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1、1,第八章 弯曲变形,材料力学,2,81 梁的挠度和转角82 挠曲线近似微分方程,第八章 弯曲变形,84 叠加法求弯曲变形,85 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,*简单静不定梁,83 积分法求弯曲变形,8 梁的挠度和转角,弯曲变形,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与 y 同向为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x),三、转角与挠曲
2、线的关系：,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,8-2 挠曲线近似微分方程,即挠曲线近似微分方程。,弯曲变形,小变形,挠曲线曲率:,6,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,弯曲变形,7,用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）,1.微分方程的积分,弯曲变形,C1、C2为积分常数，据边界条件确定,8-3 积分法求弯曲变形,挠曲线近似微分方程：,弯曲变形,2.位移边界条件,支点位移条件：,连续光滑条件：,（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）,讨论：适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。,弯曲变形,积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
3、,可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。,优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。,例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解：,L,x,y,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,y,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,弯曲变形,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,8-4 叠加法求弯曲变形,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而
4、引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,弯曲变形,前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。,例 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例 按叠加原理求C点挠度。,解：载荷无限分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,叠加,弯曲变形,C,例 结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。,=,+,弯曲变形,8-5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,一、梁的刚度条件
5、,其中称为许用转角；w称为许用挠度。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸；、设计载荷。,弯曲变形,(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外）,例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f=0.00001m,B点的=0.001弧度,试校核此杆的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单 载荷变形。,弯曲变形,x,y,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,x,y,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,弯曲变形,25,强度：正应
6、力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,弯曲变形,二、提高梁弯曲刚度的主要措施,26,弯曲变形,（一）、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为,27,一般的合理截面,弯曲变形,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,28,弯曲变形,29,弯曲变形,工字形截面与框形截面类似。,30,弯曲变形,2、根据材料特性选择截面形状,如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：,（二）、采用变截面梁,最好是
7、等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,31,弯曲变形,（三）、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。,32,弯曲变形,33,（四）、梁的侧向屈曲,1.矩形纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,34,2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。,35,（五）、选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性
8、的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,弯曲变形,*简单静不定梁,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,弯曲变形,A,B,x,y,几何方程变形协调方程,+,弯曲变形,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,几何方程 变形协调方程：,解：建立静定基,=,例6 结构如图，求B点反力。,LBC,弯曲变形,x,y,C,=,+,=,LBC,弯曲变形,x,y,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,40,本章结束,
