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1、数据模型与决策课程案例一生产战略一、问题提出好身体公司（BFI）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家 庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI现在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI的生产能力。管理部门决定开始这两种器械的生产。这两种器械分别被BFI公司命名为BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的原材料生产而成。BodyPl
2、us100由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架需 要4小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要2小时机器制造和焊接时间，1小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间。另外，每个BodyPlus100还需要2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是450美元，每个压力装置的成本是300美元，每个提升一下拉装置是250美元。包装成本大约是每单位50美元。BodyPlus200包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部拉伸装置。生产一个框架需要；小时机器制造和焊接时间，4小时喷涂和完工
3、时间；生产一个压力装置需要3小时机器制造和焊接时间， 2小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间，另外，每个BodyPlus200还需要2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是650美元，每个压力装置的成本是 400美元，每个提升一下拉装置是 250美元，每个腿部拉伸装置的成本是200美元。包装成本大约是每单位75美元。在下一个生产周期，管理部门估计有600小时机器和焊接时间，450小时喷涂和完工时间， 140小时组装、测试和包装时间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊接 时间20美元，喷涂和完工时间15美元，组装、测试和
4、包装 12美元。虽然对于 BFI来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但BodyPlus100的市场建议价格是2400美元，BodyPlus200是3500美元。授权的BFI销售商可以以市场价格的70%来购买产品。BFI的总裁相信 BodyPlus200 的独特功能可以帮助BFI 成为高端锻炼器械的领导者。所以，他认为BodyPlus200的数量至少会占到整个生产数量的 25%。管理报告分析BFI的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议。报告 包括以下几个方面（不仅于此）：（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？（2） Bo
5、dyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。二、问题分析与模型建立根据案例对好身体公司（BFI）两种器械产品 BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下:零件产品原材料成本(美元)BodyPlus100BodyPlus200BodyPlus100BodyPlus200框架4254450650压力装置2132300400提升下拉2222250250组装22腿拉200包装5075总共用时(h)85108总成本美元)10501575
6、机器焊接(h)600劳动成本美元/h)20喷涂完工(h)45015组、测、包(h)14012售价美元)24003500表1.1(1) BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2总利润是Z，则目标 函数：maxz=2400x1+3500x2 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件：8x1+10x2 6005x1+8x24502x1+2x2140l x1， x2 N0(2) BodyPlus200的数量占生产数量至少
7、25%的要求会怎样影响利润？设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件：(8x1+10x2 6005x1+8x24502x1+2x2140x1 -3x20x1， x2 N0三、模型求解与结果解释根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表x1，纵轴代表x2。(1) BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？根据问题(1)约束条
8、件：作 8x1+10x2 = 600 直线，令 x1=0 则 x2=60 ；令 x2=0，则 x1=75同理，作 5x1+8x2= 450，2x1+2x2= 140 两直线得图形如下：1802x1+2x2= 140135904545 90X1135 1808x1+10x2 = 6005x1+8x2= 450图1.1由图可知，阴影部分即为可行域范围，且当 x1=150/7，y=300/7 时，z最大，此时 maxz=181135.7可得最优解为：x1=150/7，y=300/7综上所述，建议生产 BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200 产品43台。该生产建议下各项约束条件情
9、况如下：约束条件耗费时间可用时间机器焊接（h598W600喷涂完工（h）449W450组、测、包（h）128W140表1.2（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？根据问题（2）的约束条件，即在问题（1）的基础上增加x1-3x2 W0这一项约束条件。因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2 =0直线， 令 x1=0，则 x2=0；令 x1=90，则 x2=30得到图形如下：8CJ141由图可知，阴影部分即为可行域范围。对比图 当由此约束条件的情况下，当 x1=150/7 ,1.1和图1.2可行域范围明显减小。y=300/7 时，z最大，此时 maxz=1
10、81135.7可得最优解为：x1=150/7 , y=300/7此时的建议生产量仍为BodyPlus100产品21台，生产 BodyPlus200产品42台。综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。(3)为了增加利润应扩展哪方面的努力？根据表1.2在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：1. 机器焊接所用时间仅比可用时间少 2小时；2. 喷涂 完工所用时间仅比可用时间少 1小时；3. 组、测、包所用时间比可用时间少12个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装 6台器械。针对上述结论，为增加利润提出如下建议：1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间；2. 增
11、加喷涂和完工的可用时间。四、参考文献1 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇.北京：机械工业出版社，2012数据模型与决策课程案例二投资战略一、问题提出J.D.威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币 市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说， 投资在股票方面的资金占总投资20%-40%之间，投资在收入基金上的资金应确保在20%-50% 之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的
12、需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资800000美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10收入基金的风险指数是0.07货币 市场的风险指数是0.0L整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风险 指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益是12.5%，货币市场基金的收 益是7.5%。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字模 型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少
13、？（2） 假设客户的风险承受指数提高到0.055,那么在投资计划更改后，收益将增加多少？（3） 假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投 资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案 作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析与模型建立根据案例对J.D威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描述， 用表格形式列举
14、出三种基金的各项基本信息，表格如下：基金类型年收益率风险指数投资限额总投资额总风险指数股票基金18%0.1020%-40%8000000.05收入基金12.5%0.0720%-50%货币基金7.5%0.01N30%（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？ 设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万），投资的年收益为 务则 目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 约束条件：x1+x2+x3 W0.80.16W x1W0.32 0.16W x20.4 x3 N 0.24 -5 -0.125x1+0.0875x2+0
15、.0125x3=0.05（2） 假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？ 设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万），投资的年收益为z，则目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 约束条件：亍x1+x2+x3 W0.80.16W x1W0.32J 0.16W x20.4 x3 N 0.24i 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055（3） 假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？一设三种投资基金的数量分配分别为x1，x
16、2，x3（单位为百万），投资的年收益为z，则目标函数 maxz=0.14x1+0.125x2+0.075x3 约束条件：f x1+x2+x3 W0.80.16W x1W0.32 J 0.16W x20.4 x3 N 0.24 l 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（4 ）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3 （单位为百万），投资的年收益为乙则目标 函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件
17、：x1+x2+x3 W0.80.16W x1W0.320.16W x20.4j x3 N 0.24 x1 W x2I 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作 出修改，那么这个模型的适用范围是什么？根据该问题的描述，可以理解为当预期收益率在一定范围内变化时，最佳投资方案是否改变， 即对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。因此可基于问题（1）的模型，运用LINGO软件对其作敏感度分析，求解出该模型适用的 范围。设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3 （单位为百万
18、），投资的年收益为乙则目标 函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件:z x1+x2+x3 W0.80.16W x1W0.320.16W x20.4x3 N 0.24I 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05三、模型求解与结果解释（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？根二Aodtl 一 lj_n.E0113回区据问题（1）的约束条件，利用LINGO软件对（1）的模型求解可得:基金类型投资额（万美元）股票基金0.249收入基金0.16货币基金0.391inax 0. 18X1+D. 125x2+0.07
19、5x3 sr 2?1+2+-3=0.1616 li5xl+0 . OBTSkS-HD . D125j30 . 05 endhxE a: ie :根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为:即当 x1=0.249，x2=0.16，x3=0.391 时，z最大，满 maxz=0.9413 （万美元）（2）假设客户的风险承受指数提高到0.055那么在投资计划更改后，收益将增加多少？根据问题（2）的约束条件，利用LINGO软件对（2）的模型求解可得:根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为:基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.2930.160.347即当 x1=0
20、.293，x2=0.16，x3=0.347 时，z最大，满 maxz=0.988（万美元）iftax , X3k14-O 125x2+0D5x3st16X：l-0. 16?22 51+0, 0875ji+0.012530 , Q55 endj.aaciLna2- SoJution Rje-poEt Lintelw Li5:TOCOlJ4vul j-kinnt vm. iBkUlrM :Imrr tft vnr i nib 1 fjs :llc-n.11 cw nx 皿口 hm 侦匚 w;C.WVOJLu.OOLuIMjbunl Pc Llg.ri ?apncnE-ai1 .qncQCMi（3）
21、假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？一根据问题（3）的约束条件，利用LINGO软件对（3）的模型求解可得：即当 x1=0.16，x2=0.293，x3=0.347 时，z最大，满基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.160.2930.347根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为:（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投 资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？根据问题（4）的约束条件，利用LINGO软件对（4）的模型
22、求解可得：end目Fir：衅 I诞 i 口口 才日ug.CfinKt rv* v*lu*；;Tnfift：i 询1S ps r Trf-nj. -cHVfT :-rrfitlOW- ?WjtLe I C la sb =Tats! varAebles s3Eton HIM-ir vr int i i Jnkegc vax aJj-lna0TSLl，皂【XXfi4woniitMM cwn.mirin：aTitnJ.tfid:14KjLlll AUOlW 七 LGlf：jVhri-hblc-XIx?Hov（L3耳风卸IT士o.nti nr nr r I hC ,2133?57 f i U1?J?利g
23、H W SwpXlUc ,球打球，KkQUCTft-dCYLO.K-DCDDLDOD3 i.ncriiuIxi-h1 ?c itc1,WCC5C根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为:基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.2130.2130.373即当 x1=0.213，x2=0.213，x3=0.373 时，z最大，满 maxz=0.9307 （万美元）（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案 作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？根据问题（5）的约束条件，利用LINGO软件对该模型进行RANGE操作可得:厂.nuj云max 0
24、 . 181+0 + 125x24-0 + 075x39 t!tl4-x +-x3 =0 . 816Xl-Qf15X2=C - 21；D 125x1+0,1075x2+0,015x3-0.05end1 知中_臼 llpiiFK 一 JLinpal匕柘翌根据软件运行结果可知，该条件下三种基金的年收益范围为:基金类型当年年收益率允许增加量允许减少量股票基金0.18+ S0.03收入基金0.1250.02-S货币基金0.750.1050.06通过以上适用范围可得该模型的适用范围为:基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.15-+ s-S -0.1450.015-0.18注：各系数的允许范围需要其他系数不变，即股票基金的允许范围需要收入基金和货币基 金的收益分别为0.125和0.75四、参考文献嚣金星岩数据化靠岫房席噬噬业:%邮，弋05
