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1、第八章,超静定结构的解法,第八章 主要内容,8-1 超静定结构及超静定次数的确定,8-2 力法和典型方程,8-3 对称性的利用,重点：力法,本节内容,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,8.2 力法和典型方程,8.1 超静定结构 及超静定次数的确定,超静定结构：几何不变体系，有多余约束。,不能利用静力平衡条件求出结构的全部支座反力和杆件内力，这种结构称为超静定结构。,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,2.超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有关。（EI）,超静定结构的特性：,1.超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，求解内力必须考虑变形条件。,3.超静定结构在支座移动、温度
2、改变等因素下，会产生内力。,4.超静定结构的局部位移和内力比静定结构小。,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,超静定次数的确定：,超静定次数=多余约束的个数,确定方法：如果从原结构中去掉n个约束后，结构成为静定结构，则原结构的超静定次数=n,多余约束力,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,静定基：超静定结构解除多余约束后得到的几何不变体，称为该超静定结构的静定基。,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,超静定结构根据解除约束的不同可以有多种静定基。,超静定次数=多余约束的个数,超静定次数的确定：,解除多余约束的几种情况：,静定基不唯一,1.去掉一个支座链杆相当于解除一个约束。,可变体系,8
3、.1 超静定结构及超静定次数的确定,解除多余约束的几种情况：,2.在杆件内添加一个铰，相当于解除一个约束；,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,也称：刚结点（刚性联结）变铰结点相当于解除一个约束；,3.去掉一个固定铰支座,或拆开一个单铰相当于解除两个约束；,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,解除多余约束的几种情况：,4.去掉一个固定端支座相当于解除三个约束；,解除多余约束的几种情况：,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,5.切断一根梁相当于解除三个约束。,解除多余约束的几种情况：,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,或：切开一个闭合框相当于解除三个约束。,解除多余约束的几种情况：,8
4、.1 超静定结构及超静定次数的确定,1.去掉一个支座链杆相当于解除1个约束。,2.在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束；,3.去掉一个固定铰支座,或拆开一个单铰相当于解除 2个约束；,4.去掉一个固定端支座相当于解除3个约束；,5.切断一根梁（杆）或切开一个闭合框相当于解除3 个约束;,课堂练习：,判定下列结构的超静定次数：,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,课堂练习：,判定下列结构的超静定次数：,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,组成无多余约束几何不变体系的基本规则：,(1)两刚片法则：,三刚片用不共线的三个铰两两相连，可组成一个无多余约束的几何不变体系。,(2)三刚片法则（三角形
5、法则）：,在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何组成性质。,(3)二元体法则：,两个刚片用三根不共点的链杆相连，或者，两刚片用一铰和一不通过铰心的链杆相连，可组成一个无多余约束的几何不变体系。,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,(a)1次,(c)1次,(c)4次,(e)1次,(b)2次,(i)4次,(f)3次,(h)9次,(g)3次,8.1 超静定结构及超静定次数的确定,课堂练习：,判定下列结构的超静定次数：,8.2 力法和典型方程,8.2 力法和典型方程,力法：以力为未知数求解超静定问题的方法。,力法的基本思路：,1.解除多余约束，使之成为静定结构静定基；,2.在静定基上施加与
6、多余约束相对应的多余力基本 未知量；,3.应用变形条件求解多余约束力。,求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解后，其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。,力法的基本思路：,静定基,2、分析位移条件:B点处,解:1、确定静定基,11 X1+1P=0,设11：单位多余力作用下，静定基在去掉多余约束处的位移；,原结构,q单独作用下:1P,X1单独作用下:11,11+1P=B=0,3、建立方程：,力法方程,静定基:,11：系数 1P：自由项,11=11X1,8.2 力法和典型方程,4、求系数11 和自由项1P,力法的基本思路：,
7、8.2 力法和典型方程,11 X1+1P=0,力法方程,11：系数 1P：自由项,设11：单位多余力作用下，静定基在去掉多余约束处的位移；,11=单位多余力产生的弯矩图自乘/EI；,1P=单位多余力产生的弯矩图乘外荷载弯矩图/EI；,6、求原结构的反力和内力,反力:根据整体平衡求支座反力,力法的基本思路：,8.2 力法和典型方程,5、解方程求X1,11 X1+1P=0,力法方程,内力:,力法的思路：,1、去掉多余约束，代以多余约束力，确定静定基；,2、以多余约束力为基本未知量，由位移条件建立力法方程；,3、解方程求多余约束力，进而求超静定结构的内力。,力法的要点：,1、基本未知量多余约束力；,
8、2、位移条件：基本结构在多余约束力和荷载共同作用下,在去掉多余约束处的位移等于原结构的实际位移。,8.2 力法和典型方程,8.2 力法和典型方程,以一封闭刚架为例：,设在刚架中央截面C处截开，得两个半刚架的静定基，超静定次数为3，故加三对多余约束力X1，X2，X3以取代解除的约束作用；,力法的典型方程：,原结构,静定基,位移条件：,8.2 力法和典型方程,定义：,力法的典型方程：,由X1=1引起的位移,由X2=1引起的位移,由X3=1引起的位移,由外荷载引起的位移：,力法的典型方程：,8.2 力法和典型方程,(8-1),位移互等定理,典型方程,8.2 力法和典型方程,力法的典型方程：,由外荷载
9、引起的沿Xi方向的位移,Xj=1由外荷载引起的沿Xi方向的位移,n次超静定结构：,力法典型方程,1）主系数：i i 0,2）付系数：i j（ij）可负，可正，零,3）i P:自由项,4）系数、自由项的含义：位移,8.2 力法和典型方程,（为书写简便省略上划线）,静定基的弯矩图,力法的解题步骤：,2、列力法方程,3、求系数、自由项(画各弯矩图，图乘法）,4、解方程求多余力,5、画内力图,1、确定静定基,8.2 力法和典型方程,6、校核,力法的解题步骤：,1)判断结构的超静定次数；,2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基；,5)用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。以作
10、弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：,6)校核：求得多余约束力后，再按计算静定结构位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形条件或连续性条件。如满足，则结果正确。,3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相应的位移；,4)将 代入典型方程，求出多余约束力Xi；,8.2 力法和典型方程,力法解超静定：,静定基,2、位移条件:B点处,解:1、确定静定基,11 X1+1P=0,原结构,q单独作用下:1P,X1单独作用下:11,11+1P=B=0,3、建立方程：,静定基:,11=11X1,8.2 力法和典型方程,4、求系数11 和自由项1P,5、解方程求X1,8.2 力法和典型方程,11 X1+1P=0,11 等于X1=1产生的弯矩图自乘/EI；,1P 等于X1=1产生的弯矩图与外荷载弯矩图互乘/EI；,6、求原结构的反力和内力,反力:根据整体平衡求支座反力,作内力图:,8.2 力法和典型方程,作业1：,P249：8-1(c)、(e),作业2：用力法求解如下超静定结构，并作弯矩图,
