排列、组合、二项式定理.docx

《排列、组合、二项式定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列、组合、二项式定理.docx（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、佛山学习前线教育培训中心高三第一轮复习 计数原理【一轮复习指导】 要弄清分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系，这是解排列组合问 题的基础基础梳理1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类 方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成 这件事情共有N=种不同的方法2. 分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成 第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这 件事情共有N=种不同的方法.基础训练：1. （人教A版教材习题改编）由0,1,2,3这四个数字组

2、成的四位数中，有重复数字 的四位数共有（）.A. 238 个 B. 232 个 C. 174 个 D. 168 个2. （2010-广州模拟）已知集合A = 1,2,3,4，B=5,6,7，C=8,9.现在从这三 个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个 元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）.3. （2012滨州调研）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程 中恰有1门相同的选法有（）.A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 30 种4. （2010-湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复） 表示一个信息，不同排

3、列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）.A. 10 B. 11 C. 12 D. 155.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D,若某 个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况 共有种.A ._ B _ C _ DH-i考向一 分类加法计数原理【例1】（2011全国）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4 本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（）.A. 4 种 B. 10 种 C. 18 种 D. 20 种【变式1】如图所示，在连接正八边形的 三个

4、顶点而成的三角形中，与正八边形有 公共边的三角形有 个.考向二 分步乘法计数原理【例2】a（2011.北京）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样 的四位数共有 个（用数字作答）.【变式2】由数字1,2,3,4,（1）可组成多少个3位数；（2）可组成多少个没有重复数字的3位数；（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字 大于个位数字.考向三涂色问题【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每 个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法?【变式3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一

5、条 棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.【变式4】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内， 每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种 不同的涂色方法?（难）（2011湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当nW4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n = 6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种.（结果用数值表示）排列与组合【复习指导】复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模 式题的解决方法，如指

6、标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、 相邻或不相邻问题等.基础梳理1. 排列(1) 排列的概念：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素(这里的被取元素各不 相同)按照一定的 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列.(2) 排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素的所有排列的个数叫 做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示.n(3) 排列数公式Am=.n (4) 全排列数公式A;=n(n1)(n 2)21=n!(叫做 n 的阶乘).2. 组合(1) 组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素并成一组，叫做 从n个不同元素

7、中取出m个元素的一个组合.(2) 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cm表示.n(3) 组合数公式Am n(n1)(n 2)(nm+1)n !Cm=寸=:=n Amm!m! (nm)!(n， mN*，且 mWn).特别地 C?=1.(4) 组合数的性质：Cm=C;-m :。nCj+C.L一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序二和“无序”.取出元素后交 .换顺序，如果与顺序有关是排列，,如果与顺序无关即一是组一合，基础训练:1. 8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1,

8、2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4,5,6）,则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）.A. 360 种B. 4 320 种C. 720 种D. 2 160 种2. 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）.A. 200 个 B. 190 个 C. 185 个 D. 180 个3. （2010-山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必 须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节 目演出顺序的编排方案共有（）.A. 36 种 B. 42 种 C. 48 种 D. 54 种).4

9、.如图，将1,2,3填入3X3的方格中， 要求每行、每列都没有重复数字，右 面是一种填法，则不同的填写方法共有（A. 6 种B. 12 种C. 24 种 D. 48 种5.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是（用数字作答）.考向一排列问题【例1】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间恰有两人；（5）甲不站在左端，乙不站在右端；【变式1】用0,1,2,3,4,5六个数

10、字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？ (1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1 不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列.考向二组合问题【例2】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2) 甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3) 甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4) 队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【变式2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有多少种？甲、乙所选的课程中至少有一

11、门不相同的选法有多 少种？考向三 排列、组合的综合应用【例3】(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？计算x+y+z=6的正整数解有多少组；计算好y+z=6的非负整数解有多少组.(难点)【变式3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？分成1本、2本、3本三组；(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3) 分成每组都是2本的三组；(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本.【例题4】 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？【变式4】在1

12、0名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能 演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？二项式定理【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用基础梳理1. 二项式定理(a + b)n = C0an + C；an- 0 HH Can - rbrAH C;bn(n E N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.其中的系数C；(r=O,l,，n)叫二项式系数.式中的cnan-rbr叫二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项 Tr+1=cnan-rbr-2. 二项展开式

13、形式上的特点(1) 项数为nL(2) 各项的次数都等于二项式的幕指数n，即a与b的指数的和为 L.(3) 字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4) 二项式的系数从Co，Cn，一直到C;-1，C;.3. 二项式系数的性质(1) 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即9 =钦-.(2) 增减性与最大值：n+1二项式系数c;，当kV亍时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；n当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；2nn 1n+1当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值.(3) 各二项式系数

14、和：C0 + C1 + C2Cr +Cn = 2n；n n nnn C0 + C2 + C4+=C1 + C3 + C5+=2n-1.nnnnnn巩固训练(中上难度)1. （2011-福建）（1 + 2尤）5的展开式中，X2的系数等于（）.A. 80 B. 40 C. 20 D. 102. 若（1 + g）5=a+b彖（a，b 为有理数），则 a+b = （）.A. 45 B. 55 C. 70 D. 803. （人教A版教材习题改编）若（x1）4=a0 +a 1x+a2x2+a3X3+a4x4，贝U a0+a2+ a4的值为（）.A. 9 B. 8 C. 7 D. 64. (2011-重庆)

15、(1 + 3x)“(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n =().A.6 B.7 C.8 D.95. (2011-安徽)设(x 1)21 =a0+a1x+a2x2 +a21x21，则 a10+a11 =考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在3 ）的展开式中，第6项为常数项.求n；求含X2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【变式1】(2011-山东)若一呵6展开式的常数项为60，则常数a的值为考向二 二项式定理中的赋值【例2】 二项式(2x-3y)9的展开式中，求：(1) 二项式系数之和；(2) 各项系数之和；(3) 所有奇数项系数之和.【变式2】若。山

16、-)的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为【变式 3】 已知(12x)7=a0+ax+a2x2a7x7.求：(1)a +a + +a； (2)a, +a+a_+a ； (3)a+a+a,+a；1 2713570246(4)lal + laj + 给1+ .考向三二项式的和与积【例3】A(1 + 2x)3(1x)4展开式中x项的系数为.【变式4】(2011旷东)xxX)的展开式中，x4的系数是(用数字作答).计数原理答案1. （人教A版教材习题改编）由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字 的四位数共有（）.A. 238 个 B. 232 个 C. 174 个 D. 168

17、 个解析 可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3X43 = 192（个），其中无重复的 数字的四位数共有3A3 = 18（个），故共有192- 18 = 174（个）.答案C2. （2010-广州模拟）已知集合A = 1,2,3,4, B=5,6,7, C=8,9.现在从这三 个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个 元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）.A. 24 个 B. 36 个 C. 26 个 D. 27 个解析 C4C1 + C4C1 + C3C1 = 26，故选 C.答案 C3. （2012滨州调研）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、

18、乙所选的课程 中恰有1门相同的选法有（）.A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 30 种解析 分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲 从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1 门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4X3X2 = 24（种），故选C.答案 C4. （2010.湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复） 表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）.A. 10 B. 11 C. 12 D.

19、 15解析 若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的 信息个数为C*若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C4,由分类计数原 理知满足条件的信息个数为1 + C3 + C4=11.答案 B5.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、Q,若某 个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有 种.解析 法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2X2X2X2 - 1 = 15（种）.法二 恰有i个焊点脱落的可能情况为C4（i=1,2,3,4）种，由分类计数原理，当电 路不通时焊点脱落的可能情况共q + C4 + C4 + C4

20、= 15（种）.答案15考向一 分类加法计数原理【例1】（2011全国）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4 本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（）.A. 4 种 B. 10 种 C. 18 种 D. 20 种审题视点由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理.解析 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册共C2种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共4 + C4 = 10（种）.答案 B【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有 个.解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一

21、条公共边的三角形共有8X4 = 32（个）; 第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）.由分类加法计数原理知，共有32 + 8 = 40（个）.答案 40考向二 分步乘法计数原理【例2】a（2011.北京）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样 的四位数共有 个（用数字作答）.审题视点组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理.解析 法一 用2,3组成四位数共有2X2X2X2 = 16（个），其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16-2 = 14(个).【训练2】由数字1,2,3,4,(1) 可组成多少个3位数；(2) 可组成多少个没有重复数字的3位

22、数；(3) 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字 大于个位数字.解(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根 据分步计数原理共可组成43 = 64个3位数.(2) 百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步 计数原理共可排成没有重复数字的3位数4X3X2 = 24(个).(3) 排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个.考向三涂色问题【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每 个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法?解 法一 如题图分四个步骤来完成

23、涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法 ；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色).根据分步计数原理共有5X4X3X3 = 180种涂色方法.法二 由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A5 = 60种 涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60X3 = 180种涂法.【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上:、的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解 法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑 另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.由题设，四棱锥S

24、 -ABCD 的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5X4X3 = 60种染色方法.【示例】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每 格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不 同的涂色方法？解答示范如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第1个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法. 当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A2=12种不同的涂法，第4个小 方格有3种不同的涂法.由分步计数原理可知，有5X12X3 = 180种不同的涂法;（2011-湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当nW4时，在所有

25、不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种（结果用数值表示）尝试解答（1）当n = 6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正 方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形 插入四个白色正方形形成的5个空内，有C2=10种方案，当有三个黑色正方形 时，同上方法有Cj=4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形, 综上可知共有21种方案.（2）将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都 有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所

26、求事件为（1）的对立事件， 故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26-21=43（种）.答案21 43排列组合答案基础训练：1. 8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续 数字（如：4,5,6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）.A. 360 种B. 4 320 种C. 720 种D. 2 160 种解析 本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三 个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩 下的5个排在其他的编号的5个

27、跑道上，故共有6A3A5 = 4 320种方式.答案 B2. 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）.A. 200 个 B. 190 个 C. 185 个 D. 180 个解析 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C40 = 210个四面体.其中四点在同一平面内的有三类：（1）每一底面的五点中选四点的组合方法有2C4个.（2）五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C2个.（3）一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB II E1C1）,这样共面的四点共有2C5个.所以 C40 - 2C4 - C2 - 2C1 = 180（个），选 D.答案 D3. （20

28、10-山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必 须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A. 36 种 B. 42 种 C. 48 种 D. 54 种 解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法.当 甲排在第一位时，有A4 = 24种排法，当甲排在第二位时，有A1-A3 = 18种排法, 所以共有方案24 + 18 = 42（种），故选B.答案B4.如图，将1,2,3填入3X3的方格中， 要求每行、每列都没有重复数字，右 面是一种填法，则不同的填写方法共有（A. 6 种B. 12 种C. 2

29、4 种D. 48 种解析 只需要填写第一行第一列，其余即确定了.因此共有A3A2=12（种）.答案 B 5.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才 能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是（用数字作答）.解析 可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、1、b表示，要求是甲在乙前，乙 在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、1、b五个元素的排列， 可先排1、b,再排甲、乙、丙丁共A2C3 = 20种排法，也可先排甲、乙、丙丁， 再排1、b,共C3A2 = 20种排法.答案 20考向一排列问题【例

30、1】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间恰有两人；（5）甲不站在左端，乙不站在右端；审题视点根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑法、插空法等.解（1）A2A4=480；（2）A?A5 = 240； 0 48= 25 4 4A ) 3(4) A22A42A33=144；(5) A6 2A5+A4=504；【训练1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1) 0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1 不在个位；(6)偶数数

31、字从左向右从小到大排列.解 A2A法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四=480；(2) A2A4A4=192；(3) A5A5A2A4A4=408，(4)A4A3A2A+ 2A1外；二内三外；三内二外;14 656(种).， 外 一内四= 1C4C+C2C3C+3C2C+4(5) A6 2A5+A4=504；(6) A6A3 = 60.考向二组合问题【例2】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队， 其中(1) 某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2) 甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3) 甲、乙两人至少有一人参加

32、，有多少种选法？(4) 队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？审题视点“无序问题”用组合，注意分类处理.解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C38 = 816(种)；(2) 只需从其他18人中选5人即可，共有C58 = 8 568(种)；(3) 分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CiC4 +C3 =6 936(种)；2 1818法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种 数，得 AL(C52+C5) = 14 656(种).【训练2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有多少种？甲、乙所选的课程

33、中至少有一门不相同的选法有多 少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相 同的选法种数共有C4C2C；=24(种).(2) 甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C4C4，又甲乙两人所选 的两门课程都相同的选法种数为C2种，因此满足条件的不同选法种数为C2C2一 C2=30(种).考向三 排列、组合的综合应用【例3】(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都 不空的放法共有多少种？计算x+y+z=6的正整数解有多少组；计算好y+z=6的非负整数解有多少组.审题视点根据题目要求分类求解，做到不重不漏.解(1)法一 先将其中4个相同的

34、小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其 余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况： 某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球， 有C：种不同的放法； 这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3 个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C4种不同放法； 这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从 这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A2种不同的方法.综上可知，满足题设条件的放法为C4+C3+A2=20(种).【训练3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方 式？分成1本、2本、3本三

35、组；(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3) 分成每组都是2本的三组；(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本.解(1)分三步：先选一本有C/种选法；再从余下的5本中选2本有C?种选法； 对于余下的三本全选有C；种选法，由分步乘法计数原理知有C1CjC3 = 60种选法. (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因 此共有以仁。3人3 = 360种选法.6 5 3 3（3）先分三步，则应是C2C4C2种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为 分别A、B、C、D、E、尸，若第一步取了08，CD，EF），则C6C2C2种分法中还 有08

36、、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、 CD）共有A3种情况，而且这A3种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只C2C2C2算作一种情况，故分配方式有蛙=15（种）.A32433（4）在问题（3）的基础上再分配，故分配方式有 【例4】 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意 取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？错因 第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法 重复.实录按分步原理，第一步确保1个一等品，有C*种取法；第二步从余下的19 16个零件中任意取2个，有C29种不

37、同的取法，故共有C16C29=2 736种取法.正解 法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等 品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：q6C2+ C16C4+C36=1 136（种）.法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C20-C4=1 136（种）.【变式4】在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能 演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？尝试解答本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人.把问 题分为：（1）独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员 一起参加伴舞人员的选拔；

38、（2）独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2 人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选 拔.故选法种数是qC4+04=245.3 /2 8二项式定理答案【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用基础训练1. （2011-福建）（1 + 2尤）5的展开式中，X2的系数等于（）.A. 80 B. 40 C. 20 D. 10解析 Tr+i = Cr5(2x)r=2rCr5Xr，当 r = 2 时，T3 = 40x2.答案B2. 若(1 +履)5=a+b履(a，b为有理数)，则a+b = (

39、).A. 45 B. 55 C. 70 D. 80解析(1 + 2)5 = 1 + 52 + 10(6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n =().A.6 B.7 C.8 D.9解析 Tr 1 = C;(3x)r = 3rC;xr由已知条件35C5 = 36C6nn即 C5 = 3C6 nnn!n!;:- = 3;:-5! (n - 5)!6! (n - 6)!整理得n = 7答案 B5. (2011-安徽)设(x 1)21 =a0+a1x+a2x2 +a21x21，则 a10+a11=.解析 Tr+1 = C21x21 -r( - 1)r = ( - 1)rC21x21 -r由题意知a10

40、, a11分别是含x10和尤11项的系数，所以a10=-CiJ, a11 = Cio,Aai0 + aii = C2i-C2i = 0-答案0考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.求n；(2)求含X2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.n rrn 2r解通项公式为 4+i=CnT(3)rx3=(3)rCnx.第6项为常数项，,n2r .r=5 时，有一3=0,解得 n=10.n 2r，一 1(2) 令 3 =2,得 r=2(n 6) = 2,.Lx2的项的系数为C10(3)2=405.(.一102reZ,.J 3. 10 2r一.3(3) 由

41、题意知 0VrV0令 3= (k eZ),则 102r=3k ,即 r=52Oez.k ,.rez,.k应为偶数,.k =2,0 , 2 ,即r=2,5,8.第3项，第6项， 第9项为有理项，它们分别为405x2 , 61 236,295 245x-2.【训练1】(2011-山东)若一判6展开式的常数项为60 ,贝U常数a的值为解析 二项式-*展开式的通项公式是Tr+1 = C6%6-r( -ya)rx-2r = C6x6-3r(- g,当r = 2时，T+为常数项，即常数项是C2a，根据已知C6a = 60，解得a =4.答案 4考向二 二项式定理中的赋值【例2】二项式(2x-3y)9的展开

42、式中，求：(1) 二项式系数之和；(2) 各项系数之和；(3) 所有奇数项系数之和.审题视点此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值.解设(2尤一 3y )9=与朋+a+ay2 HH a9.二项式系数之和为C?+C19+q+C3=29.(2) 各项系数之和为。0 + 口+。2。9 =(2一3)9= 1(3) 由(2)知气+气+气。9= 一1，令尤=1, y= 1,得 a-aa2S = 5959_ 1将两式相加，W a a a a a = ,即为所有奇数项系数之和. (J 24 o o Z【变式2】若(3山一的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为【答案】-54Q【解析】令工=1得二

43、项式 m展开式的各项系数之和是由此得网=(5.根据二项式的特点，其常数项一定是中间项，这个常数项是【点评】注意二项式各项系数之和与各项的二项式系数之和的区别，这个题目这两个和 相等，但很多是不相等的.历届高考真题】2012年高考通】【训练3】已知(1一2尤)7=% +1 /+ax2 H ax1.求：(1)。a ； (2)。+。；(3)g +g +。+。；(4)1。I + Ig I + Ig IJ.Z/JL。/J匕ivJJL匕HIql.ft? 令尤=1,贝U。+。+。+。+。+。+。+。= 1. (J i 234 j o /令尤=1,则 aQ-aa-a3+a-a5+a-a=3(1) 。0 = (

44、2弓=1, .。+。2 +。3。7=一2.一1 3，(2) (一)?2,得a-a-a= 1 094.1 + 37(3) (+)小2,得 g+。+。+。=1 093.024 oZ(4) V(12x)7 展开式中，a0, a2, a., a6 大于零，而 a., a3, a5, a7 小于零， 1%I + la I + laj + + laj (% + a。+ a+ a ) (a + a + a + a ) = 1 093 ( 1JL乙/乙IUJL。/094)=2 187.考向三二项式的和与积【例3】(1 + 2x)3(1x)4展开式中x项的系数为.审题视点求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式.解析(1+2x)3(1-x)4展开式中的X项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个 因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C0(2x)0-C4 (-X)1 + C3(2x)1-C014( -X)0,其系数为 C03C：( -1) + C32 =-4 + 6 = 2.答案2【训练3