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1、结构力学,天津城市建设学院力学教研室,STRUCTURE MECHANICS,第13章 结构的动力计算,13.1 动力计算概述,一、动力计算的特点,（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。,1、内容：,（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。,2、静荷载和动荷载,（1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。,（2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力（与影响线不同）。,3、特点,（2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。,（1）必须考虑惯
2、性力（当=时，共振）。,（3）分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。,（4）学习循序渐进：,第13章,二、动力荷载的种类,1、简谐周期荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击）。,2、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。,第13章,3、脉动风压,4、地震荷载,三、振动体系的自由度,1、基本未知量：以质点位移作为基本未知量。结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。,2、自由度：结构运动时，确定全部质点位置所需要的独立几何参变量的数目（与几何组成自由度不同）。,第13章,（2）与几何组成分析中的自由度不同
3、。,3、有关自由度的几点说明：,（1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调独立位移数目，后者强调独立坐标数目。,（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究（“广义位移法”、“有限单元法”）。,第13章,（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。,（5）结构的自由度与是否超静定无关。,第13章,四、体系振动的衰减现象，阻尼力,（6）可用加链杆的方法确定自由度。,1、自由振动的衰减：结构在自由振动时的 振幅随时间逐渐减小，直至振幅为零、震动停止的现象。,第13章,2、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：,（2）周围介质对振动的阻力。,（1）结构材料的内摩擦阻
4、力。,（4）地基土等的摩擦阻力。,（5）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，能量扩散。,（3）支座、结点等构件联结处的摩擦力。,第13章,4、粘滞阻尼理论（伏伊特理论）阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与速度方向相反。,3、阻尼 使能量耗散的因素，统称为阻尼。,式中：c为阻尼系数；y=dy/dt为质点的位移速度；负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反。,第13章,13.2 单自由度体系的运动方程,一、研究单自由度体系振动的重要性,1、是工程上一些实际结构的简化。,2、是研究复杂动力计算的基础。,第13章,二、单自由度体系振动的简化模型,恢复力简化为一弹簧，阻尼力简化为一阻尼器,1、弹簧刚度
5、系数（k11）使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。,2、弹簧柔度系数（11）在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。,第13章,三、单自由度体系运动方程的建立,取物块为隔离体,其上共作用五个力,1、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。,2、列动力平衡方程,第13章,3、列位移方程,以弹簧为研究对象,分析它与物块联结点处的位移。,任意时刻的位移:,即:,第13章,13.2 单自由度体系的自由振动,一、无阻尼自由振动,2、运动方程及其解的形式,令,则,其解,则,1、特点(1)无能量耗散,振动一经开始永不休止：(2)无振动荷载：,第13章,3、几个术语,（1）周期：振动一次所需的时间。,（2）工程频
6、率 单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。,（3）频率（圆频率）,旋转向量的角速度，即体系在2秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。,第13章,频率定义式：,频率计算式：,周期计算式：,自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。,第13章,4、微分方程中各常数由初始条件确定,代入：,得：,于是：,第13章,5、分析例题13-1、13-2（P83）,二、有阻尼的自由振动,1、振动方程及其解,则,令,特征方程,特征根,第13章,或：,（1）k，小阻尼情况,（一对共轭复根）,结论：振幅Ce-kt按负指数函数衰减的自由振动。,第13章,（2）k，大
7、阻尼情况,令,则,结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，故不振动。,第13章,（3）k=，临界阻尼情况,结论：由振动过渡到非振动的临界状态。,大阻尼情况下的振动曲线：,第13章,2、阻尼系数的确定,（1）阻尼比的概念,实际工程中K，属于小阻尼衰减性振动。通常以阻尼比作为基本参数。,根据定义,临界状态时,第13章,（2）阻尼比的确定,依上式可绘出振动图形：,第13章,（3）阻尼系数的确定,根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。,第13章,解（1）对数递减量：,（2）阻尼比：,（3）阻尼系数：,（4）振动5周期后的振幅：,第13章,13.3 单自由度体系在简谐荷载 作用下的动力
8、计算,一、考虑阻尼时运动方程及其解,1、运动方程,则：,设：,第13章,2、齐次解：,特征方程：,特征根：,3、特解（待定系数法）：,设：,将上式代入原方程后，可确定A1、A2：,第13章,设：,进一步，可得：,于是可将特解写为 的形式。,将各量代入后，可求出特解：,4、通解,第13章,利用 可确定通解中的常数C1、C2，于是：,5、稳态解（分析上式或直接分析通解，达到稳态后）,第13章,达到稳态时运动方程的解为,运动方程,二、动位移幅值的计算（考虑阻尼）,（AS为干扰力幅值产生的静位移）,运动方程的解（任意时刻的位移）可改写为：,1、考虑阻尼,第13章,动位移幅值为：,于是：,称为“动力系数
9、”或“放大系数”。,第13章,2、不考虑阻尼时动位移幅值的计算,不考虑阻尼时，令动力放大系数计算式中,3、共振时动位移幅值的计算,共振时，令动力放大系数计算式中,放大系数：,放大系数：,动位移幅值：,动位移幅值：,第13章,4、影响动位移幅值大小的因素,（1）与干扰力幅值成正比；,（2）与/的比值有关；,（a）当时-动荷载可作为静荷载处理；,（b）当时-与阻尼无关，结构可视为静止；,（c）当=时-共振，设计时应避免共振。由于阻尼的存在，振幅不会无限大。,第13章,5、位移和振动荷载之间的相位关系,（1）当不计阻尼（=0）时,（a）当/1 时:=0，A与P同相位；,（b）当/1 时:=，A与P反
10、相位。,有阻尼振动的特解：,式中：,第13章,（2）当考虑阻尼时,（a）当/1时-0/2,A与P有相位差；,（b）当/1时-/2，A与P有相位差；,（c）当/=1时-=/2，A与P相位差为/2。,1、强迫振动达到稳态时，振动荷载输入的能量等于体系振动过程中消耗的能量。,三、强迫振动时的能量转换,2、依能量关系同样可以推导出振幅的计算式：,第13章,1、一般方法,由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，位移与动荷载同相位）。,将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，而后按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。,四、动内力幅值的计算,第13章,2、比例
11、算法,当动力荷载与惯性力共线时，由于结构的位移与外力成正比，位移、内力同时达到幅值，故可以按比例计算。,将惯性力幅值放大倍后加在质量处，而后按静力学方法求解即可。,时，位移为,时，位移最大,依比例关系：,第13章,1、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅P所引起的静位移AS放大倍而得到。,五、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题,（1）当结构的柔度系数易求时,2、若荷载不直接作用在质点上，则应以-Rip 代替P，或以ip代替P11。,第13章,（2）当结构的刚度系数易求时,3、当动力荷载与惯性力共线时，既是动位移放大系数，也是各截面动内力和动位移的放大系数。,例题13-4 在梁的中点作用有一重量
12、为W=30kN的动力机械，已知梁的弹性模量E=210GPa，惯性矩I=8.010-5m4，动力机械转动时其离心力的垂直分力为Psint，且P=10kN，旋转速度N=500转/分。若不考虑阻尼，试求梁的最大挠度和弯矩（梁的自重略去不计）。,3、动力系数：,2、干扰力频率：,4、梁中点的振幅：,第13章,5、梁的总位移：,6、梁的最大弯矩：,例题13-5 图示简支刚架，在1点处有一质体，m=1000kg，在2点处作用有动力荷载Psint，且P=300N，已知EI=5.0107N.m2，设=0.5，不考虑阻尼。求质体m处的动位移幅值。,第13章,2、动位移幅值：,补充例题,解：（一）不共振情况,1、
13、动力系数：,2、动位移幅值：,3、梁中点的总位移：,第13章,4、动力弯矩图及总弯矩图的绘制,a)一般方法,*确定动位移达到幅值时的时间,第13章,*确定惯性力幅值和动荷载幅,*将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图,b)比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）,第13章,（二）共振情况,1、动力系数：,2、动位移幅值：,3、梁中点的总位移：,设自振频率在计算过程中有25%的误差，则 61.5（125%）61.5(125%）46.125 76.875 而=52.3，产生共振。,第13章,13.4 单自由度体系在任意荷载作 用下的强迫振动,一、瞬时冲量引起的动力反应,1、冲量定理,质点的动量
14、在任意段时间内的增量，等于作用于质点的力在同一段时间内的冲量（质点的动量定理）。,2、冲量结束时，质点的速度和位移,第13章,有阻尼自由振动：,冲量结束时，质点的速度和位移,由动量定理：,取t时间内的平均速度与t相乘，得冲量结束时的位移：,第13章,3、瞬时冲量引起的动力反应,第13章,二、任意荷载引起的动力反应,第13章,13.5 多自由度体系的自由振动,一、两个自由度体系的自由振动,1、运动方程的建立,（1）列位移方程（柔度法）：,将惯性力,代入上式并整理，得：,第13章,（2）列动力平衡方程（刚度法）：,第13章,2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）：,设方程的特解（同频率、
15、同相位、质点位移之比为常量）：,将方程的特解及其二阶导数代入式（1），化简后得：,令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：,第13章,将该齐次方程组系数行列式展开：,解方程，可得两个自振频率：,3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：,设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：,将方程的特解及其二阶导数代入原方程，化简后得：,第13章,4、特定初始条件下的简谐振动主振型,当=1时：,代入运动方程：,得：,当=2时：,对刚度系数易求的情况,第13章,当=1时：,当=2时：,对刚度系数易求的情况,5、任意初始条件下，体系的自由振动振动,在一般条件下，质点的位移是由不同频率
16、的简谐分量叠加而成，不再是简谐振动。,第13章,例题：求图示体系的自振频率和主振型。,解：,（1）求频率,代入,（2）求振型,第13章,二、多自由度体系的自由振动,1、运动方程的建立,（1）列位移方程（柔度法）：,移项后，写成矩阵的形式：,第13章,（2）列动力平衡方程方程（刚度法）：,移项后，写成矩阵的形式：,第13章,2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）,设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：,将方程的特解及其二阶导数代入式（1），化简后得：,令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：,第13章,第13章,设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：,
17、3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：,将方程的特解及其二阶导数代入式（1），化简后得：,第13章,令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：,第13章,4、振型矩阵的概念,第13章,例题1：三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。,解：,（1）求频率,第13章,（2）求振型,第13章,第13章,例题2：对称刚架。梁抗弯刚度EI=，柱的抗弯刚度EIC=6.0 MN.m2,横梁的总质量1600kg,两柱中点处的集中质量为300kg。求刚架的自振频率和主振型。,解：,（一）正对称形式的自由振动,第13章,例题2：对称刚架。梁抗弯刚度EI=，柱的
18、抗弯刚度EIC=6.0 MN.m2,横梁的总质量1600kg,两柱中点处的集中质量为300kg。求刚架的自振频率和主振型。,（二）反对称形式的自由振动,第13章,（三）原刚架的频率和变形,第13章,13.6 多自由度体系主振型的正交性,一、定义 所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存在着相互正交的性质。,二、证明：,第13章,第13章,（13-127）,（13-128）,振型正交性应用：（1）简化多自由度体系的动力计算；（2）检验所得主振型是否正确。,例题（13-12）,第13章,1、列位移方程（柔度法）：,移项后，写成矩阵的形式：,13.7 多自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动
19、,一、运动方程的建立,第13章,2、列动力平衡方程方程（刚度法）：,移项后，写成矩阵的形式：,第13章,二、简谐荷载作用下的强迫振动,设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动：,柔度系数易求时，将式（3）代入式（1），并化简：,1、运动方程,2、动位移幅值的计算,刚度系数易求时，将式（3）代入式（2），并化简：,第13章,将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。（为什么？）,3、动内力幅值计算（无阻尼）,三、两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（无阻尼）,（1）柔度系数易求,1、动位移幅值的计算,第13章,（2）刚度系数易求,2、动内力幅值计算（无阻尼）,将惯性力
20、幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。,第13章,3、注意点,（1）由于强迫振动的动荷载为已知（幅值和频率），故可直接求出动位移幅值A1、A2。（2）在简谐荷载作用下，体系达到稳态后，两质点也都作简谐振动，其频率与干扰力频率相同。（3）干扰力频率与振幅的关系：a)当0时；动力作用很小，动位移幅值相当于将干扰力幅值当作静荷载所产生的位移。b)当时；A1 0，A2 0。,c)当1 或2时；产生共振，A1，A2。,(4)当不计阻尼时，位移与惯性力随干扰力作同样变化，并同时达到幅值。与位移相应的惯性力幅值为：,第13章,例题13-13：三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t
21、)=100sint kN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。,解：（一）求各楼层的振幅：,第13章,（二）求动内力值：,第13章,例题13-14：结构同例137，设在质量m2处作用有简谐荷载Psint。已知：m1=m2=m，EI=常数，=0.61。若不计梁的自重，试求该体系的动位移和动弯矩的幅值图。,解：（1）求位移幅值A1、A2,第13章,(2）求质点1、2动弯矩幅值,1、正则坐标应满足的条件,13.8 多自由度体系在一般动力荷载作用下 的强迫振动（振型叠加法）,一、正则坐标,(1)以质点位移作为坐标（几何坐标）建立的运动方程，必须联立求解。,(2)以
22、正则坐标代替几何坐标，可将联立方程变为若干个独立方程求解。,(3)正则坐标的建立,第13章,2、正则坐标的几何意义,a)体系的实际位移可以看作是由固有振型乘以对应的组合系数v1、v2之后叠加而成。,b)组合系数v1、v2称为“正则坐标”。上述作法相当于将实际位移按振型分解，固称“振型分解法”；反之，“振型叠加法”。,c)对n个自自由度体系，有：,第13章,c)对n个自自由度体系，有：,第13章,1、正则坐标方程的推导,二、按振型叠加法计算强迫振动,第13章,2、正则坐标微分方程的解,第13章,（13-173）,3、振型叠加法解题步骤,（1）计算或k,而后代入频率方程求频率；,（2）求规准化振型
23、矩阵；,（3）计算广义质量、广义荷载,（4）代入正则坐标微分方程，求正则坐标,（5）由正则坐标求几何坐标,（6）计算其它动力反应,第13章,将体系的分布质量集中于若干点上，根据静力等效的原则，使集中后的质点重力与原来的分布质量的重力互为静力等效。,13.10 近似法求自振频率,一、集中质量法,第13章,1、具有分布质量的简支梁,2、集中质量法 简化结果,根据能量守恒和转化定律，当体系作自由振动时，在不考虑阻尼的情况下，体系既无能量输入，也无能量耗散，因而在任一时刻，体系的动能与势能之和为一常量，即,二、能量准则标,设某体系以频率作自由振动，分别考察其达到振幅位置和静平衡位置时刻的总能量之和，有,利用上式即可确定自振频率。此法称为“瑞雷法”。,第13章,三、用能量法计算自振频率,第13章,第13章,第13章,第13章,
