数理统计课后答案.docx

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1、数理统计一、填空题1、设X , X ,A X为母体X的一个子样，如果g(X , X ,A X ),12n12n则称g(X1,X2,A Xn)为统计量。不含任何未知参数2、设母体X N(日q2),0已知，则在求均值r的区间估计时，使用的随机变量为X-Roin3、设母体X服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。5 土-!-x u100.0254、 假设检验的统计思想。小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为。H0: p 0.05

2、6、某地区的年降雨量X N(R,b2)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：(单位：mm) 587 672 701 640 650，则b 2的矩估计值为。1430.87、设两个相互独立的子样XX2,A ,X21与,A ,七分别取自正态母体N(1,22)与N(2,1)，S*2,S*2分别是两个子样的方差，令X2 = aS*2,x2 = (a + b)S*2，已知121122X2 x2(20),X2 x2(4)，则a =,b =。用(n -1)s *2 x 2(n -1)，a = 5, b =-1 o 28、 假设随机变量X t(n)，则服从分布。F(n,1)X 29、假设随机变量X t(1

3、0),已知P(X2 2 = 0.01， 则 X = - N(0,1) n 4人=z10.0111、假设子样X 1, X 2, A , X 16来自正态母体N (四,6)，令Y = 3% X4纪Xj，则Y的 i=1i=11分布N (10 四,170。2)12、设子样X 1, X2,A , X 10来自标准正态分布母体N(0,1)，X与S2分别是子样均值和子“10又2、样方差，令Y = $*2 ，若已知P(Y X) = 0.01，则X = 。X = F001 (1,9)13、如果0,0都是母体未知参数0的估计量，称#比0有效，则满足121-D (。) D(0 )，则称0为比0有效的估计量1212D

4、(0 ) D(0 )，则称0为比0有效的估计量1212 0,0是参数0的两个无偏估计量，D (0) 0，则有 ()02不是0 2的无偏估计02是0 2的无偏估计02不一定是0 2的无偏估计02不是0 2的估计量4、 下面不正确的是()a = -a X：a ()= 一彳：()t(n) = t (n)F (m, n)1 F (n, m)=1a5、母体均值的区间估计中，正确的是 置信度1-a一定时，子样容量增加， 置信度1-a一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短;则置信区间长度变短。置信度1-a增大，置信度1 -a减少，6、对于给定的正数aP(U v u ) = 1 aP(U u ) = 1 a

5、()则置信区间长度变长;则置信区间长度变短;设ua是标准正态分布的a上侧分位数则有(P(l U lv u ) =a=a-2P(l U l u ) =a27、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N(%,b 2), %,b 2为已知求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的 )现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量 均匀度是否变劣，则应提出假设 (H 0:日=七H1:日七H : b2 。2H : b2 =。2 H0: b2 =b28、测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差X = 0.452%， s = 0.037%，母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的

6、是(在a =0.05 下，H0:卜0.05% 在a=0.05 下，H0:卜0.03%在a =0.25下H 0:卜=0.5% 在 a=.25 下，H :。=0.03%9、答案为设子样X 1, X 2,A抽自母体X，Y,Y ,A Ym来自母体Y，E (X.f )2Y N(七,b2)则一-的分布为E(Y. _七)2i=1F(n, m)F (n 一 1, m 1)F (m, n)F (m 1, n 1),x为来自X N(四q2)的子样观察值，_1 n日,b 2未知，X =乙 ni=1则。2的极大似然估计值为( 一乙（X 一无）2 乙（一元） 乙（X - X）2乙（X 元）n in 1nl znl zz

7、=li=li=li=l-1Y11、子样X X ,A X来自母体X N（0）,X 12 n1 V -X , S*2 =乙（X X）2n nl ，i=i=l则下列结论正确的是（）叔N（O,1） 又 N（O,1） 3X2i i=lX 2（） 一 ?（n-l）S*12、假设随机变量XN（1,22）, X , X ,A , X 12知Y = aX+b-则有（）皿是来自X的子样，X为子样均值。已。=5, b = 5a=5,b = 5 a = %b = % 勿=-乂,。= %13、设子样X,X,A,X （1）来自标准正态分布母体N（O,D, *与；2分别是子样均 12n值和子样方差，则有（） Y N（O,1

8、） 成 N（O,1）YX2x 2（n）ii=lX与土（X初相互独立i=l顶X与（X 一日）2相互独立。2ii=l14、设子样X ,X ,A,X来自正态母体N（P,b2）, X与S2分别是子样均值和子样方 12n差，则下面结论不成立的是（）X与（ l）s 2相互独立X与S2相互独立15、子样X ,X ,X ,X ,X取自正态母体N（|i,b2）, R已知，。2未知。则下列随机12345变量中不能作为统计量的是（）必 x +X -2日 -X）2-X）212（5 2 i3ii=lz-116、设子样X ,X ,A,X来自正态母体N（|iq2）,工与，吃分别是子样均值和子样方12n差，则下面结论成立的是

9、（）2X XN（四,。2）尸（1,D21S *2q 2V M X 2 (n -1) 眼 一 1 t(n -1)b 2S*17、答案设子样X ,X ,A,X来自母体X,则下列估计量中不是母体均值曰的无偏估12n计量的是( )o刀 X +X +A+X 0.1x(6X +4X ) X +X X12n1n12318、假设子样X ,X ,A,X来自正态母体N(|i,b2)。母体数学期望R已知，则下列估12n计量中是母体方差b 2的无偏估计是() D(X -X)2 _(X -X)2 _(X -日)2 Z(X 一日)2n inl i +1nl ，1/=1i=l/119、假设母体X的数学期望Ji的置信度是0.

10、95,置信区间上下限分别为子样函数b(X ,A X )与a(X ,A ,X ),则该区间的意义是()1n1n P(a pi b) = 0.952) P(aX b) = 0.95 P(aX b) = 0.95 P(aX-ii 11) = 0.079假设母体XN(10,22) , XX2,A ,X8是来自X的一个子样，X是子样均值，求P (X 11)。3、 X N(10,0.5)P(X c ) = 0.05 n c = 11.16母体XN(10,22)，X1,X2,A ,X8是来自X的子样，又是子样均值，若P(又 c) = 0.05，试确定c的值。4、由 X2Z10 N(0,1).血所以 pE.0

11、2 X 10.98% pX -10 1=0.95n n = 16设X, X2,a , X来自正态母体N(10,22)，又是子样均值，满足P(9.02 又 10.98) = 0.95，试确定子样容量n的大小。5、 Y =区X ,Y =X Y Y N(140,152)得PY Y 182)= 0.9971i 2i 1212i=1i=17假设母体X服从正态母体N(20,32)，子样X1,X2,A ,X25来自母体X，计算PIE X& 1821i=1i=176、(1) P = 3140,。2 = 178320(2) S 2 =二切(工天)2 = 198133i =1假设新生儿体重X N(四,b2)，现测

12、得10名新生儿的体重，得数据如下：3100 34802520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260(1)求参数R和b 2的矩估计；(2)求参数b 2的一个无偏估计。_T7 一7、(1)EX = 1 + 9 故 = X -1（2）似然函数L（x ,x ,A ,x ;9 ）= 9 其他i = 1,2,A n-（ x-9）e i=1 i0min x 9 i = 1,2,A n其他故 9= min（ X , X,A ,X ）I e-(x-9)x 9假设随机变量X的概率密度函数为f (x) = 0 x 96.4故子样容量n最小应取卯。在测量反应时间中，一位心理学家估计的标

13、准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反 应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的子样容量n最小应取多少9、(1)取检验统计量u =- =七而X 。N(0,1)tn对a = 0.05 的水平下，拒绝域 Ja = U I 1.96= X I 0.62)n c = 0.62（2）x = 1 0.62，故x , x , A , x g 1，因此不能据此推断r= 0成立 1210 a（3）尸又 I 1.15= 1-2（1.15 J0） -1 = 0.0003 na = 0.0003假设随机变量x n(r,1)，%,x2,A ,气。是来自X的10个观察值，要在a=0.01的水平下检验(1)H

14、0:四=0, H1:心0取拒绝域=又玲J c = ?（2）若已知无=1,是否可以据此推断日=0成立？（a = 0.05）如果以Ja = 又1小检验H0: 口 =。的拒绝域，试求该检验的检验水平a。10、H0:四=52，X 52 U=5 2H1: U卫5.2取检验统计量U = 咛N(0,1)J广 u l 1.96)答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X （单位mm）服从正态分布N（5.2,0.16），现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度元=5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在 生产的金属纤维的长度仍为5.2mm.仁11、置信区间公式为X

15、 -kS *八土(8), X +扑 0.025(8)J得(29.31,30.69)（2）检验 H0: U = 31.5， H1: U 31.5取检验统计量T = 一里立H t（8）拒绝域Ja= Tl 答案：不能认为该地区九月份平均气温为3L50C对于同一a而言，在显著水平5绝气:U = 3L5与3L5在置信度为1-a的U 置信区间之外是一致的。某地九月份气温X N（U*2），观察九天，得工=30。C， s = 0.90C，求（1） 此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95%）（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为31.50C （检验水平a = 0.05）（3） 从（1）与（2）可以得到

16、什么结论？，025（8） = 2.306X - 72 H 一12、检验 H0 : U = 72， H1: U 72 取检验统计量 T = t（9）0.n拒绝域Ja= T l 10 025 答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异 正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54 68 65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数X N（四,S），试就检验水平a = 0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异?13、(1) H : b2 =b2，H : b2。2取检验统计量F = S;2F(4,3)012112S *22拒绝域J =

17、F F (4,3)或F F(4,3)答：可认为X与X的方差相等a0.050.9512（2） H :日=日，H :日卫日 由X X的方差相等， 01211212饱，S *2 = ()S1*2 +(n2-1)S；2X - XS *2取检验统计量T=1 1 1 2拒绝域J。= T ，0.05（7）答：故可认为Xf X的均值相等。设随机变量X N（日q2）,日,C2均未知ii i i i气与X2相互独立。现有5个X1的观察值，子样均值x = 19，子样方差为s*2 = 7.505有4个X2的观察值，子样均值x2 = 18，子样方差为s22 = 2.593，(1)检验 X与 X2 的方差是否相等？ a

18、= 0.1, 0 05(4,3) = 9.12, 0 05(3,4) = 6.59（1） 在的基础上检验X卢X 2的均值是否相等。（a =。）14、H :0(n - 1)S *2 b2 = 822，H1: b2 丰 822 取检验统计量 X 2 =一-一2 19.02)答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布N（10600,822），现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差s*2 = 6992。当显著水平为a = .5时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化?(n -1) S *215、

19、(1) H0: b2 = 0.0052，H1: b2 丰 0.0052 取检验统计量 X 2 = 0 OKJa = 2 17.5答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化(n -1) S *2(n -1) S *2(2) b 2 的置信区间为(,一一)=(0.0003 ,0.00023)X2 (n -1) X2(n -1)某种导线的电阻X N（R,0.0052），现从新生产的一批导线中抽取9根，得S = 0.009。（1）对于a = 0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？（2）求母体方差。2的95%的置信区间16、母体均值日的置信区间为X t 二 答： （99.05,100

20、.91 ）0.025 *n某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X N（四,。2），某日开工后，测得9包糖的重量 如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 （单位：千克）试求母体 均值日的置信区间，给定置信水平为0.95。1X - Y ta (n + n - 2)S二:以21217、四四2的的置信区间为二 + -1,S*2 =(n1 -1)S1*2 +(n2)S；2( -0.88 , 2.04) n nn + n 2设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间 的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠

21、时间的延长时数，随机地选取20人，10人服 用甲药，10人服用乙药，经计算得x = 2.33,s； =1.9;y = 1.75,s； = 2.9，设X N(七,a2), Y N(四2,6)；求四-日2的置信度为95%的置信区间。b 218、广的置信区间为2E17,12)Vf罕/1/ S *2F (17,12)0.05J(0.45,2.79 )研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得子样方差s； = 0.34，抽取机器B生产的管子13根，测得子样方差s2 = 0.29，设两子样独立，且由b 2机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布N（七,七2）,N（四2,b 2）

22、，试求母体方差比$4的 2置信度为90%的置信区间。19、$ 2的置信区间（(n 1) S *2(n 1) S *2X 2 (n 1), X 2 (n 1)b 2 的置信区间(0.0575,0.1713 ) a 的置信区间(0.2398,0.4139 )设某种材料的强度X N（日,b 2），日,a 2未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm2为强度单位，由20件子样得子样方差S*2 = 0.0912，求。2和。的置信度为90%的置信区间。m ,1Im” m、(0.504,0.696)(0.50,0.69 )20、p的置信区间为一土 u x十x _Q ) n - Jnn n )2也可用中

23、心极限定理作近似计算，所得答案为得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信设自一大批产品中随机抽取100个样品， 度为95%的置信区间。21、R的置信区间为X + u -=.02nu0.0251800000 = 500 n n = 27.65 vn即这家广告公司应取28个商店作子样 一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为 1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告 公司应取多大的子样？22、似然函数L() = (X) ne土入的极大似然估计量入=X设电视机的首次故障时间X服从指数分布，X = EX，试导出人

24、的极大似然估计量和矩估 计。23、四-四2的置信区间为(n -1) s *2 + (n -1) s *2(-10.2 , -2.4 )1122-n1 + n2 - 2为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随 机地安排了 10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间(单位：分钟)相应的子样均值和方差为：X = 22.2,X = 28.5;s*2 = 16.63,s*2 = 18.92。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估 计。24、P1 - P2的置信区间为mm工 11 mm1mmm八m1

25、十ux (1 -1)+x (1 -)，1 = 0.18，2 = 0.14nn- 2 1/ nnnnnnnn1* 11122212所以P1 - P2的置信区间为(0.0079,0.0721 )某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机 地调查了 1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人 中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。又-120025、H 0: 1200 取检验统计量 U = 300 v顽拒绝域/仪二 匕答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小

26、时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准?、X 5 取检验统计量T =S *打53 5 一计算得=-0- x、.10 = 3.1626、H0 :拒绝域。=日=5 H1: “ 5 t （n-1j（1）a = 0.05 n t 10025（9），所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好（2）a = 0.01 n |t| 250 取检验统计量 U -30 、，公拒绝域Ja= 匕计算得拒绝H 0，可认这种化肥是否使小麦明显增产某地区小麦的一般生产水平为

27、亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？a = 0.0530、H0: p 0.05-0.05U = n接受H0: p 0.05，批食品能否出厂竺（-兰）n n、:n某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发 现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ a = 0.05一一一一-X - 22531、H0:日 225取检验统计量T = 一萨一、：；n拒绝域Ja= ta （n-1），不能拒绝H 0，不能认为元件的平均寿命大于2

28、25小时。某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 a = 0.05,1005（15） = 1.753132、（1）0.998407（2）云=-26652.8 +170.1603尤（3）0.996817一、 B :-一一 . （4） t = 乙（x x）2 =35.391381.7531线性关系和回归系数显著。i* i=1某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大

29、关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据:城市编号销售量户数(万户)154251892631919336827197477432025836520668916209要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数;(2)拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线;(3) 计算判定系数R 2(4) 对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验(a = 0.05)，并对结果作简要 分析。33、F 二七竺F计算得F =冬= 4.5 3.48S /(n -1)38/10在每种温度下各做三次试验，测得其得率()如下:温度A2A3A4得率868690

30、848588888383879288检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。34、(1) V = 0.4565x + 36.589b .(2) H0 : b = 0 检验统计量 t = i1 =14.9 10025(8) = 2.306故儿子身高关于父亲身高的回归直线方程显著成立(3) X0 = 70 n V0 = 0.4646 乂 70 + 35.977 = 68.499区间预测为 V 土11 +1 +(% -X)2,62 =二1 -b21 = 0.4322 0a2 n 1n - 2 vv xx故V0的区间预测为(67.656,69.345 )测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英父

31、亲身高x606264666768707274儿子身高V63.665.26666.967.167.868.370.170(1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？ ？0 025(8) = 2.306(3)父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测35、F = 11.31 F(3,16),即不同的方式推销商品的效果有显著差异0.05某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：/ = 0.05,F005(3,16) = 3.24)方式1方式2方式3方式477

32、95728086927784808268798891827084897582计算F统计量，并以a= 0.05的显著水平作出统计决策。四、证明题1、设X1,X2,A ,X (n 2)来自正态母体X，母体X的数学期望r及方差a2均存在，求证：R , R , R , R均是母体X的数学期望r的无偏估计。其中 1234R = X ,R = i(X + X )11221 nR 3 = 6( X1 + 2 X 2 + 3 X 3), R 4 = X2、假设随机变量X服从分布F(n,n)时，求证：P(X = 0.53、设X1,X2,A ,X (n 2)来自正态母体X，母体X的方差a2存在，S*2为子样方差，

33、求证：S *2为a 2的无偏估计。4、假设母体X的数学期望R和方差a2均存在，X1, X2,A, Xn来自母体X，求证：X与W都是母体期望R的无偏估计，且DX X ，ni=1W = a X ,( = 1)= 1= 15、已知T t(n),证明 T2 F(1,n)6、设母体X的k阶矩rk = E(Xk)存在，XX2,A , X 来自母体X，证明子样k阶矩 气=-云X：为母体的k阶矩r尸E(X：)的无偏估计。=11 -片 x 0_117、设母体X的密度函数为f (x) =R人试证X是人的无偏估计，而亏不是厂0* 0X入的无偏估计。8、设母体XU(0,9 )，证明 = 2又。=二max(X , X ,A , X )均是。的无偏估计12 n + 112 n(X1,X2,A ,X 来自母体X的子样)