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1、导数复习知识点一、导数的概念导数 f(x ) = lim 空。00 Ax二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x ,y )处的切线的斜率.由此，可以 000利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：(1) 求出函数y=f(x)在点x处的导数，即曲线y=f(x)在点p(x ,y )处的切线的斜率； 000(2 )在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为三、常见函数的导数及运算法则(1) 八个基本求导公式(C)，=, 、，=；(xn)_; (neQ)(sin x) =，(cos x) =(ex)，=，(ax) =(lnx) =，(logax)=(2)导
2、数的四则运算(u + v) = Cf (x)，=(uv) = ，(u)，=(v 丰 0) v(3)复合函数的导数设u =0 (x)在点X处可导，y = f(u)在点u =9 (x)处可导，则复合函数佃(x)在点x处可导，且f，(x)=，即 yx = y：. ux四、导数的应用(要求：明白解题步骤)1. 函数的单调性(1) 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f/“) 0,则f(x)为增函数；若f /(x) 0，解集在定义域内的部分为区间解不等式f(x) 0，解集在定义域内的部分为区间 例如：求函数y = x +1的减区间x2. 可导函数的极值(采用表格或画函数图象)(1) 极值的概念设函数f
3、(x)在点x0附近有定义，且若对 x0附近所有的点都有 f(x) f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大(小)值，称x0为极大(小)值点。(2) 求可导函数f(x)极值的步骤 求导数f，(x)； 求方程f (x) =0的; 检验广在方程尸=0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负 (先增后减)，那么函数尸=f在这个根处取得;如果在根的左侧附近为负， 右侧为正(先减后增)，那么函数y= f在这个根处取得.3. 函数的最大值与最小值设尸=f (x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f在(a ,b )内有导数，则函数尸=f 在a ,b 上 必 有最大值与最小值；但在开区间内未必
4、 有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行： 求尸=f在(a ,b )内的 值； 将尸=f(x)的各 值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 若函数y= f在a,b上单调递增，则f为函数的, f为函数的； 若函数y= f在a ,b 上单调递减，则f (a)为函数的, f(b)为函数的.4. 求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1：分析函数y = x3 -3x (单调性，极值，最值，图象)例题2：函数y = x3 - 3ax在(-8,1)上为增函数，在(-1,1)上为减函数，求实数a例题3：求证方程x.lg x = 1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.(分
5、析解本题要用的知识点)一. 求值1. f(x是f (x) = 3 x3 + 2x +1的导函数，则f (-1)的值是.2. f (x)二ax3+3x2+2 ， f，(-1) = 4，贝 a=3. 已知函数f(x)的导函数为f，且满足f(x)=3x2+2x广，则f，=.4. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x) 0,函数f (x) = x3 -ax在1,+8)上是单调函数.贝跳数a的取值范围为;(3) 函数y=ax3 x在(一8,+8)上是减函数，则实数a的取值范围为3. (1)若函数f (x) =ax3x2+x5在R上单调递增，
6、则a的范围是.(2)已知函数f (x) =ax3 + 3 x 2 - x + 1 在R上是减函数，则a的取值范围是：.4. 若 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d(a 0)在 R 上是增函数，则()(A) b2 -4ac 0 (B) b 0,c 0 (C) b = 0,c 0 (D) b2 -3ac 05. 函数y = x3 + ax + b在(-1,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，则() (A) a = 1,b = 1 (B) a = 1,b e R (C) a = -3,b = 3 (D) a = -3,b e R四. 极值1. 函数y = 1 + 3x - x
7、3的极大值，极小值分别是A.极小值-1，极大值1 B.极小值-2,极大值3C.极小值-2，极大值2D.极小值-1,极大值32. 函数f=x3 + ax2 + 3x9，已知f (x)在x = -3时取得极值，则a =()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 53. 函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为 ()A.a=3,b=-3，或 a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正确4. 已知函数f (x)的导数为f x) = 4x3 -4x，且图象过点(0, -5)，当函数f (x)取得极大值-5时，x的值应为A. - 1B. 0
8、 C. 1D. 15. 若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则 ()A.0b1B.b0D.b 126. 若f(x)=xs+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为.7. 已知函数y=2xs+ax2+36x-24在x=24处有极值，则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3, +8)C.(2, +8)D. ( 8,3)8. (2009辽宁卷文)若函数f (x) = 2伊在x = 1处取极值，则a =x +1五. 最值1. 函数y = 2x3 - 3x2 -12x + 5在0，3上的最大值、最小值分别是()A. 5，-15 B. 5，-4C.-4，-15
9、 D. 5，-162. (06浙江文)f (x) = x3 -3x2 + 2在区间-1,1上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)43. 函数y=x3+ 3在(0，+8)上的最小值为xA.4B.5C.3D.14. (07湖南理)函数f= 12x-x3在区间3,3上的最小值是二5 (07江苏)已知函数f (x) = x3 -12x + 8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M,m，则M - m = _变式、函数f (x) = x3 -3x-a在区间【0,3 上的最大值、最小值分别为M, N,则M N的值 为。6. (2008 安徽文)设函数 f (x) = 2x + - 1(x 0时，
10、f(x) 0, g r(x) 0，则 x 0,g，(x) 0B.f f(x) 0,g，(x) 0C.f f(x) 0D.f f(x) 0,gXx) 0，则必有( )Af (0) + f 2 f (1)Bf (0) + f (2) 2 f (1)D.f (0) + f (2) 2 f (1)3. (2009陕西卷文)设曲线y = x+1( e N*)在点(1, 1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x，则x . x . x的值为 n12n(A) 1(B)上(C) (D) 1nn +1n +14设函数f(x)在定义域内可导，y = f的图象如右/ D / U 图1所示，则导函 数y=f，(x)可能为(
11、)图15. (浙江卷11)设f (x)是函数f(x)的 导函数，可能的是(A)(B)(B) (D)6. (2009湖南卷文)若函数y = f的导函数在区间a,b上是增函数，贝。函数y = f在区间a,b上的图象可能是【】A.B.C.D.7、已知函数f (x)=耕+ mx2 + (m + 6)x +1既有极大值乂存在最小值，则实数 m的取值范围是。8、若函数f (x)的定义域为(0, +3)，且f (x) 0, f /(x) 0，那么函数y = xf (x)()(A)存在极大值(B)存在最小值(C)是增函数(D)是减函数9、当x e0,2 时，函数f (x) = ax 2 + 4( a - 1)
12、x - 3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是。七. 解答题(重点)题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1. 已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c,过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)的切线方程为y=3x+1(I) 若函数f (x)在x = -2处有极值，求f (x)的表达式；(II) 在(I)的条件下，求函数y = f (x)在一3，1上的最大值；(III) 若函数y = f (x)在区间一2，1上单调递增，求实数b的取值范围2:已知三次函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c在x = 1和x = -1时取极值，且f (-2) =
13、 -4 -求函数y = f (x)的表达式；(2)求函数y = f (x)的单调区间和极值； 若函数g(x) = f (x-m) + 4m (m 0)在区间m-3,上的值域为-4,16，试求m、n应满足的条件.3.(海南文 本小题满分12分)设函数 f (x) = ln(2 x + 3) + x 2(I) 讨论f (x)的单调性;(II) 求f(x)在区间-4，4的最大值和最小值.4、已知 f (x) - ax3 + bx2 + cx(a 丰 0)在 x - 1 取得极值，且 f (1) = 1。(1) 试求常数a,b, c的值;(2) 试判断x = 1是函数的极大值还是极小值，并说明理由。5
14、. 已知函数f (x)= x3+3x2+ax + b在x=(1, f(1)处的切线与直线12x y1 = 0平行.(1) 求实数a的值；(2) 求f(x)的单调递减区间；(3) 若f(x)在区间-2, 2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.题型二：利用导数研究不等式恒成立。1. 已知两个函数 f (x) = 7x2 - 28x , g(x) = 2x3 + 4x2 - 40x + c .(I) F(x)图像与(x)图像关于原点对称，解不等式F(x) f (x) - x - 3(II) 若对任意x e -3, 3,都有f (x) g (x)成立，求实数c的取值范围；2. 已知函数 f (x
15、)=x3- 1 x2+bx+c.2(1)若f(x)在(-8,+8)上是增函数，求b的取值范围；若f(x)在x=1处取得极值，且xE-1,2时，f(x)C2恒成立，求c的取值范围.3. (天津卷21)(本小题满分14分)已知函数 f (x) = x4 + ax3 + 2x2 + b ( x e R )，其中 a,b e R .(I) 当a = - 130时，讨论函数f (x)的单调性；(II) 若函数f (x)仅在x = 0处有极值，求a的取值范围；(III) 若对于任意的a e -2,2，不等式f (x)0)有极大值9.(I)求m的值； (II)若斜率为-5的直线是曲线y = f (x)的切线
16、，求此直线方程.7 已知函数 f (x) = x 3 - ax -1 -(I) 若f (x)在实数集R上单调递增，求a的范围；(II) 是否存在实数a使f (x)在(-1,1)上单调递减.若存在求出a的范围，若不存在说明 理由.09福建理科 14.若曲线f (x) = ax3 + lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是20、(本小题满分14分)已知函数 f (x) = 3x3 + ax2 + bx,且 f (-1) = 0(1)试用含a的代数式表示b,并求f (x)的单调区间；(2)令a = -1,设函数 f (x)在 x ,x (x x )处取得极值，记点 M (x , f (x )
17、， N(x , f (x )，12121122P( m, f (m), x1 m x2,请仔细观察曲线f (x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势， 并解释以下问题：(I)若对任意的m e (x1, x，线段MP与曲线f(x )均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论;(II)若存在点Q(n , f(n), x n m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)15.若曲线f (x) = ax2 + Inx存在垂直于j轴的切线，则实数a的取值范围是.21. (本小题满分12分)已知函数/ (X)= 3 XF2 +阪且广(T)
18、= 0(I) 试用含a的代数式表示b ;(II) 求f (X)的单调区间；(III) 令 a = -1，设函数 f (x)在 x ,x (x 0 时，f，(x) 0, g(x) 0，则 x 0, g (x) 0B. f(x) 0, g (x) 0C f(x) 0D f(x) 0, g (x) 0，且对于任意x e R , f(|x|) 0恒成立，试确定实数k的取值范围;(III) 设函数 F(x) = f (x) + f (-x)，求证:F(1)F(2).F(n) (e+i + 2)2(n e N*).(全国一文20) 设函数f (x) = 2 x 3 +3qx 2 + 3bx + 8c在x
19、= 1及x = 2时取得极值.(I) 求a、b的值；(II) 若对于任意的x e 0,3,都有f (x) 1，、121221求证：b2 2(b + 2c)14.设/。0,点P3, 0)是函数f (x) = x 3 + ax与g (x) = bx 2 + c的图象的一个公共点，两函数 的图象在点*有相同的切线.(I) 用 t表示 a, b, c；(II) 若函数y = f(x)-g(x)在(一1, 3)上单调递减，求t的取值范围.例1已知曲线S : y = -2x3 + x2 + 4x及点P(0,0)，求过点P的曲线S的切线方程.3正解：设过点P的切线与曲线S切于点Q(%, y0)，则过点P的曲
20、线S的切线斜率k = y= -2x 2 + 2x + 4 ,又 k = L , . 一2x 2 + 2x + 4 = L。 点 Q在曲线 S 上，0002y -x 3 x 203 004%.代入得2x202x0 42-x 3 x 2 4x3 000x00或x 3.若x040过点P的切线方程为y化简，得3x033 y 4x ；若 x0 4，y 4x 或 y 35 x.8例2已知函数f(x) ax3 3x2 x 1在R上是减函数，X0 20,0,则k4,过点P的切线方程为35385x过点的曲线s的切线方程为错解：f (x)3ax26x 1, f (x)在R上是减函数，f (x)0在R上恒成立，3a
21、x26x 10对一切x R恒成立，0，即3612a 0， a 3.正解：f (x)3ax26x 1， f (x)在R上是减函数，f (x)0在R上恒成立，0 且a 0，即36 12a0且a0， a 3.求a的取值范围.例 5函数 f (x) 3x3 3ax 1, g (x) f(x) ax 5 ,其中 f(x)是 f(x)的导函数.(1)对满足1a 1的一切a的值，都有g(x)V0,求实数x的取值范围;(2)设 a = m2当实数m在什么范围内变化时，函数y= f(x)的图象与直线y=3只有解：(1 )由题意甘x 3x2ax 3a5令 x 3 x a3x2 5，1 a 1对1 a 1，恒有g
22、x0，即 a 1 0即3x2 x 2 0103x2 x 8 0解得2 x 13一个公共点.0故 x 2,13时，对满足-1a 1的一切a的值，都有甘x 0.(2) f, x 3x23m 2当m 0时，f x x3 1的图象与直线y 3只有一个公共点m , +8）上单调递增极大极小f (x) = f (|x )=-2m2 m -1 |m|时函数y = f （x）的图象与直线y = 3只有一个公共点.当 x m 时，怛有 f （x） f （-|m ）由题意得 f （- |m ） 3 即 2m2 m -1 = 2 m3 1 3 解得 m cC20 Xj（）,3,2 ）综上， m的取值范围是（巨息）?
23、1例6、（1）是否存在这样的k值，使函数32在区间（1, 2）上递减，在（2,+8）上递增，若存在，求出这样的k值;（2）若F5 恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（1）mum2由题意，当时，当xG（2,+8）时 .由函数技对的连续性可知产0）=，即胃牧+2 = 0整理得1护-及-3= 0k = -k=-解得 2或 弓 验证:（i）当七时，rw = ?-2?-2 =（w-w-2）若心匚2 ,则F艾；若汇2 ,则对，符合题意;qqz&=-_广 3）= 一尹-况+ 工+2（II）当M时场49 f 7-93v 时应、=3 心-冲）1699,显然不合题意。于是综上可知，存在
24、方 使加 在（1, 2）上递减，在（2,+8）上递增。(2)产（工）=3履+ 1若口，则产对，此时川）只有一个增区间（fg）与题设矛盾;若日顼，则产t ,此时加只有一个增区间gy，与题设矛盾;_1 当、E时，广对.综合可知，当罚 时，了 恰有三个单调区间:减区间;增区间点评：对于（1），由已知条件得广a，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐 一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数川）=+履+如+1，当且仅当无=-捉=1时，川）取得极值，并且极大值比极 小值大4.（1）求常数瓦占的值；（2）求加的极值。解：产（源技展，令Si得方程5廿+如，心=口.
25、在兀=处取得极值.nT或汇T为上述方程的根，-1）4 + （-1 沪 +/?= 0士后右k+箱+占=0故有.5+3卜。，即卜-以-5f（x） = 5廿 + M -3a-5= 5（/ 1）4 初”T） =修+ 1)31)了 + 3+5)又.加J又*仅当r = l时取得极值，.方程广（对=口的根只有1或工=.方程5/ + X + 5 5无实根， .A=02-4x5x(3a + 5) 0) , g (x) = ：xxaf (x) =-(3) x，g (x) = - log(-x)；其中有且只有一对函数“既互为反函数，乂同是各自 定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是f(x)，g (x)
26、 =.4. 已知函数f (x) = x3 + 3ax2 + 3(a + 2)x +1有极大值和极小值，求a的取值范围.5. 已知抛物线y = -x2 + 2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围 成的三角形的面积最小，求l的方程.6. 设 g(y) = 1 - x2 + 4xy3 - y4在 y e L 1,0上的最大值为 f (x)，x e R，(1)求f (x)的表达式；(2)求f (x)的最大值.设 a e R，函数 f (x) = ax3 - 3x2.(I) 若x = 2是函数y = f (x)的极值点，求a的值；(II) 若函数g(x) = f(x) + f(x)
27、，x e 0，2，在x = 0处取得最大值，求a的取值范围.解：(I) f (x) = 3ax2 - 6x = 3x(ax 一 2).因为x = 2是函数y = f (x)的极值点，所以f(2) = 0，即6(2 a - 2) = 0，因此a = 1.经验证，当a = 1时，x = 2是函数y = f (x)的极值点.4分(II)由题设，g(x) = ax3 - 3x2 + 3ax2 - 6x = ax2(x + 3) 一 3x(x + 2).当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时，g (0) N g (2)，即 0 N 20a - 24 .故得 a W | .9 分反之，当a W ?时
28、，对任意x e 0,2，=_ (2x2 + x -10) = y(2x + 5)(x - 2) W 0而g(0) = 0，故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0) ,一一 ,(61综上，a的取值范围为一8,6 12分I 5 _3已知I是函数加=必-汕+ 1)/+%+1的一个极值点，其中叫心服艾(I) 求用与”的关系表达式；(II) 求加的单调区间；(III) 当日一叫时，函数=六力的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求成的取值范围。解析：(1)本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想， 第2小题要根据的符号，分类讨论的单调区间；第3小题是二次三
29、项式在一个区间上恒成立的问题，用 区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答:(I)3) = 3法-6例+ 1)奸只，“1是函数知)的一个极值点.= 3m- 6(邱 +1) + 郡=0()*)= 3 杯-5)5=饥轴令EQ，得瓦2. J与J J的变化如下表:10+0单调递减极小值单调递增极大值单调递减f（_ + M）（ Ml（1 + .1）因此，八羽的单调递减区间是整 和、+阿，冲 的单调递增区间是m（III）由（1）产=3必-对+说*=切-m+D饥斗1）即狮快一涂口）2对,3HL1）即令能x）=以-将+ l）n W 罚斗1,1 令.此=
30、京-沦+1）小对，顼-1,1且睥，n-土3Jg(一 1)=济十 2/ra + 4 0? g(l) = m -21 0.4即m的取值范围是34我-7/ = -，上已0,1已知函数1一天（I）求二力的单调区间和值域；（II）设空，函数期一3齐-m顼项，若对于任意砂W，总存在，使得 目3）=六有）成立，求淳的取值范围。解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本 题入手点容易，（I）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（II）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若成立，则二次函数值域必满足g u 关 系，从而达到求解目的。解：产（I）由.X 迎 1-4亍 + 1血-7W = k=_x=-QF 得，或22 （舍去）则工，广5），打用变化情况表为:010+/时加 为减函数；当”顷）时7 为增函数;当居0时，加的值域为(II) 因此空，当0叫时戏心(E)司因此当5时技为减函数，从而当非叫时有或听河如V或1) = 1 -卷-新，貌)= -2a即当炸皿1时有眄司1 -如-明气-服 乂，即当时有任给电罚侦，川)H-42 ,存在砂叮使得此)二心)则T,Tulf j抨厂码1-2-32 -3(2)ct-a1或,由(2)得 2又1 2故的取值范围为2。5已知&日，函数(1) 当工为何值时，河 取得最小值？证
