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1、数学科学学院 陈建华,线性代数,1.3 行列式展开定理,例1.计算,解:,(化上三角形法),D,57,复习,?,！,本节内容,余子式、代数余子式行列式按行（列）展开定理Laplace 定理,1.aij的余子式：在 中划去元素aij 所在的第i行和第 j 列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij,2.元素aij的代数余子式：,例如，在 中，,M32,Aij(1)i+jMij,A23,=(-1)2+3M23=,一、余子式和代数余子式,二、行列式按某行(列)展开定理,ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,a1jA1j+a2jA2j+anjAnj,行,列,思路:,先证特殊情形再证一般情形；一般情
2、形的证明通过转化为特殊情形完成.,证：先证,ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,次证,i 行逐一向下交换经 ni 次至末行,j 列逐一向右交换经 nj 次至末列,思路：化归为情形,(1)ij aij Mij,aijAij,(1)ij aij Mnn,由,最后,证毕,ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,由,例1.计算行列式,解法1：,化上三角形法,解法2：降阶法,D,57,=(-1)1+1,=(-1)3+1,利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.,=10,=(-1)2+2,=5(-1)2
3、+3,例2：计算,例3 计算行列式,首列元素全是1,第一行乘以(1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律，不可取。,分析,利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(1)倍,按首列展开后再使用该手法,解：,=(1)n+1x n-2,例4 计算4阶范德蒙(Vandermonde)行列式,分析 相邻两行元素较接近!末行始,后一行加上其前行的(x1)倍,a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(x2)倍，,解：,=(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3),连乘积记号,可
4、以证明n 阶“范德蒙行列式”,3.推论:,行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,第s行,理解：,第s行,0,ai1As1+ai2As2+ainAsn=0(is),综合定理及推论得“代数余子式的 重要性质”:,a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0(jt),对于行列式的列，类似地有：,行,列,例5 设,=0,，计算A41+A42+A43+A44.,=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44,分析:,A41+A42+A43+A44,巧用第3行的四个1,分析注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A
5、33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.,解:,，求(1)A31+A32+A33,(2)A34+A35,例6 设,解:,例7 设,，计算 A41+A42+A43+A44,两式相减得,A41+A42+A43+A44D=6,思考：其它解法,A41+A42+A43+A44,1.几个概念,(1)k 阶子式：任选k行k列 k阶行列式，记作 M.,(aij是行列式的一阶子式),(2)k 阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列,nk阶行列式，记M,(3)k 阶子式的代数余子式:,三、拉普拉斯定理,注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理 k=1的情形,2.拉普拉斯定理,的所有k 阶子式(共 个)
6、与各自的代数余子式的乘积之和等于D.,即：,行列式D中任意选定k行(1kn),这k行元素组成,DM1 A1M2 A2Mt At(),注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开,例8 用拉普拉斯定理计算行列式,解：,1(3)(15)(1)(4)(9)(8)9,例9 计算行列式,解：,法二 按第五列展开后再按第一列展开(教材例1-11,P17),法一 按三、四、五行展开,=1080,应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:,按前k行展开,讨论完成,乘法公式,设,则,(证明见2.3节，p55-56),作业:P21 习题1.3 1,2,3,4,备用题,例 计算,解:,从而解得,解析几何中的行列式,范德蒙 法国数学家，就对行列式本身而言，他是这门理论的奠基人在行列式的发展史上，他是把行列式理论与线性方程组求解相分离的第一人范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则1772 年，法国数学家拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法,线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言 David.C.Lay,
