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1、“数与式”复习西城实验学校 李亚平2012.2.23数与式的内容包括实数、整式、分式和二次根式，这部分内容的特点是概念多、性质多、 运算法则多、技能性强.这部分知识的很大一部分是数运算、式运算与式的变形等方面的技 能，体现转化思想和类比思维。它是初中数学的基础，是所有解方程（组）、不等式（组）， 解决概率和统计等有关计算问题的基础，而且还是许多图形问题中有关数量表达的基础因 此要重视这部分的复习，做到会做的题不丢分.数与式这部分内容在2006、2007、2008、2009、2010、2011六年的北京市中考题中 直接考查这部分知识的题目分别占了 34分、39分、34分、26分、29分、34分，
2、因此，复 习时要充分重视.一、中考考试要求考试内容考试要求层次ABC数与代数数与式有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小无理数了解无理数的概念能根据要求用有理数估 计一个无理数的大致范 围平方 根、算 术平方 根了解开方与乘方互为逆运 算，了解平方根及算术平 方根概念，会用根号表示 非负数的平方根及算术平 方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用 根号表示数的立方根会用立方运算的方法， 求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算数轴能用数轴上的点表示有理 数；知道实数与数轴上的 点一一对应相反数会用有理数表示具有相反 意义的量，借助数轴理解 相反数
3、的意义，会求实数 的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意 义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解 决简单的化简问题和计 算问题有理数的运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）能运用有理数的运算解决简单问题运算律理解有理数的运算律能用运算律简化有理数 运算近似 数、有 效数字 和科学 记数法了解近似数和有效数字的 概念；会用科学计记数法 表示数在解决实际问题中，能 按问题的要求对结果取 近似值；能对含有较大 数值的信息做出合理的 解释和推断数 与 式代数式理解用字母表示数的意义会列代数式表示简单的 数量关系；能解释一些 简单代数式的实际意义
4、 或几何意义代数式 的值了解代数式的值的概念会求代数式的值；能根 据代数式的值或特征推 断代数式反映的规律能根据特定的问题所 提供的资料，合理选 用知识和方法，通过 代数式的适当变形求 代数式的值整式了解整式的有关概念数 与 代 数整式的加减运算理解整式加、减运算的法 规会进行简单的整式加、减运算能运用整式的加减运 算对多项式进行变 形，进步解决有关 问题整数指 数幂了解整数指数幂的意义和 基本性质能用幂的性质解决简单 问题整式的 乘法理解整式乘法的运算法 贝h会进行简单的整式乘 法运算（其中的多项式相 乘仅指一次式相乘）会进行简单的整式乘法 与加法的混合运算能选用恰当的方法进 行代数式的变形
5、平方差 公式、 完全平 方公式理解平方差公式、完全平 方公式，了解其几何背景能用平方差公式、完全 平方公式进行简单计算能根据需要，运用公 式进行相应的代数式 的变形因式分 解了解因式分解的意义及其 与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式 法（直接用公式不超过 两次）进行因式分解（指 数是正整数）能运用因式分解的知 识进行代数式的变 形，解决有关问题分式的 概念了解分式的概念，能确定 分式有意义的条件能确定使分式的值为零 的条件分式的 性质理解分式的基本性质，并 能进彳丁简单的变形能用分式的基本性质进 行约分和通分分式的 运算理解分式的加、减、乘、 除运算法则会进行简单的分式加、 减、乘、除运
6、算；会选 用恰当方法解决与分式 有关的问题二次根式及其了解二次根式的概念，会 确定二次根式有意义的条能根据二次根式的性质 对代数式作简单变形；性质件能在给定条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、 乘、除运算法则会进行二次根式的化 简，会进行二次根式的 混合运算（不要求分母 有理化）二、20092011年中考命题规律总结（一）实数内容知识点分项细目09年10年11年考试要求ABC实数基本概念1.实数的分类V数轴2.数轴上的点与 实数的对应关系V平方根、算 术平方根3.平力根、算术 平力根的概念V及立力根4,利用根号表示 非负数的平力 根、算术平力根 及立方根V相反数、绝
7、对值及倒 数5.相反数的意义 及求法选择1 题V6,实数绝对值的 求法选择1 题V7,倒数的意义及 求法选择1题V科学记数法、有效数字、近似数8,近似数、有效 数字的概念，利 用科学记数法表 示数选择2 题选择2题选择2 题V数的大小 比较9.实数的大小比 较，估计无理数 的大小V实数的运 算10.运算法则和 运算律解答13 题解答13题解答13 题V11.能运用有理 数的运算解决简 单问题V科学记数法与实数的运算是必考内容，且科学记数法一般都在选择题中出现，实数的运 算在解答题第13题出现；选择题第1题一般考查相反数、绝对值及倒数的定义，这三个知 识点在历年中考题中交替出现；平方根、算术平方
8、根的内容一般与勾股定理等知识相结合考 查；运用有理数的运算解决简单问题近几年在综合题中有所体现.近三年都考查了科学记数法，主要以社会热点问题作为命题的背景；近三年考卷中的第 13题主要以绝对值、零指数幂、负指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等运算为重要考点.（二）整式的运算、乘法公式内容知识点分项细目09年10年11年考试要求ABC整 式 的 运算、乘 法 公式整式运算1.幂的运算V2,整式的加减、乘除混合运算V乘法公式3,平方差公式V4.完全平方公式填空11题V因式分解5.利用提公因 式法和公式法分 解因式选择7 题填空10题填空10题V因式分解是每年中考必考内容，一般出现在选择题、
9、填空题当中乘法公式也是常考内 容，对于整式的运算，一般体现在综合题的解题过程中，所以在复习中要引起足够重视近三年考题中对因式分解的考查中，设计的题目都是先提取公因式，再利用公式法解题. 近三年考题中基础题部分有关乘法公式的考查，一是因式分解中逆用乘法公式，二是利用乘 法公式将代数式变形.（三）分式、二次根式的概念与运算内容知识点分项细目09年10年11年考试要求ABC整 式 的 运算、乘 法 公式分式的概念及性质1.能确定分式有意 义或值为零的条 件填空9 题V2.利用分式的基 本性质进行约分 和通分V分式的运算3.分式的加、减、乘、除运算V次根 式二次根式及其性质4.二次根式有意 义的条件，
10、确定字 母的值填空9题V二次根式 的运算5.二次根式的加、 减、乘、除混合运 算V对分式、二次根式的考查内容主要是确定分式有意义或值为零的条件，确定二次根式有 意义的条件.二次根式的性质及化简主要结合实数运算进行.（四）求代数式的值内容知识点分项细目09年10年11年考试要求ABC求 代 数 式 的 值求代数式 的值1.会求代数式的值V2.通过代数式的 适当变形求值解答16题解答15题V求代数式的值是常考内容，题型以解答题为主，一般出现在解答题第15题或16题的位 置上，而在综合题的解答过程中，有时也有通过适当变形求代数式值的问题，应予以重视近三年中考题以有关条件求值作为常考题型.一类问题是以
11、非负数为载体命题；一类问 题是以方程为条件，结合代数式的恒等变形整体带入求值.北京市中考主要考点：1. 相反数，倒数，绝对值等有理数有关的概率；2. 科学计数法；3. 分式与二次根式有意义的条件与分式值为零的条件；4. 简单的因式分解；5. 含有整数指数幂（0次或负1次）、无理数化简、特殊三角函数值在内的综合运算；6. 绝对值与平方数及二次根式的非负性；7. 条件求值；（整式与分式的运算）8. 新型题：找规律及用代数式表示规律的问题；9. 二次多项式的配方变形。三、“数与式”的考法分析“数与式”主要包括数与式的有关概念和运算，用数或式表示各种情境中的数量及数量关 系，它们是初中数学中最为基础的
12、内容，在中考试卷中也大都以容易题和中档题的形式出现. 最近几年出现了 “以数与式的知识为载体考查数学思考和数学学习能力”的新题型（一）考查“数与式”的基础知识和基本技能1.考查对数与式基本概念的理解例1题1 （2010北京）：-2的倒数是（）AA. -2B. 2C. -2D. 2题2：写出一个比-1大的负有理数是,比-1大的负无理数是.题 3 （2007 北京）：若I m + 21 + （n-1）2 = 0，则m + 2n 的值为（）CA. -4B. -1C. 0D. 4题4（2011北京）:我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人。将665 575 3
13、06用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）CA. 66.6x107b. 0.666 x 108 c. 6.66x 108d. 6.66x 107评析：题1考查是否真正理解了倒数的概念；题2以开放的方式来考查有理数和无理数的 概念及大小关系；题3考查了 “绝对值”和“平方数”的非负性质，以及绝对值的意义和“相 反数”的意义；题4考查了科学记数法与有效数字的概念.凸显所考知识的“基础性”及其 基本的认知要求，是这4道题的共同特点.2. 考查对数与式有关性质的掌握例2题1：如图，在数轴上表示实数*15的点可能是（）CA.点P B.点QC.点 M D.点 NS Q一一一题2（2011海淀一模）：
14、若分式 上有意义，则x的取值范围是 . 4x - 4题3：已知上? =土色，则。的取值范围是（）C a 2 aA. a 0 B. a 0 C. 0 a 0评析:题1考查实数的大小关系以及在数轴上的表示;题2考查分式在什么情况下有意义;题3考查平方根的意义和性质.3道题都是围绕着基本性质，构题简明，目标明确.3. 考查对数与式运算法则的掌握例3题1（2011平谷一模）：下列运算正确的是（ ）AA.2x2*3x2= 6x4B.2x2 一 3x2 = -1C.2x2+ 3x2 = x2D.2x2 + 3x2= 5x43题2：化简a + b + （a - b）的最后结果是（）CA. 2a + 2bB.
15、 2bC. 2a D. 0题3：下列计算错误的是（）DA. - （-2） = 2 B. 、& = 22C. 2x2 + 3x2 = 5x2d. （a2）3 = a5评析：数、式的运算法则是极为重要的基础知识，有必要进行针对性的考查本例3道 题以不同的方式考查了掌握运算法则和运算性质的情况.4. 考查数与式的运算及变形的技能例 4 题 1：若 x = pa -x：b， y = 0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的ABC,并求出它的面积是： 探索创新：(3)若 ABC 三边的长分别为 -;4m2 + n2 、 侦 16m2 + n2 、 2(m2 + n(m 0, n
16、 o, m丰n)，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出ABC的(2)面积：3a 2.(3)面积：3mn.面积为： 答案: (1)评析：这两道题以式的建立和表达为基础，把图形直观和其中蕴含的数量关系与式的表 达有机地结合起来，考查运用代数与几何的相关知识解决问题 题1的(1)直接要求列 式，(2)可有直接列式求得，也可借助列出方程求得，主要考查的都是列式的能力；题2 的(1)直接要求列式，(2)要借助“两点的所有连线中线段最短”来求得相应的最小值，(3) 则是依据给出的代数式构造出类似于满足(2)的那样的几何图形借以求出原式的最 小值，突现了数形结合的重要意义和作用；题3主要考查利用网
17、格构图求面积方法.这三 道题既突出了对数形结合思想的考查，又突出了对分析问题与解决问题能力的考查2. 对数与式进行深入探究，考查知识的关联和思维的深刻性例8题1：若实数a、 b满足a + b2 =1，则2a2 + 7b2的最小值是.2题2：已知m 2, n 2，且m、n均为正整数，那么下列3个叙述： 在25的“分解”中最大的数是11； 在43的“分解”中最小的数是13； 若m3的“分解”中最小的数是23， 则m等于5.其中正确的是如果将mn进行如下方式的“分解”，评析：题1主要考查式的表达及变形，以及一个字母的代数式的函数意义；题2主要考 查数的一种特殊的分解.两题对知识的关联和转化的考查，以
18、及对观察能力和分析问题能 力的考查，都有较高的要求.这样的题目有助于日常教学重视学生思维的广阔性和深刻性3. 借助发现规律，考查归纳思考的能力例9题1：用同样大小的黑色棋子按图（1）、（2）、（3）所示的方式摆图形，按照这样的 规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚.（用含n的代数式表示）3n+1（1）（2）（3）an (n3).则a5的值是_30.1197+ 的结果是时，n的值a600题2：如图，第（1）个多边形由正三角形扩展而来，边数记为a3，.第（2）个多边形由正 方形扩展而来，边数记为气，依此类推，由正!边形扩展而来的多边形的边数记为为。199题3：让我们轻松一下，做一个数字游戏:第一步：
19、取一个自然数n1 = 5，计算n+1得a1 ；第二步：算出a1的各位数字之和得n 2，计算+ 1得a 2 ；第三步：算出a之的各位数字之和得计算；+1得七;,26依次类推，则a2008题3 (2011密云二模)：设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线 IAE为边作第三个正方形AEGH，如此下去(1)记正方形ABCD的边长为匕=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a，a，a，a，求234n.(nN1) ( n 是自(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长a的表达式.n然数)答案(1)。广1 =尊)。，。2= (2)1，。3=2 = 6,。4=2(克)=(.2)3(2) a =(而n-1(n 31)评析：这类试题需借助操作与归纳思考，用代数式表示出情境所蕴含的规律 正确解答这 样的题的基础在于对所给的示例进行观察、操作、对比与分析，从中归纳与概括出所体现的 规律来.因此，这类题是考查合情推理的常用手法.四、复习建议1 .依据课标及考试说明的要求对知识进行全面复习，控制难度；2. 强调解题格式，分专题进行复习；3. 要引起学生的足够重视，要求到位，强调落实；4. 要注意数学思想和方法的渗透.(数学方法：待定系数法、配方法、换元法.数学思想：数形结合、分类讨论、方程与函数、转化等)。五、“数与式”复习课时计划
