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2、材,三角形内角和,知识,过程经历,剪一剪,量一量,内角,内角和,技能,定理,已知两角，求未知角,读懂教材,初读,已知特殊三角形中的一角，求未知角,解决生活中问题,以三角形内角和为例,分类讨论,猜想验证,转化,细读教材,三角形内角和,知识,过程经历,剪一剪,量一量,内角,内角和,技能,定理,已知两角，求未知角,思想方法,读懂教材,转化,分类讨论,猜想与验证,细读,已知特殊三角形中的一角，求未知角,解决生活中问题,三角形内角和,知识,过程经历,剪一剪,折一折,量一量,内角,内角和,技能,定理,已知两角，求未知角,已知特殊三角形中的一角，求未知角,解决生活中问题,思想方法,读懂教材,通读教材,转化,
3、分类讨论,猜想与验证,直角三角形的内角和是180度,180+180-90-90=180（度）,钝角三角形的内角和是180度,360度,所有三角形的内角和都是180度,180+180-90-90=180（度）,锐角三角形的内角和是180度,读懂教材,读懂学生,教材（知识、技能、思想方法、前后联系、目标、重点）,组织（选择、流程、情境、文化、线索、理念、）,学情（基础、已知、未知、难点、差异）,读懂课堂,心理（认知、经历）,三角形内角和,知识,过程经历,剪一剪,折一折,量一量,内角,内角和,技能,定理,已知两角，求未知角,已知特殊三角形中的一角，求未知角,解决生活中问题,思想方法,读懂学生,转化,
4、分类讨论,猜想与验证,调查访谈，错例分析,表1 两地学生关于三角形内角和定理知晓程度的调查统计,读懂学生,面对亲自测量得出的数据与师长给予结论的不一致，或者说，面对从教师、家长等权威那里直接获知的未曾亲手实证的结论，学生是全盘接纳还是曾经怀疑，是否有过想要验证的冲动呢？,读懂学生,表2 学生验证前对三角形内角和定理信任程度的调查统计,读懂学生,8位学生的困惑第一类：对测量误差的困惑。不会这么巧吧？1位我怀疑是不是真正的180度？2位这是测量存在误差的学生的真实想法，他们都已经知道三角形内角和是180度这一知识，但知道与理解是两码事，他们内心仍然保留着曾经的困惑。,读懂学生,8位学生的困惑第二类
5、：对不同的三角形内角和都相等表示怀疑。难道全部的三角形（内角和）都是一样的？2位第三类：对三角形内角和等于180度的原理性困惑。为什么不是360度？1位180度是怎么来的？1位我知道正方形内角和是360度，三角形少一个角应该是270度才对。1位学生知道“三角形内角和是180度”，但为什么三角形内角和是180度，验证只能说明前者，而无法满足学生对于原理层面的认知需求。,读懂学生,学生的从众心理是“天然”的，而质疑和批判的精神有时是需要培养和提醒的。,读懂学生,读懂教材,读懂学生,教材（知识、技能、思想方法、前后联系、目标、重点）,组织（选择、流程、情境、文化、线索、理念、）,学情（基础、已知、未
6、知、难点、差异）,读懂课堂,心理（认知、经历）,三角形内角和,知识,过程经历,剪一剪,折一折,量一量,内角,内角和,技能,定理,已知两角，求未知角,已知特殊三角形中的一角，求未知角,解决生活中问题,思想方法,读懂课堂,转化,分类讨论,猜想与验证,提出命题,验证,应用,关键,验证的过程是本课的关键。,（2）不同的验证方法体现不同的思维层次。,误差大没有误差,验证证明,不完全归纳完全归纳,（1）只有过程才能培养数学思想。精益求精严谨的数学研究精神 分类讨论的思想,三角形内角和,读懂课堂,核心价值目标：让课堂滋养学生的数学理性精神,“独立思考，不迷信权威；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；
7、严谨推理，不违背逻辑。,三角形内角和,读懂课堂,汇报测量结果师：你觉得为什么会有这么多的结果呢？生：师：不错，摆量角器的时候、读刻度的时候，难免都会出现一些误差，每个角都有误差，三个角加在一起，误差就更大了。想想看，量三次，误差就大，那么怎么样误差就小了呢？生：想办法让量的次数少一点。师：说得太对了，那么动脑子想一想，怎么样才能让量的次数减少呢？生：放到一起来量。师：太棒了！那怎么样才能把三个内角放到一起来呢？,三角形内角和,读懂课堂,验证：所有的三角形的内角和都是180度。小组讨论，想一想：（1）选择怎样的材料去验证，才能说明所有三角形的内角和是180度。需要的材料：个三角形，分别是。（2）
8、你们觉得用什么好办法验证，才能做到让别人心服口服？（3）选择好研究的方法后，组长给自己的组员分好工，再开展研究。,（1）选择锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个进行研究；（2）选择一大一小的三角形各一个进行研究。,三角形内角和,读懂课堂,至此，大部分的教学设计便会引导学生得出结论。然而，笔者认为，此时下结论还有以下两个问题：1、剪、折仍然存在误差，立即下结论就是无视个别误差存在的事实，不利于学生尊重事实、重视数据的理性精神的培养。2、看到一个苹果是红的，不能以此推断所有的苹果是红的。不完全归纳法的问题,三角形内角和,读懂课堂,工具的改进几何画板：计算机实验证明量其实是一种好办法：实证逻辑推
9、理证明原理性的理解函数思想的渗透,三角形内角和,读懂课堂,磨课观课：要以点带面,一节课,一类课,一个领域,一种价值观：学科的核心目标,由一节课推广到一类课，几何定理证明课、运算定律验证课都是培养学生理性精神的重要资源与途径。1、有意识地在数学思考上，帮助学生逐步实现从基于直观操作的思维训练向抽象推理思维培养过渡。因此，小学高段教学中要选择一些合适的课例，抓住学生直观操作中表现出的思维基点、联系点或是亮点，进行系统地提炼，并循序渐进地开展训练，逐步帮助学生摆脱对外在操作行为的单纯依赖，将数学思考转向内在的推理思维，引导学生认识到逻辑推理的思维价值，从而有效地过渡到严密、抽象的逻辑推理思维。,三角
10、形内角和,读懂课堂,2、小学数学教学中涉及到的运算定律、几何定理的验证教学中，不仅要组织学生设法验证（或证明）结论，而且应当精心设计，从意义、原理等层面帮助学生理解这些结论。如下表中几个典型知识点的教学便是如此：,三角形内角和,读懂课堂,3、应当把培养尊重事实、不迷信权威的理性精神，作为数学课程的一个核心价值目标。教育是一个系统工程，不同课程根据学科本身的特点都要从不同角度为这一系统服务，各自做好各自该做的事。相对于文科的感性特点，数学学科的核心文化就是理性精神。在教学中，我们应当帮助学生排除盲从、浮躁的心态，引领他们追本溯源，亲手获取真实数据，脚踏实地实践验证，严密推理，培养严谨、科学、实证
11、的治学态度，从中体验思维的乐趣，塑造儿童的理性精神，为培养学生完整的人格服务。,三角形内角和,读懂课堂,读懂教材,读懂学生,教材（知识、技能、思想方法、前后联系、目标、重点）,组织（选择、流程、情境、文化、线索、理念、）,学情（基础、已知、未知、难点、差异）,读懂课堂,心理（认知、经历）,一.读懂教材，厚积薄发,不居高不能临下，不深入不能浅出。对数学本质的追问 是什么？内涵和意义 为什么？必要性 有什么，和什么有关？知识网络 哪里来的？寻根溯源 背后有什么？思想方法,方程的意义,课题为什么叫作方程的意义？,定义：含有未知数的等式叫做方程。,意义比定义更为重要。,将未知量视为已知，利用等量关系求
12、未知量,1.关注教学内容的真正内涵与价值,一.读懂教材，厚积薄发,例：众数 困惑：一般水平、整体水平、平均水平、大致水平？思考：众数倒底是表示什么的？学习众数之前是否应当让学生学会观察数据特征？感受集中趋势。教学思路,2.厘清知识脉络,一.读懂教材，厚积薄发,圆的面积,一.读懂教材，厚积薄发,3.通读相关书籍,二、读懂学生，寻找切合点,传统教学：抽象的学生，被框定在教材体系中的学生今天的教学：学生非零起点,1.基于学生数学经验开展有效教学杜威：一盎司经验胜过一吨理论数学经验包括什么生活经验原型 案例：你是如何比较大小的。3岁左右的儿子就会比大小了，6岁的时候说出了比较方法，方法是：后数的就大。
13、,二、读懂学生，寻找切合点,二、读懂学生，寻找切合点,源于生活经验，提练和改造生活经验。如：我们教圆的认识，问学生圆和其他图形有什么区别？生答：圆圆的、没有棱、没有角 师：出示椭圆，问是圆吗？倒底有什么区别？,传统教学：抽象的学生，被框定在教材体系中的学生今天的教学：学生非零起点 学生有许多宝贵的原发性思维 学生的差异也是一种资源,二、读懂学生，寻找切合点,儿童分蛋糕。若7个女孩平分2个，3个男孩平分一个。每个女孩得到的多还是每个男孩多？（可以用文字或图形给予解释）,解决方法 人数(%)1.美国 中国 比较 与(-)21 902.如果有6个女孩的话,每一个女孩与 每一个男孩得到的相同,但是有7
14、个女孩,则每一个女孩得到的就少于每一个男孩的 14 23.7 24.每个蛋糕切成21份,每个女孩得6份,2 0 每个男孩得7份。,G G G,G G G,B B B,5.29 2 6.女孩的蛋糕是男孩蛋糕的2倍,但女孩的数量 要多于男孩的2倍。10 37.7 08.=3.5=3 10 2 3.5个女孩分一个;3个男孩分1个,1 3 2,4 56 7,1 3 2,2.站在学生的角度思考模拟学生学习过程，自己做一做，想一想：哪些内容是学生会且理解的？哪些会但并不理解的？学生可能有哪些方法？可能会有哪些困难？,从学生的起点出发设计教学，哪怕是将错就错？,二、读懂学生，寻找切合点,二、读懂学生，寻找切
15、合点,例：平行四边形的面积计算 1、产生错误的原因是什么？2、错误也是有价值的。,例：质数与合数、20以内进位加法,例：一下统计,2,3,4,2,正,对每一种表示方法都有尊重，挖掘它的数学价值。,理解学生概念 的建立过程，有序呈现，将点连成数学史的线。,二、读懂学生，寻找切合点,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,1、呈现知识生成的路径,数学概念的本源可以映射概念的本质。教材定义概念本质 数学概念形成的历史可以映射学生建构概念的过程。,例：速度时间路程,例：角的度量,例：负数的认识例：分数、除法、比之间的关系,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,1、呈现知识生成的路径,负数的认识 为什么要有负数？
16、负数又怎么表示？,负数的认识为什么要有负数？,张绍峰指出，世界上最早最详细记载负数概念和运算法则的是我国公元一世纪出版的九章算术，在九章算术中方程章第三题“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，”翻译成白话文就是：设上等稻棵2束，中等稻棵3束，下等稻棵4束，出谷后都不满1斗。如果上等稻棵2束加上中等稻棵1束，或者中等稻棵3束，加上下等稻棵1束，将下等稻棵4束，加上上等稻棵1束，那么出谷正好都满斗，问上、中、下等稻棵各出谷多少？如分别设上、中、下各禾一秉的谷子量是x、y、z，则依题意列方程，可得,用九章算术中所给的直除消元法类似加减消元法，必然会出现零减去正数的情况，要使运算进行下去，就必须引进负数
17、。,负数的认识为什么要有负数？（必要性）,数学运算的封闭性,小数减大数,负数,融入数系,正数、0和负数,相反意义的量,负数的认识 为什么要有负数？负数又怎么表示？,史料怎么用？,数学史引入课堂不应当仅仅停留在“你知道吗”的形式。数学史料的呈现要与教学 融合成一个整体，丰富学生对数学概念的建构与理解。,2、用联系的观点设计教学,数形结合,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,充分挖掘数轴在小学阶段的教学价值。,0,0,数轴上的分数基本性质,0,1(1/1),2/2,4/4,3/2,1/2,5/4,3/4,2/4,1/4,6/4,(1),(2),(3),62,非零自然数,偶数:,奇数:,8,8的因数,
18、8的倍数,数轴上的因数和倍数,非零自然数,质数:,合数:,1,5,2,4,3,7,6,14,13,12,11,10,9,8,非零自然数,偶数:,奇数:,质数:,合数:,非零自然数,偶数:,奇数:,质数:,合数:,非零自然数,偶数:,奇数:,质数:,合数:,1,2,-1,-2,在数轴上看数的分类,总复习第一课时 数的认识,2、用联系的观点设计教学,数形结合,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,充分挖掘数轴在小学阶段的教学价值。,点子图,一种新思路 百科情境下的数学问题解决,乘法分配律,学习两位数乘两位数笔算前师：你是怎样算的？生：个位二四得八，11=1；十位21=2，14=4,师：你是算出的？生：
19、先二二得四，二三得六；再一 二得二，一三得三。这个二是 十位乘的，要和十位对齐。师：为什么可以这样算？生：（停顿思考，摇摇头）就是记 住要乘四次。师：这个64表示谁与谁的乘积？生：就是22和23。,课前熟练掌握两位数乘两位数笔算的同学。,表内乘法的计算模型,1210=120124=48120+48=168,1210=120124=48120+48=168,1210=120124=48120+48=168,2、用联系的观点设计教学,数形结合,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,充分挖掘数轴在小学阶段的教学价值。,点子图,方格图,通分的意义-加减法的运用,单位“1”,单位,异分母分数加减的图形表征,
20、三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,3、顺着学生的心理特点去设计,填表的故事,+,3,5,8,4,9,6,2,1,10,5,4,=,9,=,6,=,5,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,3、顺着学生的心理特点去设计,填表的故事野人一家的故事,（1）认识加法：,很久很久以前，还没有文明人类的时候，那时候还只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人妈妈。爸爸负责每天出去打猎找食物，妈妈负责在家里做家务带宝宝。有一天早上，野人爸爸出门打猎，到了晚上，野人爸爸回来了。野人妈妈问：你今天打了什么猎物啊？野人爸爸说：我今天打到了一只兔子。我们今天晚上有兔肉吃咯。野人妈妈说：不行不行，我们前几天还有很
21、多东西没吃完，先别急着吃。”,讲到这里，我在黑板上贴一只兔子图片，我问：“那怎么办呢？”居然有学生想都不想说：“放到冰箱里。”我晕。还是把兔子养起来吧。野人妈妈说。于是野人爸爸就用树枝编了个围栏，把小兔子圈在里面。讲到这里，我在兔子图外画了一个圈，写上1（呵呵。集合圈的雏形）第二天，野人爸爸又出去打猎，回来的时候，妈妈问，今天你又打了什么啊？爸爸说，我今天运气特别好，我打到了两只兔子，今天晚上我们可以大吃一顿了。妈妈说，先别急着吃，我们先把前几天食物吃完。这两只兔子也养起来，准备过冬。于是野人爸爸又编了一个围栏，把兔子养起来。,这时，我贴上两只兔子，在外面画一个圈。野人妈妈看到了，说，为什么不
22、把这两个圈的兔子，放到一个圈里养呢？于是野人爸爸就把这两部分兔子合在一起，养在一个圈里。现在一共养了多少只兔子呢？”讲到这里，我用一个大圈把三只兔子都圈了起来。,动物都过冬了，兔子要遭殃了。,(2)认识减法：,大饥荒来了,(3)0的认识：,三、读懂课堂，让学习焕发生命活力,4、热爱，才是课堂生命的真谛,关爱每一个孩子,好教师的品质,美国时代周刊曾刊登了保罗韦地博士在收集了九万名学生关于他们心目中喜欢怎样的教师的想法之后，归纳出的“好教师”的12种品质。,89,1.友善的态度他的课堂犹如一个大家庭，我再也不怕上学了。2.尊重课堂上每一个人他绝不会把你在他人面前像猴子般戏弄。3.耐性他绝不会放弃要
23、求，直至你会做为止。4.兴趣广泛他带我们到课堂以外，并帮助我们去把所学习的知识用于生活。5.良好的仪表他的语调和笑容令我感到舒畅。6.公正他会给予你应该得到的，没有丝毫偏差。,90,7.幽默感他每天会带来少许的欢乐，使课堂不致于单调。8.良好的品行我相信他与别人一样也会发脾气，不过我从未见过。9.对个人的关注他会帮助我去认识自己，我的进步依赖于他，使我得到松弛。10.伸缩性当他发觉自己有错，他会说出来，并会尝试其他方法。11.宽容他假装不知我的愚蠢，将来也是这样。12.颇有方法忽然间，我能顺利念完我的课 本，我竟然没有察觉这是因为他的指导。,91,教师看不见的学生,首都师范大学郜舒竹,92,三
24、、读懂课堂，让学习焕发生命活力,4、热爱，才是课堂生命的真谛,关爱每一个孩子激发孩子对数学的热爱,一个音乐演奏者在华盛顿DC地铁站“LEnfant Plaza”的入口站 了许久。,94,那就是今年一月份的事，那天温度很低。,95,他连续演奏了45分钟。先拉巴哈的，然后拉舒伯特的圣母颂，然后拉Manuel Ponce（庞塞）的，接着拉Massenet（马斯奈）的，最后又拉回巴哈的。,96,那是大概早上8点，此时此刻，成千上万的上班族通过这个地下通道前往工作地点。,97,三分钟后，一个中年男子发现小提琴家在演奏，他缓慢脚步，停留了几秒钟，然后继续又加快了脚步往前走。又过了一分钟后，小提琴家得到了他
25、的第一张钞票：一个女人扔下的一美元，但她没有停下来。再过了几分钟，一个过路人靠在对面墙上听他演奏，但看了看表就走掉了。很显然，他要迟到了。,98,对音乐家最感兴趣的是一个三岁的小孩。他的妈妈又拉又扯的，但那小孩就是要停下来看音乐家。最后他妈妈用力拖他才使他继续走。但小孩还一边走一边回头看音乐家。,99,在音乐家45分钟的演奏过程中，只有7个人真正停下来听他演奏。,100,他一共赚了32美元。当他演奏完毕，没有一个人理他，没有一个人给他鼓掌。一千多个人中只有一个人发现了他。,101,没有一个人发现这个音乐家原来就是Joshua Bell（约舒亚贝尔）当今世界上最有名的小提琴手之一。他在这个地铁站
26、里演奏了世界上最难演奏的曲目，而他所用的小提琴是意大利斯特拉迪瓦里家族在1713年制作的名琴，价值350万美元！,102,就在他在地铁站演奏的前两天，他在波士顿的歌剧院里表演，虽然门票上百美元，却座无虚席一票难求！这是真实的故事。,103,Joshua Bell在地铁里演奏一事其实是 华盛顿邮报 一手策划的，目的是为了测试人们的知觉、品味和行为倾向。,104,要解答的问题是:在一个公共场合里，在一个不适宜的时段，我们是否能够欣赏到美呢？我们是否会停下来欣赏呢？我们是否能在一个不适宜的环境下发觉人才呢？,105,可能的结论如下:如果我们确实是没有时间去停下来听一听世界上最优秀的演奏家演奏世界上最优美的旋律，不知道还有多少美好的东西从我们身边溜走。,106,愿我们的学生在数学的海洋中遨游，领略数学的文化、感悟数学的美丽，每个人都获得全面、个性的发展。,107,美妙的数学,Thank you!,M,谢谢您的倾听！,
