排洪渠修建计划1.docx

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1、排洪渠修建计划【摘要】本文研究的是关于如何修建某乡村的的防汛水利工程使其花费最少 的问题。在问题一中，首先可对天然河流在2010至2014年的泄洪量通过拟合的 方法进行预测，得到其大致的发展趋势，经验证，得到的拟合效果较为显著。该 乡某村原有四条天然河流，同时有9条可供开挖的排洪沟路线和需建设的新泄洪 河道，要求在每年可投资的费用内设计一个最优的修建方案，使得该村从2010 至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万 立方米/小时的泄洪能力，可建立一个非线性规划的模型，然后进行求解。1、问题重述问题1:该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积

2、，其泄洪能 力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计 数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了 9条可供开挖排洪沟的路线。由 于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见 表2,而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年8%左右的速率减少。同时 开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且 每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到 可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排 洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从

3、2010至2014年这五年间每年分别能全 少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一 个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开 支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。表1 现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时）年份编号2001200220032004200520062007200820091号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号4

4、6.232.626.723.020.018.917.516.3表2 开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号123456789开挖费用575465538泄洪量253632153128221242问题2：该乡共有10个村，分别标记为一，下图给出了它们大致的相对 地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。 其中村距离主十河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村 之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村后，再经村 引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100 万立方米/小时的泄洪能力。表3 各村之间修建新泄

5、洪河道的距离（单位：公里）234567891018591214121617222915178111814223791171212174317107151858106151569148167861181111910请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理 方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A-村B的新泄洪河道，一般要求能够 承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）问题3：新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从 一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村 留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维

6、护工 作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？问题4：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？2、问题分析2.1、问题一根据其给出的该乡的某个村区域内原有四条天然河流近年来的可泄洪量（万 立方米/小时）粗略统计数字，所以需要先预测该四条天然河流在2010年至2014 年的泄流量。显然这四条河流无法满足该乡的在防汛工程上的要求，所以需要建 设新的水利设施。然而在地方政府每年所投资的有限经费无法在一年内完全建设 所有的防汛水利设施，由于新泄洪河道经费是138万元，需要三年才能建成，在 未完工之前不投入使用，所以第一年前就必须开始开挖排水沟以解决防汛要求。 假设排洪沟开挖工期

7、较短，建成后当年便可投入使用，注意到开挖后的排水沟的 泄洪量会以每年8%左右的速率减少。在投资的经费限定下，每年只能适当地开 挖若干条排水沟和修建一定长度的新泄洪河道。需要设定好一个合理的修建方案 使其满足防汛抗洪的要求和三年内修建总费用最少，并且在第四、五年内也满足 相应的要求。2.2、问题二已知该乡十个村庄所在地区的海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势， 所以水流只能从海拔高的地区流向较低的地区，假设在同一海拔高度的地区之间 水流基本不流动，那么处于同一海拔高度的地区之间不修建泄洪河道。根据修建 新泄洪河道的费用公式P = 0.66Q。51 L可知：两泄洪量为100万立方米/小时的泄 洪

8、河道比相同能力、相同长度泄洪能力为200万立方米/小时的泄洪河道投资大， 因此假设每个村庄只能开挖一条泄洪河道，并且各条泄洪河道之间不能相交。题 中已各村间的修建新泄洪河道的距离，在这些条件下求出修建河道的最小费用。2.3、问题三2.4、问题3、符号说明及基本假设31、符号说明i = 1,2, ,9j = 1, 2, 3, 4,m表示第i条排洪沟的泄洪量cZ表示第i条排洪沟的开挖费用f （x）表示三年来用于修建新泄洪河道的总费用t 表示第j年该地区四条天然河流的总泄流量V表示第j年用于修建新泄洪河道的费用yj表示第j年用于开挖排洪沟的费用L 表示第j年修建新泄洪河道的长度x表示第i条排洪沟第j

9、年修建w表示每年用于泄洪河道的总费用f J（x）表示每年的总泄流量Q表示修建新泄洪河道的泄流量3.2、基本假设（1）假设修建的泄洪河道每一年的泄洪量保持不变；（2）假设排洪沟开挖工期较短，即年内汛期来临前便可投入运营；（3）不考虑银行利息、物价、劳动工资的变化，则排洪沟和新泄洪河道的开 挖费用不变；（4）假设每条排洪沟开挖的地方是固定的，且每条排洪沟不能重复开挖；（5）新泄洪河道单位工程量造价恒定，修建长度与用于修建河道的资金成 正比；（6）假设洪水严格按照从海拔高度高的地区流向地处，例如和、和之 间的村庄不修建泄洪河道；（7）假设新修建的泄洪河道相互之间不能相交；（8）假设任意村修建的泄洪河

10、道只能流向下游一个村庄，即不能分支；（9）假设一低海拔泄洪河道由n条高海拔泄洪河道流入，则此河道的泄洪量需 增大到前n条河流的流量总和加上它本身的流量，不计水流的损失；（10）假设某村通过泄洪河道与n个村庄相连，那么该维护人员去其中任意一个 村庄的概率均相等，则概率为n/1。4、模型的建立与求解4、1 题一由于数据中只给出现有四条天然河流近几年的可泄洪量，所以需要先对天然 河流在2010至2014年的泄洪量进行预测，这里我们可以用到多项式拟合的方法 进行拟合。1号天然河道可泄洪量变化曲线Y = b + ax2号天然河道可泄洪量变化曲线Y aebx3号天然河道可泄洪量变化曲线Y = b + ax

11、4号天然河道可泄洪量变化曲线Y = be ax 4每条河流泄洪量五年的预测结果如表4编号年份20102012201320142015121.447220.245619.043917.842216.640621.45241.08110.80630.60300.452539.13067.04564.96062.87560.7906414.365113.041011.839015.264115.1854总泄洪量47.912043.952440.198136.584933.0691模型的建立:本题可归结为非线性规划问题求解，根据题意列出目标函数及约束条件便 能解出此题下。1. 由于该村对九条可挖排洪沟

12、进行了规划，每条排洪沟开挖的地方是固定 的，且每条排洪沟只能开挖一次。Xj. 1j = 1,2,3i = 1,2, ,8.易表示第i条排洪沟第j年修建。2. 对于新建的泄洪河道有Q = 100,L = 20因而新建泄洪河道的总费用为P = 0. 66Q 0.51 - L = 0. 66 x 1000.51 x 20 = 138.2210 （万兀）3. 由于每年地方政府提供的总资金是一定的，因此开挖的泄洪河道及排洪沟 是有限的：第j年开挖排洪沟的资金：七;第j年用于修建泄洪河道的资金：V ；j第j年的允许总费用：60; x - c + V. 150i=1第二年：092x m +x m +1 16

13、0；、i1 ii 2 i 2i=1i=1第三年：0.922x m + 092x m +x m +1 170 ；i12 i13 i 3i =1i=1i =1第四年：0.923x m + 0.922x m + 0.92x m +100 +1 180 ；i1 ii 2ii 3 i4i=1i=1i =1第五年 0.924x m + 0.923x m + 0.922x m +100 +1 190i1 ii 2 ii 3 i5i =1i =1i =1由此可得如下目标函数：约束条件:i=1 j =1j=1 2x q0.9k+2Q z nQ kj jikik = 1 j = 1k = 123 xij 129

14、xc + V, jinf671081216111814infinf3151091215178infinfinf181079151517infinf18inf111722102216infinfinfinfInf7126119infinfinfinfinfinf512911infinfinfinfinfinfinf17814infinfinfinfinfinf17inf14infinfinfinfinfinfinfinfinfinf8inf inf inf inf inf inf注：i-j表示水流从i列村流至j行村的水流流向 Inf表示不存在此水流流向。inf。infinfinf模型的求解：运用

15、matlab软件，将上表数据写成矩阵的形式采用Dijkstra算法便解出 结果如下：l =Inf6310875688z =1121136572程序见附表。编号村村村村村泄洪量200100300400600费用/万元49.208455.288484.71742.045103.407编号村村村村村泄洪量1002001000100100费用/万元55.28878.733041.46676.022经分析发现此种方案虽然使得河道网络总路程最短，但并非费用最小， 观察计算发现若调整将2村直接与3村相连费用会更小；原来1村与2村建设的新泄洪河道费用：P1=5*0.66*(2000.51)+8*0.66*(1

16、000.51)=104.4968；调整后的费用：P2=5*0.66*(1000.51)+9*0.66*(1000.51)=96.7547；所以最终修建方案如下图：5)6调整后的费用表:编号村村b村村村/泄洪量200旦J 100300400600 -费用/万元34.555262.199484.71742.045(L3.407编号村村村村村泄洪量1002001000100100费用/万元55.28878.733041.46676.022最终的总费用p=571万元4、3题三模型的建立:4、4题解决方法：从第二问的建设网络中，我们发现附表：问题一程序：model:sets:row/1.9/:c,m;c

17、ol/1.3/:l;link(row,col):x;endsetsdata:t1=47.9120;t2 =43.9524;t3 =40.1981;t4 =36.5849;t5 =33.0691;Q=100;L0=20;m=25 36 32 15 31 28 22 12 42 ;c=5 7 5 4 6 5 5 3 8;enddatamin=sum(link(i,j):c(i)*x(i,j)+0.66火Q八0.51火L0;sum(col(j):l(j)=20;for(row(i):sum(col(j):x(i,j)=1);0.66火Q八0.51*l(1)+sum(row(i):c(i)*x(i,1

18、)=60;w1=0.66火Q八0.51*l(1)+sum(row(i):c(i)*x(i,1);0.66火Q八0.51*l(2)+sum(row(i):c(i)*x(i,2)=60;w2=0.66火Q八0.51*l(2)+sum(row(i):c(i)*x(i,2);0.66火Q八0.51*l(3)+sum(row(i):c(i)*x(i,3)=150;f0=t1+sum(row(i):m(i)*x(i,1);t2 + sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,2)=160; f1=t2 + sum(row(i):m(i)*x(i,

19、1)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,2);t3 + sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)八2)+sum(row(i):m(i)*x(i,2)*(1-0.0 8)+sum(row(i):m(i)*x(i,3)=170;f2=t3 + sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)八2)+sum(row(i):m(i)*x(i,2)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,3);t4+Q+(f2-t3)*(1-0.08)=180;f3=t4+Q+(f2-t3)*(1-0.08);t5+Q+(f3-t4)*(1-

20、0.08)=190;f4=t5+Q+(f3-t4-Q)*(1-0.08);for(link(i,j):bin(x(i,j);bnd(0,l(1),20);bnd(0,l(2),20);bnd (0,l(3),20);V1=0.66火Q八0.51*l(1);V2=0.66火Q八0.51*l(2);V3=0.66火Q八0.51*1(3);y1=sum(row(i):c(i)*x(i,1);y2=sum(row(i):c(i)*x(i,2);y3=sum(row(i ):c(i)*x(i,3);end问题二程序：clear allclcw=inf 6710 812161118 14inf inf 3

21、1510 91215178inf inf inf1810 79151517inf inf 18inf11 1722102216inf inf infinfinf 7126119inf inf infinfinf inf512911inf inf infinfinf infinf17814inf inf infinfinf inf17inf14infinf inf infinfinf infinfinfinf8inf inf infinfinf infinfinfinfinfn=size(w,1); w1=w(1,:);%赋初值 for i=1:nl(i)=w 1(i);z(i)=1； end

22、s=； s(1)=1； u=s(1);k=1lzwhile k w(u,i) l(i)=w(u,i); z(i)=u; w(u,i)endendendendulzll=l;for i=1:nfor j=1:kif i=s(j) ll(i)=ll(i)；elsell(i)=inf;endendend%求v*ll=l;for i=1:nfor j=1:kif i=s(j) ll(i)=ll(i);elsell(i)=inf;end endend lv=inf;for i=1:nif ll(i)lv lv=ll(i); v=i;endendlvvs(k+1)=vk=k+1u=s(k)endlz问题三程序：model:sets :row/1.10/:p;endsetssum(row(i):p(i)=1;p(1)=1/3*p(3);p(2)=1/3*p(3);p(3)=1/2*p(4)+p(1)+p(2);p(4)=1/3火p(4)+1/3火p(5);p(5)=1/2火p(4)+p(6)+1/3火p(8);p(6)=1/3*p(5);p(7)=1/3*p(8)+p(9);p(8)=1/3火p(5)+1/2火p(9)+p(10);p(9)=1/2*p(7);end