肱（-扩顷）tana = kAO
10、AB-，2一，1 -=Z =，2一，1 =y y2Ty2 _y12 2p2p_y2tanP= =十=ifAMPy2xi+22噜+PP2pSF。1yr)=p2+P22+P2君2p y 2R= 2tan =币=2Pitan 2P 1-tan2p吒 膏21 y=2py1 = 2p，2+2y+2=tanaAa=2P，即AM平分匕DAB,同理BM 平分ZCBA.6. AC9. A9F、y 轴三线共点，BC、B，F、y 轴三线共点【证法一】如图10,设AM与DF相交于点%由以上证明知I AD 1=1 AF 9 AM平分Z DAF,故AG1也是DF边上的中线， :G1是DF的中点.设AD与y轴交于点D1,D
11、F与y轴相交于点G2, 2易知，I DD1I=I OF I,DD1/OF,故 ADD1G2AFOG2.IDG2 I=Ifg2i,则G2图 1。也是DF的中点.:.G1与G2重合（设为点G）,则AM、 DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1=P（xyi令x=0得AM与y轴交于点G1(0,夺)， 又DF的直线方程为y=yp1(xp)，令x =0得DF与y轴交于点G2(0,为 :.AM.DF与y轴的相交同一点G(0,y1),则AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点反.由 以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.y0)相交于点A、B,过A
12、B两点 分别作直线l： x=-m的垂线，垂足分别为M、 N,则A、O、N三点共线，B、O、M三点也 共线，如下图：8. 若IAF I： IBF l=m： n，点A 在第一象限，6 为直线AB的倾斜角.则cos 6=m搭;【证明】如图14,过A、B分别作准线l的 垂线，垂足分别为D，C，过B作BEY AD 于 E，设I AF l=mt，I AF l=nt，则I AD I=I AF I，IBC I = I BF I， IAEI = I AD I-I BC I =(m- n)t二在 RtAABE 中，cosZBAE=IAEIVABA(nnt_mnXmnjf mn,mnCOS fZbae=e【例6】设
13、经过抛物线y2 =好的焦点F的直 线与抛物线相交于两点A、B,且1 AF I: I BFI =3： 1,则宜线AB的倾斜角的大小为【答案】60。或129.以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直 径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相 切；A B为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15,设E是AF的中点，2+x1则E的坐标为(一，夺)，P+x 211则点E到y轴的距离为d=2=2I22AFI故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点，作MN1准线l于N，贝U1,、 1,I MN I=2(I AD I+IBC I)=2(I AF I + IBF1)=11 AB I2图16则圆心M到I的距离IMN I=1I AB I, 2故以AB为宜径的圆与准线相切.10. MN交抛物线于点。，则Q是MN的中点.【证明】设A（荔，为），B（荔，如，则C（一%y2），D（-p，如，m（2 乡），nJi 乡），_p+y1：y2设MN的中点为0，则Q （ 2 2物，2_pyyi.2_ 一2P2+*+y2 _2 8p一勾击+巧+玛= 8p2P.点Q在抛物线y2=2px上，即Q是MN的中点.
