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1、确 知 信 号,通信原理（第7版）,樊昌信 曹丽娜 编著,第2章,本章内容:,第2章 确知信号,信号类型 信号频率性质 信号时域性质,周期非周期型 能量功率型 频谱 频谱密度 能量谱密度 功率谱密度 自相关函数 互相关函数,确知信号de类型,2.1,每隔一定的时间间隔按相同规律重复 且 无始无终。,周期信号：,非周期信号：,在定义域内的任意时刻都有确定和可预知的函数值。否则，为随机信号或不确知信号。,何谓确知信号？,确知信号分类,根据信号的不同特征，可将信号进行不同的分类。,满足上式的最小T0（T0 0）称为信号的基波周期。,1.按照是否具有周期重复性区分,矩形脉冲,周期信号：定义在(-，)区
2、间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。,连续周期信号f(t)满足 f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。,2.按照信号能量是否有限区分,能量,功率,能量信号：,功率信号：,例如，单个矩形脉冲。,例如：直流信号、周期信号和随机信号。,将信号s(t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为|s(t)|2，在区间(,)的能量和平均功率定义为,确知信号de频域性质,2.2,1.狄拉克(Dirac)定义,函数值只在t=0时不为零；,积分面积为1；,t=0 时，为无界函
3、数。,狄利克雷（Dirichlet）条件,条件3:在一周期内，信号绝对可积。,条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。,条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。,例1,不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。,例2,不满足条件2的一个函数是,对此函数，其周期为1，有,在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期),说明,与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为,例3,周期信号，周期为1，不满足此条件。,欧拉公式
4、,复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为时，此点可表示为,e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为,欧拉公式与三角函数的关系,三角函数可表示为,欧拉公式与三角函数的关系,欧拉(Euler)公式,以正弦信号和复指数信号 为基本函数，任意信号将分解为一系列不同频率的正弦信号或复指数信号之和或积分。,由时域分析转入变换域（频域）分析傅里叶变换频谱、带宽、滤波、调制,欧拉公式,1.信号正交定义：,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t)，若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。,2.正交函数集：,若n个函数
5、1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。,3.完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在任何函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如：三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,虚指数函数集 ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上（周期内）的 完备正交函数集。为基波频率,(i=1，2，n),信号的正交分解,设有n个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f
6、(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+C22+Cnn,问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？,信号的正交分解,问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。,通常两个函数误差最小，是指这两个函数在区间(t1，t2)内的的方均值（均方误差）最小。均方误差为：,f(t)C11+C22+Cnn,为使上式最小（系数Cj变化时），有,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为：,即：,所以系数,信号的能量,代入，得最小均方误差,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，
7、则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（能量公式），表明：在区间(t1,t2)，f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,由积分可知,1、三角函数集,傅里叶级数的三角形式,在一个周期内是一个完备的正交函数集,级数形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数。,系数an,bn称为傅里叶系数。,可见，an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。,式中，A0=a0,上式表明：周期信号可分解为直流和许多余
8、弦分量。其中，A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率（基频）与原周期信号相同（）；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,例：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,解：,考虑到=2/T，可得：,信号的傅里叶级数展开式为：,傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
9、,系数Fn 称为复傅里叶系数,利用 cosx=(ejx+ejx)/2可从三角形式推出：,虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，,傅里叶级数的指数形式,cosx=(ejx+ejx)/2,上式中第三项的n用n代换，,三、傅里叶级数的指数形式,An 为偶函数，A n=An，n为奇函数，n=n，则上式写为,有,令复数,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,令复数,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为n的分量的系数，F0=A0/2为直流分量。,n=0,1,2，,傅里叶系数之间关系,n的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数:bn，n,信号频谱的概念,从广义上说，
10、信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。,周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。,关系曲线称为幅度频谱图，称幅度谱；,关系曲线称为相位频谱图，简称相位谱。,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线单边频谱谐波上才有值,功率信号的频谱,周期性功率信号的频谱,对于周期（T0）功率信号s(t)，可展成指数型傅里
11、叶级数：,其中，傅里叶级数的系数：,|Cn|-,n-,相位谱,随频率（nf0）变化的特性称为信号的,幅度谱,当 n0 时，有,它表示信号的时间平均值，即直流分量。,对于物理可实现的实信号，有,周期功率信号频谱的性质,将式:,代入式：,可得s(t)的三角形式的傅里叶级数：,式中,实周期信号可分解为直流分量C0、基波(n=1时)和各次谐波(n=1,2,3,)分量的线性叠加；,上式表明：,实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 实信号s(t)的各次谐波的相位等于,频谱函数Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅之半。,若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。,若s(t)不是偶信号，则 Cn为复函数。
12、,【2-1】试求下图所示周期性方波的频谱。,解,该周期性方波的周期T，脉宽，脉福V。可表示为：,其频谱：,可见：因为s(t)是实偶信号，所以 Cn为实函数。,【2-2】试求下图所示周期性方波的频谱。,解,可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是 复函数。,该信号可表示为：,其频谱：,非周期信号的频谱,傅里叶变换 常用函数的傅里叶变换,回顾：周期信号的傅里叶级数,在满足狄里赫利条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,f(t)的指数形式傅里叶级数,说明：,一傅里叶变换,：周期信号,非周期信号,连续谱，幅度无限小；,离散谱,1.引出,0,再用Fn表
13、示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令,0,(单位频率上的频谱）,称为频谱密度函数（非周期信号的频谱）。,考虑到：T，无穷小，记为d；n（由离散量变为连续量），而,同时，,于是，,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,由傅里叶级数,也可简记为,f(t)F(j)或F(),F(j)一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j()=R()+jX(),或F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j),说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数
14、 f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,周期信号 非周期信号傅里叶级数 傅里叶变换离散谱 连续谱,负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭。因为：,能量信号的频谱密度,频谱密度的定义：,能量信号s(t)的傅里叶变换：,S(f)的逆傅里叶变换为原信号：,S(f)和Cn的主要区别：,S(f)是连续谱，Cn是离散谱；S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。,实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性：,【2-3】试求单位门函数:的频谱密度。,其傅里叶变换为,评注：矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即(1/)Hz。,解,【2-4】试求单位冲激函
15、数(函数)的频谱密度。,一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。,解,函数的定义：,函数的频谱密度：,函数的物理意义：,函数的性质,函数的性质,函数的性质,【2-5】试求无限长余弦波的频谱密度。,解,设余弦波的表示式为 s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)为,利用,则有,能量信号的能量谱密度,定义：,G(f)=|S(f)|2,用来描述信号的能量在频域上的分布情况。,设能量信号s(t)的傅里叶变换（即频谱密度）为S(f)，,能量Parseval定理,则其能量谱密度G(f)为：,【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度。,解,在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：,故其能
16、量谱密度为:,功率信号的功率谱密度,定义：,用来描述信号的功率在频域上的分布情况。,信号s(t)的功率谱密度 P(f)定义为：,功率Parseval定理（p441）,式中，ST(f)为截断信号 sT(t)的傅里叶变换。,Cn：傅里叶级数的系数 第n次谐波的振幅,第n次谐波的功率,连续的功率谱密度,【2-7】试求例【2-1】中周期性信号的功率谱密度。,解,在例【2-1】中，已经求出该信号的频谱：,可得该信号的功率谱密度:,由式,确知信号de时域性质,2.3,可由自相关函数或互相关函数来描述,物理意义：随机过程的n个样本 函数曲线的摆动中心。,是时间函数，表示随机过程所有样本函数的统计平均函数,（
17、2）.方差,均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。但无法反映随机过程内在的联系。,两个随机过程有何异同？,2.3.1 能量信号的自相关函数,定义：,性质：,自相关函数 R()和时间 t 无关，只和时间差 有关；,当=0 时，R(0)等于信号的能量：,R()是 的偶函数：,自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2 是一对傅里叶变换：,2.3.2 功率信号的自相关函数,定义：,性质：,当=0 时，R(0)等于信号的平均功率：,R()也是 的偶函数；,R()和 功率谱密度 P(f)是一对傅里叶变换：,对于周期功率信号,【2-8】试求周期性余弦信号
18、 s(t)=Acos(0t+)的自相关函数、功率谱密度和平均功率。,解,对上式作傅里叶变换，则可得此余弦信号的功率谱密度:,利用积化和差三角函数公式，上式变为:,信号的平均功率:,自相关函数：,2.3.3 能量信号的互相关函数,定义：,性质：,R12()和时间 t 无关，只和时间差 有关；,R12()和两个信号相乘的前后次序有关：,互相关函数R12()和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换：,互能量谱密度的定义:,2.3.4 功率信号的互相关函数,定义：,性质：,若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数可以写为:,R12()和时间 t 无关，只和时间差 有关；,R12()和两个信号相乘的前后次序有关：,R12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：,互功率谱定义：,
