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1、中心切片定理定义:密度函数f（x,y）在某一方向上的投影函数g 0 （R）的一维傅里叶变换函数G 0 （p）, 是密度函数f（x，y）的二维傅里叶变换F（p，0）在p，0平面上沿同一方向过原点直线 上的值。图4.19闹明投影定理（中心切片定理）用图图像/（工寸）在#方向投影色（工舟的1D傅里叶变换给出了六工点）的2D 傅里叶变换的一个切片，切片位置通过原点且与她轴成8角.血了目很！装有MATLAB程序的PC机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。CT图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系 数。图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影
2、法等。在介 绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。图1中心切片定理滤波反投影法重建CT图像实验指导书一、实验日的1. 了解傅立叶变换法、直接反投影法重建CT图像的原理；2.掌握滤波反投影法重 建CT图像的原理和基本方法。二、实验器材装有MATLAB程序的PC机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。三、实验原理CT图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系 数。图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。在介 绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。1.中心切片定理密度函数(,)fxy在
3、某一方向上的投影函数()gR 的一维傅立叶变换函数()g 是原密 度函数(,)fxy的二维傅立叶变换函数(,)F 在(,) 平面上沿同一方期巨过原点的直线上 的值。图1中心切片定理2 .傅立叶变换法如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作傅立叶变换，根据中心切片定理， 变换后的数据将充满整个(,)uv平面。一旦频域函数(,)Fuv 或(,)F的全部佰都得到后，将其做傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数(,)fxy，即所要重建的图像。上述图像重建算法称为傅立叶变换法，图2给出了傅立叶变换重建方法的流程图。图中 指出，对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。根据中心切片定理，可将此变换结果
4、 看成二维频率域中同样角度下过原点的直线上的值。在不同投影角下所得的一维变换函数可 在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数，将此二维变换函数做一次逆变换，就得到了所要 求的空间域中的密度函数。为了在二维逆变换中采用快速傅立叶变换算法，通常在逆变换前 要将极坐标形式的频域函数变换成百角坐标形式的数据。/(xy)* inT会宝.IF尊1 f 1?T 2D in 一1FUII1频域|勺-傅立叶变换重建图像的过程滤波反投影法直接反投影法重建的图像是模糊的。虽然这种模糊的图像可以经过修正后再现原始的密 度函数，但修正的过程是很费时的。这就是先反投影，后修正重建方法存在的问题。滤波反 投影法采用先修正、后反
5、投影的做法，同样可得到原始的密度函数。其基本方法是：在某一 投影角下取得了投影函数(一维函数)后，对此一维投影函数作滤波处理，得到一个经过修 正的投影函数；然后再将此修正后的投影函数作反投影运算，得到所需的密度函数。这一方 法中要解决的主要问题是如何修正投影函数才能使之在反投影后能重建原密度函数。图6 给出了滤波反投影法重建图像的流程图。IlLlpl.Jr 11 Iy1- 一Tr4lT-E图6滤波反投影法滤波反投影法重建图像有以下几个步骤：（1）对某一角度下的投影函数作一维傅立叶变换；（2）对（1）的变换结果乘上一维权重因子；（3）对（2）的加权结果作一维逆傅立叶变换；（4）用（3）中得出的修
6、正过的投影函数做直接反投影；（5）改变投影角度，重复（1）（4）的过程，直到完成全部180度的反投影。滤波函数滤波函数的选取是滤波反投影法的关键问题。在实际系统中选择滤波函数时还要考虑许 多其他因素，包括系统的带宽、信噪比与分辨率等。下面介绍两中不同类型的滤波函数。（1）R-L滤波函数R-L滤波函数的基本出发点是认为实际的二维图像函数总有一个频率上限，所以频域中的滤波函数Id可表示为IM0其滤波函数如图7所示,遂续的R-L卷积函数为hR-L W = A2siii c（2pzR ） -sin 仁氏）（5）离散化的R-L卷积函数为r 1， n = 0 4尸妃2（就）=* ，兀为偶数（6）-亓5为奇
7、数CT图8 (a) (b)分别为连续形式、离散形式的R-L卷积函数。(b)图8 R-L卷积函魏，(a)连续形式，(b)离散形式R-L滤波函数的特点是函敬形式简单，重建的图像轮廓清晰。存在的问题是；由于石 域中用矩形函敬截断了滤波函数，在相应的空域中造成振荡响应，即所谓的Gibbs现笏 另外，如果投影数据中含有噪声，则重建的图像质量也不够满意。(2) S-L滤波函数与R-L滤波函敬不同的是，S-L滤波函敬在频域中不用矩形函敬去截断棚滤波函资 而是用一些比较平滑的窗函数来约束滤披函数，例如，可以令窗函数形(Q)为(/?)= sin c(-)rect-)2 炀 2/7。于是可得S-L滤波函数为Hs-
8、l(C =切回宜()陀就(仁)2月)2p其滤波函敬如图9所示。图9 S-L滤波函数对应的卷积函数为4例 24poR sin(290A)=)(8)其离散化的卷积函数为妃炉)=2勿2丁2(折一)(9)图10 (a) (b)分别为建续形式、离散形式的SL卷积函数。图10 S-L卷积函数，(a)连续形式，(b)离散形式用S-L滤波函数重建的图像中振荡相应较小，对含噪声的数据重建出来的图像质: R-L滤波函故重建的图像质量要好。但是，S-L滤披函数重建的图像在高频响应方面不 滤波函数好，这是因为S-L滤波函数在高频段偏离了理想的滤波函数p。滤波反投影法无需等待所有数据采集完毕后再作处理。当扫捕系统在作机械运动 当在一个角度上获得了投影函数后，计算机马上就可对其这行傅立叶变换等处理。这 旦扫描结束后只要再作数毫秒的处理就可得到重建的图像。
