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1、数形结合在解题中的应用目录第一章引言2第二章数形结合在解题中的应用32.1数形结合在集合中的应用32.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题32.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题32.2数形结合在解析几何中的应用42.2.1与斜率有关的问题52.2.2与距离有关的问题52.2.3与截距有关的问题72.2.4与定义有关的问题72.3数形结合在函数中的应用92.3.1 利用数形结合解决与方程的根有关的问题92.3.2 利用数形结合解决函数的单调性问题92.3.3 利用数形结合解决比较数值大小的问题102.3.4 利用数形结合解决抽象函数问题112.4、数形结合在不等式中的应用12
2、2.4.1 求参数的取值范围122.4.2 解不等式 132.5数形结合在解三角函数中的应用142.6数形结合在复数中的应用16第三章数形结合在高等数学中的应用173.1数形结合在数学分析中的应用173.3.1用数形结合求定义域173.1.2微积分中的解题应用数形结合183.2数形结合在常微分方程中的应用193.3数形结合在概率论中的应用21第四章利用数形结合思想解题需要注意的问题22第五章结论与展望22【参考文献】23数形结合在解题中的应用摘要：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合起来使抽象思维和形象思维结合。运用数形结合的思想方法，既可以使很多代数问题 的解决简捷明了
3、，也可以大大开拓我们的解题思路。本文主要通过一些例题讲解 数形结合的思想在初等数学即集合、解析几何、函数、三角函数、不等式、复数 以及高等数学中的相关应用。关键字：数形结合应用初等数学高等数学第一章引言数与形是数学研究（尤其是中学数学研究）的两类基本对象，相互独立又互 相渗透。在坐标系建立以后，数与形的结合更为紧密。而且，在实际应用中，若 就数论数，便缺乏直观性；若就形论形，便缺乏严密性。而二者结合往往可优势 互补，得到事半功倍的效果。通过数到形结合的研究对数学思维品质的培养大有 帮助。数形结合，就是据数学问题的条件和结论间的内在联系，既分析其代数含 义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式
4、巧妙地结合，再充分利用这种结 合寻找解题思路，解决问题的数学思想方法。数形结合的思想既是数学的本质之一，也是数学教学的精髓，可以融合、 贯穿在课堂教学教程中。我们可以利用数形结合引入新知，建构概念，提出问题， 解决问题，利用数学思想、数学方法去激发学生的学习兴趣，提高其数学能力， 同时也为学生以后的学习和工作打下坚实基础。很多时候，数形结合能使数量之 间的联系变得直观，在分析问题时，注意把数和形结合起来，由问题的具体情形， 把数量关系问题化为图形问题，或把图形问题化为数量关系问题，使复杂问题简 单化、抽象问题具体化，化繁为简、化难为易。高考考试说明中明确指出：数形结合的思想方法是学生必须掌握的
5、思想方法 之一。历年的高考试题中，充分体现了数形结合的应用。在我们的大学数学中， 也有很多关于数形结合的思想在解题中的应用，比如高等数学里面的微积分、数 学分析中的求面积、求体积的问题，概率统计以及常微分方程等都有运用到数形 结合，由此可见数形结合的思想贯穿整个数学研究。后面我们从集合、解析几何、 函数、不等式、三角函数、复数5个方面谈数形结合在初等数学解题中应用。从数学分析、概率论、常微分方程来谈数形结合在高等数学中的应用。第二章数形结合在解题中的应用2.1数形结合在集合中的应用2.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般我们用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则 表
6、示两个集合没有公共元素.若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关 系的问题.例如：例1.有45名学生，要求每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的 人数分别为27，24，14，同时参加理、数小组的8人，同时参加化、数小组的 6人，同时参加化、数小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人【分析】我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数(如图1)，则三 圆的公共部分表示同时参加数理化小组的人数.用card表示集合中元素的个数， 则有：card (A) + card (B) + card (C) - card (A A B) - card (A A C) - card (B
7、 A C) + card (A A B A C) = 45即：27 + 24 +14 - 8 - 6 - 7 + card (A A B A C) = 45.card(A A B A C) = 1，即同时参加数理化小组的有1人.2.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题当两个集合的解集是不等式形式时，要求其交集或并集，常借助于数轴，把不等式的解集在数轴上表示出来，通过数轴便可直观的观察它们的交集或并集。 例如：例 2.已知集合 A = (x I -2 x 6),B = (x I a x 626 3a(1)。-2 a3a 6(2)图2a -2(2)要使B c A，当a0时，集合A应该覆
8、盖集合B,则有 3a 00 a 2。当a 0时，B =4 , B c A显然成立.故B c A时的取值范围为：a 2 .(图2 (2)通过上面的例子我们可以知道，一般对于比较复杂的集合运算题、涉及到求 一些参数取值、取值范围的题我们都可以用数形结合的方法求解.2.2数形结合在解析几何中的应用解析几何问题通常综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，深受出题者 喜爱，求解过程中常通过数形结合的思想把抽象的数学语言和直观的几何图形相 结合起来，达到研究与解决问题的目的.2.2.1与斜率有关的问题例1.已知一有向线段PQ,其中起点P与终点Q坐标分别为P （-1, 1）, Q （2, 2）. 若直线l：
9、 my+x+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围.【分析】 本题将直线l的方程是化为点斜式方程后，可看出1其和斜率为由、与Y轴的交点为M（0，-1）.结合图形可求出 斜率的取值范围.解：直线l的方程my+x+m=0可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为-Ml与PQ的延长线相交，由图像可得：当过M且与？。平行时，直线l的斜率趋于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋于最大._ 1 I_ 3一3阿2-0 一 2设I的斜率为k|,由k 0)，m是直线y=x+m在y轴上的截距.有一个交点，此时m =-点，结合图形可知：当1v m 1也满足条件.综上：m
10、的取值范围是：m =或-1v m 1这道题很直观的看出所要求解的m为直线y=x+m在y轴上的截距，曲线为右 半圆，结合图像便可求解。一般对于斜率确定求截距的取值范围的问题我们都可 以用数形结合的方法。变式：若直线y=x+n与曲线x =匕1-y2恰有两个交点，求n的取值范围.解：由例4可知，n的取值范围为：-2 n 4.故动圆圆心P的轨迹是以A,C为焦点的椭圆，且 2a=6,2c=4,即 a=3,c=2,所以 b2=5.故：所求动圆圆MP的轨迹方程为 挡+巴=1由上面的两个例子，我们不难画出其图像，通过研究图像的一些性质，结 合圆锥曲线的定义，我们便可很快的解出题来。所以很多定义性的问题我们都可
11、 以采用数形结合的方法。2.3数形结合在函数中的应用2.3.1 利用数形结合解决与方程的根有关的问题例1.已知方程|x2-4x+3|=t有4个根，求实数t的取值范围.【分析】此题不涉及到求方程根的具体值，只涉及到求根的个数，而求方程根的 个数问题可转化为求两曲线的交点的个数问题.解：方程|x2-4x+3|=t根的个数问题可转化为函数y=|x2-4x+3|与函数y=t图象 交点个数的问题.作出函数y=|x2-4x+3|的图象，再作直线y=t.（如下图所示）.由图象知，当0t1时，两函数图象有4交点，所以t的取值范围为：（0, 1）.解决这种类型的题，如果我们把前面等式看作方程，来求参数的取值范围
12、， 难度会相当大，但如果把前面的等式看作是两个函数，再把研究根的问题转化为 研究函数交点的问题，结合函数图像，此题便迎刃而解了。所以很多关于函数的 根的问题，我们都可以数形结合转化为研究函数交点问题。2.3.2 利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的重要性质之一，也是高考数学热点问题之一.在解决 相关问题时，常需要先确定函数的单调性、单调区间.数形结合思想是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间可以形象直观地在函数的图象中反映出 来.例如：例2.求函数f (x) = x I x I -2 I x I的单调区间.解：y = x I x I -2 I x I=一 x 2 + 2
13、 x, x 0，0,此题中，要求这个含绝对值函数的单调区间，直接求是无法实现的，但如果 去了绝对值，写成分段函数的形式，画出其函数图像，结合图像，其单调区间便 一目了然。所以在许多求函数单调区间的问题都可利用数形结合的思想。2.3.3 利用数形结合解决比较数值大小的问题例3.已知定义在R上的函数y = f (x)满足以下三个条件：对任意的0Wx1X2W2，都有 f (x ) f (x )；对任意的 xER 都有 f (x+4) =f (x)；y=f (x+2) 的图象关于y轴对称.则f (4.2)，f (6.2)，f (7.2)的大小关系是.解：由知：函数f(x)在区间0，2上是增函数；由知：
14、函数周期T=4：； 由知：f (-x - 2) = f (x + 2)，所以y = f (x)的图象关于直线x=2对称.由此，画 出示意图(如下图)便可比较大小.xx._._._s_._._._._._._._._._s_._._. r, .AZ-._s_2_._._,_,_._._._._.-T$T.S4IS-a- T 一 显然，f (4.2) f (7.2) f (6.2).这是一个抽象函数比较数值大小的问题，那么我们直接是不可能比较出来 的，如果利用题设中给出的条件再结合图像便解决这类问题。2.3.4 利用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题是近年来高考中的热点问题，也是高考中的难点.若
15、利用数形 结合常便能使我们找到很多解决此类问题的捷径.例4.设f 3),h(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，在区间a，b(ab 0且f (x) h(x)有最小值-6.则函数 y = f (x) h(x)在 区间-b，-a().A. 是减函数且有最大值6B. 是减函数且有最小值一6C. 是增函数且有最大值6D. 是增函数且有最小值一6解：由 f (x)h(x) + f (x)h(x) = f (x) + h(x) 0y = f (x) h(x)在区间a，b (ab0)上是增函数，又f (x), h(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.y = f (x) h(x)是奇函数.故其函数图象关于
16、原点对称，作出示意图如下:易知函数y = f (x) h(x)在区间-b, -a上是增函数且有最大值6,因此 选C.此题中运用到了及复合函数的相关性质，再数形结合，最值问题便得到解决。 所以关于很多抽象函数在已知条件下求最值(或值域)的问题都可以利用图像来 解决。2.4、数形结合在不等式中的应用2.4.1求参数的取值范围例1.若当xE(1, 2)时，不等式(x-1) 2log x恒成立，求m的取值范围.解：设 yj (x1) 2 (1x2)， ylog x.由图像可知，要使y1y2 (1x1.y1= (x-1) 2过(2，1)点，当 y2=log x 也过(2，1)点，即 m=2 时，恰有 y
17、iy2 (1x2)当1 mW2 时(x-1) 20)， 则不等式xf (x) 0的解集是().A. x|0xaB. x|-axaC. x|-axaD. x|x-a 或 0x0)， 可得函数f (x)图象如下：又xf (x) 2-2的x取值范围.解：由 f (x) 22 得 21x+1I-Ix-1I N 2- 23.I x + 1I -1 x - 1I-23 设：g (x) =I x +11 - I x -11 h(x) = 则画函数图象如下：3则当 g (x) h(x)，解得 x 4这两道题都是与函数相关的不等式求解问题，所以利用函数图像便很好解 决。例2这种类型，在没有告诉具体函数解析式的情
18、况下，运用函数的性质，画 出草图的方法尤为常见，在很多问题中我们都可采纳。2.5数形结合在解三角函数中的应用例1.已知函数f (x) =2|sinx|+sinx，xE0，2兀的图象与直线y=m有且仅有2个不同的交点，求m的取值范围.【分析】由函数解析式画出图象，通过图像，便可以直观简明地得到答案.I 3sin 尤,x e 0,兀解：函数f (x) = (，由图像可知:一 sin x, x e 兀，2兀n,-例2、当0 v x v-时，2求函翎(x) = 8sin2 x .+ Cos2 x +1的最小值.sin 2 xm的取值范围为：1 v m v 3/E解：尸此L坚严，由斜率关系知：尸为点7Y
19、_=A(0，5)与点P( sin2x, 3cos2x)两点连线的斜率，又点P轨迹的参数方程JK=-si 12dfn2为 r 。 (0a)，转化成标准方程：X2+g=l(x0).如图，当过点A、尸丑口羽ly的直线：y=kx+5与椭圆X2+卷=l(x20.ln(l - X2 - y2)arcs in (2 jt)的定义域：I I Wl,故所求的定义域为（如下图）:I 2x l 0,= 1 尤2 尸。1, 1 X2 了2 011 尤 V ,22y2 2 0），+ y，2+ y，2又因为曲线J = f (X)在点P ( X , J )处的法线方程为:Y- y =-1 (X-x) (y尹0), y它与工
20、轴的交点Q的坐标为：Q (X +)矿,0),于是得到:I PQ I = Jyy+ y2 = y (1+ y 2) 2,由题意设：K=，则有:IPQIy =s- n y y =1+ y2+ yr 2 0）的平行线，向平面上任意投掷一枚长为Z（/ d ）的针，求针与任一平行线相交的概率。解：用x表示针的中点与最近一条直线的距离，以中表示针与此直线间的夹 角，见下图（1）。从图中易知：0W x W d /2, 0W中W兀，由这两式可以确定x 一中平面上的一个矩形Q，为样本空间，它的面积为：s =空Q 2记针与平行线相交为事件A，则针与平行线相交的充要条件是：x W sin中.2由此不等式表示的区域是
21、图（2）中的阴影部分。图（2）图（1）因为针是向平面任意投掷的，所以由等可能性知这是几何概率问题。故：S Isin 里d中2ZP (A) = -a = 一Sd.d 兀Q2若I，d为已知，代入上式即可计算得P（A）。此例正说明了数形结合在概率论中的也有着不可替代的作用，简捷、直观， 化繁为简，由抽象到具体。通过上面的几个例子，我们可以知道数形结合的思想在高等数学的解题应用 中也占有主导作用，它贯穿我们整个数学解题，所以这是作为一个数学者必须掌 握的思想与方法。第四章 利用数形结合思想解题需要注意的问题在学习数形结合的解题思想及方法，我们还应看到数学证明、运算的简捷化 与严格化。把运算与证明的简捷
22、化与严格化绝对对立起来是错误的.反而，我们 通过大量的例子证实了：严格的方法同时也是比较简捷、容易理解的方法，它们 是相辅相成的.所以我们在利用数形结合思想解题时需要做到：1、数形结合也有简繁之分，注意方法的选择2、注意数形等价转化3、注意图象伸展“速度”与展望4、注意图象延伸趋势5、注意仔细观察图象第五章结论与展望“数”与“形”是数学研究中最古老、最重要的两方面。它们一直都是一对 矛盾体。正如矛和盾一样总是同时存在，有“形”必有“数”，有“数”必有“形”。 数形结合思想是重要的数学思想之一，它可以使某些抽象问题具体化，体现了转 化与化归的思想，有助于把握数学问题的本质。因此，在整个数学学习中
23、应注重 运用数形结合思想，提高自身的思维能力和数学素养。我国著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形离数时难入微，数 形结合百般好，隔裂分家万事休”形象生动地阐述了数形结合的意义。在解决数 学问题时，根据问题的条件和结论，借助形来观察，从而解决数的问题。而对于 形的问题也可以借助数来思考。它的主要特点就是：以形助数、以数赋形。数形 结合是我们必备的数学解题技能，我们要让数形结合成为一种数学学习习惯！致谢：在本论文的撰写过程中，得到张益老师的悉心关怀和指导，在此深表感谢。【参考文献】1 邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用.河北:河北理科教学研究，2005, 40-43.2 杨明
24、.浅谈数学思想方法在解题中的应用.河北：河北理科教学研究,2008,39-40.3 陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力J.青年探索，2005,(06)4 董涛.建构主义视野中的数学概念教学J.曲阜师范大学学报(自然科学版)，2004,(02) .5 王君芬.例谈数学教学中的数形结合J.黑龙江科技信息，2009, (14)6 蔡东兴.数形结合思想方法的应用J.高中数学教与学，2009, (02)7 贾宏伟.新课标下高中数学学习的几种思想方法J.新西部，2008, (11)8 刘军刚.新数形结合的应用浅析J.新课程研究(基础教育)，2008,(04)9 欧阳光中，朱学炎.数学分析.高等教育出版
25、社，198310 盛祥耀.高等数学M.北京:高等教育出版社,1992.11 王子兴.数学方法论M.长沙：中南大学出版社,2001.12 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2003.13 茆诗松，程依明,濮晓龙.概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社,2004,24-25.文学综述数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用此种方法很多问题便能 迎刃而解。我们可以利用数学结合的思想解决很多问题：1、集合问题：在集合的相关运算中我们常借助Venn图、数轴来解决，使问题得以简化、快 捷明了。文中有举例说明。2、解析几何问题：解析几何的基本思想就是数 形结合，在解题中善于将数形结合运
26、用与点、线、曲线的性质及其相关关 系。本文对于求斜率、距离、截距等问题都有例题说明。3、函数问题：借助图像研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特征与数量特 征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。本文中有提到单调性、方程 的跟、抽象函数、以及比较数值大小的问题。4、不等式问题：从题目的条 件和结论出发，联系相关函数着重分析其几何意义，从图形上找到解题思 路，本文主要从求参数的取值范围和解不等式两方面来讲解。5、三角函数问题：一般借助于单位圆和三角函数图像来处理，而其中还会运用到一些 曲线的参数方程。这些文中的例题中都有解释。6、复数问题：一般对于复数问题都比较简单，但其中也不乏一些难的问题，会用到复数的几何意义。 这些问题都是数形结合在初等数学中的应用，除此之外，数形结合在高等 数学中也有很多应用，本文主要从数学分析、常微分方程、概率论三个方 面来讲解在数形结合在高等数学中的应用。在求解数学问题中，要让数形 结合成为一种学习习惯，但同时也要注意数形的等价转化等，尽量做到化繁为简，去粗取精，从而扬长避短，尽可能地发挥各自的优势。数形转换时尽可能 构图简单合理优美，从而可使代数计算简洁、明了，还能给我们良好的视觉感受， 增添学习乐趣。
