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1、1,连续型随机变量几种常见分布,2,三.几种常见的连续型随机变量的分布,若连续型随机变量 X 具有概率密度 f(x)为：,1.均匀分布,则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布(或等概率分布)记作 X U(a,b),注:,3,X 落在区间(a,b)中任意等长度的子区间的可能性是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.,4,证:,即 X 落在(c,d)内的概率只与(c,d)的长度有关,而与(c,d)在(a,b)中的位置无关.,均匀分布常见于下列情形：比如:在数值计算中，由于四舍五 入,小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即
2、乘客的候车时间等.,5,由分布函数定义可得：若X 服从均匀分布，则X 的分布函数为:,图形:,6,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,(1)乘客候车时间少于 5 分钟的概率,(2)乘客候车时间超过10分钟的概率,例1.,试求：,7,解：,X U(0,30),设以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X 少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:0
3、0，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽站,故所求概率为：,依题意，,8,候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或7:15到7:20之间到达车间,9,2.指数分布,若连续型随机变量 X 具有概率密度 f(x)为：,注:,则称 X 服从参数为 的指数分布,10,若X 服从指数分布，则：,若设X是某一元件的寿命，则上式表明：元件 对它已使用过 小时没有记忆。,11,某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位:h)都服从同一指数分布，概率密度为,仪器在使用的最初200h内，至少有一个元件损坏的概率,例2.,试求：,12,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世
4、纪前叶由数学家高斯加以推广，所以通常也称为高斯分布.,德莫佛,数学家德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,3.正态分布,高斯,13,(1).正态分布的定义,若随机变量 X 的概率密度为：,记作:,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,和 都是常数，任意，0，则 称 X 服从参数为 和 的正态分布.,其中:,14,(2).正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”,15,决定了图形的中心位置，决定了图形 中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,16,由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点,即整个
5、概率密度曲线都在 x 轴的上方.,(3),显然:,以为对称轴，并在 处达到最大值:,17,令:x=+c,x=-c(c0),f(+c)=f(-c),且 f(+c)f(),f(-c)f(),证明:,分别代入 可得:,以为对称轴，并在 处达到最大值,故得:,这说明：曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f(x)以 x 轴为渐近线。,因为当 x 时，f(x)0,f(x)以 x 轴为渐近线,18,(对 f(x)求导即可求得),由分布函数定义得出正态分布，若,则 分布函数是,其图形为:,19,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，对应的是不同的正态分布。,20,下图是用某大学男大学生
6、的身高的数据画出的频率直方图:,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。,21,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,22,除了前面介绍的身高外,在正常条件下年降雨量；各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高；测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,23,标准正态分布,下面介绍一种最重要的正态分布,(5).,标准正态分布,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,其图形为:,24,密度
7、函数,分布函数,25,(一般正态分布与标准正态分布的关系),引理:,证明:,作一个线性变换,标准正态分布的重要性,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换 转化为标准正态分布.,26,由此可得:若,即证得：,则其分布函数,27,关于正态分布表,表中给出的是 时,(x)的值.,当 时有：,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,28,29,N(0,1),则有：,则有：,30,则有：,31,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明：X 的取值几乎全部集中在-3,3 区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1
8、)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,32,将上述结论推广到一般的正态分布,有：,时，,可以认为：,Y 的取值几乎全部集中在区间内。这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）,33,已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正态分布,求:生产零件是合格品的概率,解:,例3.,所求的概率为：,34,例4.,从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)所需时间(分钟),若现在只有 30分钟.,问：分别选择哪一条路为好?,解:,依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较小的路线为好.,当只有30分钟可用时:,A 路:,35,
9、B 路:,结论：此时应选择A路,例5.,(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率 不低于0.99，问 d 至少为多少?,36,解:,(2)按题意需求d满足:,37,故采用如下方法处理:,查表可知:,由此可得:,故得：,现,38,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),设车门高度为 h cm,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,的最小的 h,例6.,问：应如何确定车门高度,解:,按设计要求即求满足：,39,因为:XN(170,62),故:,查表得:,所以:,即:h=170+13.98 184,结论:设计车门高度为 184
10、厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,所以:,40,设电池的寿命X(单位:h)服从正态分布N(300,352),求这种电池的寿命在250h以上的概率求一个最小的正整数x，使电池寿命X在区间(300-x,300+x)内取值的概率不小于0.901,例7.,41,1.定义,2.图形:,面 积 为,四.关于 分位点的概念,以 点右侧面积总和 它就是所有比 大的概率.,单侧 分位点,42,注:,比如:,反过来可以验证:,用整块面积减去点 以后的那块面积,附表上可查的从 到 的那块面积,对于给定的,则:,点,又比如:,43,(同样可以验证:,图形:,两小面积相加之和=,又比如:,若,44,比如:
11、,45,上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明，二项分布近似于正态分布.,下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫佛拉普拉斯定理.它是第五章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况.,46,五、二项分布的正态近似,定理(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,47,实用中，n 30，np 10时正态近似的效果较好.,48,例 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由.,解:设X为10000次试验中出现正面的次数，,采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,49,=1-(16),0,此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的.,近似正态分布N(0,1).,
