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1、2.2拉伸法测弹性模量【预习重点】1. 弹性模量的定义及单位。2. 光杠杆的原理。3. 处理数据的逐差法。【实验目的】1. 测钢的弹性模量，并验证虎克定律。2. 掌握用光杠杆测微小长度变化的原理和方法。3. 学会用逐差法处理数据。4. 学习不确定度分析的应用。【实验原理】一、固体材料的弹性模量弹性模量(Modulus of elasticity)是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，是选定机械 构件的依据之一，是工程技术中常用的参数。固体在外力作用下发生形状大小的变化，称为形变。本实验只研究弹性形变，也就是应 当控制外力的大小，以保证外力去掉后物体能恢复原状。由胡克定律，在弹性限度内，弹簧的
2、弹力F的大小和弹簧伸长(缩短)的长度X成正比， 即F kX(2.2.1)式中常数k称为劲度系数，它不仅与物体的材料有关，还和物体的几何形状有关，它是具体 物体的一个常数。事实上，虎克定律不仅适用于弹簧体，一般固体受拉(压)伸长(缩短)产生的弹力都遵从 (2.2.1)式所表示的关系。为了不使物体的几何形状对材料弹性的研究产生影响，我们取棒状 物体作为样品，折算成单位长度和单位横截面积来确定表征材料弹性的系数。设长为乙、横截面积为A的一个棒状物体，两端受拉力F后，伸长量为X，则比值F/A 是单位横截面上的作用力叫做应力(Stress)，它决定了物体的形变；比值X/L是单位长度的伸 长，叫做应变(S
3、train)，它表示物体形变的大小。这时虎克定律可表达为：(2.2.2)式中常数K称为弹性模量，也叫杨氏模量，它只决定于构成物体的材料的性质，不再与几何形状有关。弹性模量K的国际单位制单位名称是帕斯卡)，单位符号是Pa，1Pa=1N/m2。二、弹性模量的测定本实验要测定钢的弹性模量，由(2.2.2)式知，需要进行力和长度两方面的测量。由于物 理实验室不能提供很大的力，所以取一段粗细均匀的钢丝作为待测样品。把钢丝的上端固定，下端加砝码，使之受拉力作用而伸长。则(2.2.2)式中弹力F等于砝码所受的重力，即F = mg(2.2.3)钢丝的截面积A，通过测量钢丝的直径d可得到A = 2(2.2.4)
4、4钢丝长L可用米尺测出。上述量弹力F、横截面积A和钢丝长L都可用一般方法测出，但是微小长度X很小，约 1mm左右，要用我们迄今了解的测长仪器如千分尺、游标卡尺等测量，在技术上还难以实现。 为此，本实验采用了光杠杆放大的原理，进行间接测量，得测X的公式如下：(2.2.5)式中的R、n、D分别用卡尺和米尺测出。这样，把测X转化为可用一般方法测量的量。解决 了测量上的难题。把(2.2.3)、(2.2.4)、(2.2.5)式代入(2.2.2)式，则得本实验的数学模型为(2.2.6)Y = 8mgLD兀 d 2Rn式中D、R、n的意义在下面介绍。三、光杠杆测微小伸长的原理图2.2.1(a)是不等臂杠杆绕
5、支点O转动的情况，当两端点分别产生位移AA匕X，BB匕n 时，若OBOA，n便是X的放大结果，其放大倍数为n _ OB (长臂)X OA(短臂)光杠杆(Optical lever)是以一段光线为长臂的放大系统。由T型支架平面镜(如图2.2.10) 所示，也称为光杠杆)、望远镜及标尺而组成。T型支架的落地点，是脚T3和T1T2边。T3与 T1T2边距离为R，是光杠杆的短臂，长短可调，望远镜和标尺安装在同一支架上。在测量微小伸长时，如图2.2.1(c)所示，将T型支架平面镜的TT边放入平台的沟槽内， t3脚被放在待测钢丝的下端能随长度改变的夹具上。观察用的望远镜和标尺被放在距离平面 镜架为D处。调
6、整好的光杠杆装置，应该从望远镜中能看清楚由光杠杆平面镜反射的标尺的 像，并由望远镜叉丝得到标尺的读数。设钢丝在未加砝码时，平面镜架如图2.2.1(c)虚线位置，此时在望远镜中测量准线处的标 尺读数为n0 ；当加砝码后，钢丝长度L发生X改变时，T3脚也随之变动，并以TT边为轴 转过角，如图2.2.1(c)实线位置，因而使平面镜的法线转过e角，则平面镜的入射光线与反 射光线之间的夹角为20角，此时在望远镜中准线处的标尺读数变成为n。令n = n1 -n0，Xn根据三角关系有sin0 = 和tg 20 =，RD由于钢丝的伸长很小，RX，0角也是一个微小量，近似地有sin 0 0 ， tg 20 =
7、n 汩 20 ，RDRn由此可得X =-，式中n是标尺读数的改变量，D是标尺到平面镜架支轴T1T2边的距离，可由卷尺测出，R是 光杠杆的长度，可由米尺测出。这样就把不易测量的微小伸长量入转换成了用一般方法可测 量的量，而且把微小伸长X放大为n。定义光杠杆的放大倍数为n _ 2 D 0X R在一般实验中，R为48厘米，D为12米，放大倍数可达到25100倍。与图1.2.10) 的杠杆相比，光杠杆的长臂是入射光与反射光的全程2D，短臂是Ro由上可见，光杠杆这种放大，并不是对X自身的直接放大，而是将微小的长度变化转化 成光线的角度变化而加以放大的。这种放大方法，已普遍用于测量技术中，如光电检流计、
8、冲击电流计就是应用该原理来显示小角度的变化而读数的。四、不确定度分析与仪器的选择不确定度传播率在分析不确定度中是很重要的，(2.2.6)式是积商函数，下面写出其相对 不确定度传播率为：I1e、 u (Y)/u(m)、u(LYu(DY,.u(d)、u(R)、u(n)、 92U(Y) = 丁 =(2 + M)2 + r )2 + (T)2 + (；)2(2.2.6)式中的g和兀的舍入不确定度已略去不计，但在数学模型中要取足够多位有效数字， g=9.7986ms-1，容 3.14159。由上式可知，除m给定不需测量外，其余皆是长度的测量，又由于我们的测长量具仅有 卷尺、米尺、卡尺和千分尺。下面通过分
9、析各直接测量量各部分的不确定度对测量结果的合 成不确定度贡献的大小(影响的大小)，来确定哪些量需要精细测量以减小其不确定度的影响， 而哪些量的测量不必苛求也不致影响最后的结果，从而合理的来选择仪器。在考虑选择仪器时，没有必要对各输入量进行正式的多次测量，都由统计方法估算人类 不确定度。对各输入量只要估计或粗测出其大小，就能估算各量由选用的仪器引入的相对不 确定度。下面把本实验选择仪器的具体考虑列入表中，其中直接引了仪器最大允许误差仪 而未变换为标准偏差。这样的简化处理并不影响所要得出的结论。通过对表2.2.1中各部分的极限误差的比较，分析各输入量对总结果影响的大小，可得出 如下结论：1. d和
10、n的不确定度对结果影响突出，所以对于d选用迄今最精密的千分尺测量是对 的。至于n现无更精密的仪器，也只能用毫米尺。一般原则是对于量值小、灵敏系数大的被 测量，应选用精密仪器并进行多次测量。2. 其余输入量的不确定度较小，对于合成不确定度的影响不大。如按下述由两式分别计 算出合成不确定度的结果做一比较，一个式子把各部分的影响全考虑到，则AY = 2.113 浇 2.11% .Y另一式仅取L、d和n部分的贡献，其余舍去不计，则Ay = 2.109 牝 2.11%。Y图2.2.1光杠杆放大原理表2.1.1测m、L、D、R、n、d由仪器引入的不确定度待测范围选用仪器分度值仪A f x 100%Xm=
11、9x0.5 kg砝码+0.40g& = _4 = 0.0090% m4.5kgD = 150.0cm卷尺0.1cm0.20cmA = -4 = 0.13%D 150.0L = 80.0cm卷尺0.1cm0.20cmA =匹=0.25%L 80.0R = 8.00cm米尺0.1cm0.020cmA = 002 = 0.25%R 8.00n = 4.00cm米尺0.1cm0.020cmA0.05八 = 0.50%n4.00d = 0.0500cm千分尺0.001cm0.00040cmA仪=袂=1.6% d 0.0500可见，略去较小的不确定度部分，对结果影响不大，而且其余量用卷尺和米尺测量也是合理
12、 的。由此得出一般原则：若某个不确定度分量接近最大部分不确定度分量的1/10，则可略去 不计。这样可简化计算过程，如（2.2.6）式的相对不确定度的传播公式可简化为：I1e、 u (Y) / u (L)、 u (R )、u (n)、 ,-U (d )、9(2.2.7)U (Y) =$(十)(2_)2 2关于测量L和D的仪器最大允许误差为0.2cm，这是依据测长原则和具体的测量现场来 决定的，如卷尺拉不直、取不平、两头读数的不确定性，把仪器最大允许误差取大是合理的。 由前述已知，这样放大仪器的最大允许误差也没有影响测量的结果。所以选择仪器，不仅要 看仪器的最大允许误差，还要从测量范围及对测量结果
13、的影响大小来考虑。【实验仪器】一、仪器弹性模量测定仪，砝码（0.5kgx9个），光杠杆装置（光杠杆、望远镜、标尺），千分尺（用 法见2.1节实验仪器介绍），卷尺，米尺。二、仪器安装和调整1. 如图2.2.2所示，将光杠杆镜架的TT边放在平台的沟槽内，调节R长短使脚T3架 在夹钢丝的圆柱夹具上面，使望远镜与标尺刻线向着光杠杆镜面。2. 粗调光杠杆系统。用眼睛观察调整光杠杆平面镜镜面竖直和标尺竖直，调整望远镜水 平且与镜面中心等高，沿着望远镜筒的上方（有缺口和准星）能在镜中看到标尺的反射像。图2.2.2弹性模量测定仪和光杠杆装置（1）待测钢丝 （2）圆柱夹具 （3）槽线（4）托盘 （5）底角螺丝（
14、6）平台 （7）光杠杆（8）望远镜 （9）目镜 （10）物镜 （11）标尺 （12）调节螺丝图2.2.3望远镜光路图3.细调光杠杆系统。主要是调试望远镜，望远镜的光路如图2.2.3。物理实验使用的望远镜和显微镜一般都具有测量的功能，所以它们除了目镜、物镜之外，还有叉丝这一组成部分。 望远镜的调节方法如下：（1）调节目镜。旋转目镜筒，改变目镜和叉丝之间的距离，使在视场中见到清晰的叉丝。由于各人的视力不同，所以要适应实验者的视力，另外叉丝是测量的准线，使用前要调清晰。（2）调焦。旋转望远镜筒中部侧面的调焦钮，改变叉丝所在平面与物镜之间的距离（像 距），使由目镜观察到的标尺像清晰，并旋转目镜筒，使横
15、叉丝与标尺刻线平行，作为读数时 的准线。（3）视差的消除。经调焦后，叉丝和标尺像都已看清晰，但在目镜前有一小段距离，只 要叉丝和物像都在这一段距离内，人眼都能看清晰，然而叉丝与物像并不一定重合，如图2.2.4（a）所示，如果二者有距离的差别，就造成了视差。如图2.2.40），当眼睛在目镜前与 准线垂直的方向来回移动时，就产生了叉丝和物像之间有相对位置的变化，这种现象就是视 差。消除的办法就是继续细心地调焦，直至这一现象消失，如图2.2.4（c）所示，叉丝K和物 像B处于同一平面。图2.2.4视差与消除图【实验内容】一、用拉伸法测钢的弹性模量1. 用千分尺测量钢丝直径d，在不同位置处测5次，数据
16、填入表2.2.2。千分尺零值偏移8反表2.2.2钢丝直径次数i12345dd (mm)2. 放光杠杆镜架于弹性模量测定仪的平台和圆柱夹具上，细调望远镜，读出望远镜准线 在标尺上的初始位置n并记录在表2.2.3。03. 在砝码盘上逐次给钢丝增加0.5kg砝码，同时从望远镜中读记钢丝伸长后在标尺上对 应的读数.记入表2.2.3，并观察n是否呈线性变化。砝码加到4.5kg为止（i=1、2、3、 9），然后每次减去1个砝码，在表2.2.3中记录相应的读数，直到所加的9个砝码全部减去为 止。表2.2.3标尺读数改变n与负荷m关系的测量记录im (kg)标尺读数（cm）读数改变量n = n , - n逐加
17、逐减平均nn = n:- n00.00001 n5 - n0 !=10.500021.00001 n6n1| =31.500042.00001 n752.500063.00001 n8 - n3 1 =73.500084.00001 n9 - n4 1 =94.50004. 用卷尺测量钢丝长L；取下光杠杆，用卷尺测出平台沟槽到标尺的距离。；卸下钢尺 测量光杠杆短臂A。测R时，可用脚T3和底边TT2在铺平的纸上压出记印，量出T3到TT2 的距离作为R的测量值。L、D、R只测1次，数据填入表2.2.4。表2.2.4 L、D、R的数值LDR二、数据处理 _1. 按多次测量求出d，并估算d的不确定度。
18、2. 按逐差法求出n，并估算n的不确定度。表2.2.3第七列是逐差法对数据的处理，相 当于用2.5kg砝码在相同条件下，重复测量了 5次所得的测量值。逐差法是先将数据组，按 自变量等量增加的次序排列后(如表2.2.3第6列i =09)，分为前后相等的两组(即分为i =0 4和i =59两组)，然后用前后两组对应序号的测量值求差，即表2.2.3中第七列气心-ni。 这种处理方法，充分利用了每一个测量数据，可视为是在2.5kg砝码作用下，对钢丝伸长量 做的5次重复测量。故求出5次逐差数后，按处理多次测量数据的方法，求最佳值等来处理 即可。3. 把已知有关数据代入(2.2.6)式求出钢丝的弹性模量。把有关数据代入(2.2.7)式求出 u(K)/Y和u(Y)，表示实验结果。4. 用表2.2.3第二列和第六列的数据，以m为纵轴，n为横轴，作图线以验证虎克定律。【注意事项】用逐差法处理数据时应注意1. 测量关系式应属y = a + bx线性函数形式；2. 自变量x视为准确量(相对于y )，且为等间隔变化。
