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1、二重积分的定义和计算,知识准备,回忆定积分.,设一元函数 y=f(x)在a,b可积.则有,如图,其中xi=xi+1 xi,表示小区间xi,xi+1的长,f(i)xi表示小矩形的面积.,有一空间几何体.其底面是 xoy 面上的区域D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z=f(x,y),我们称为曲顶柱体.,我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V=底面积高，那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？,一、引例,(1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z=f(x,y),z=f(x,y),Di,Di,计算步骤,(2)由于Di很小,小曲顶柱体可
2、近似看作小平顶柱体.,(i,i)Di.,小平顶柱体的高=f(i,i).,若记 i=Di的面积.,则小平顶柱体的体积=f(i,i)i 小曲顶柱体体积,(3)因此,大曲顶柱体的体积,分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.,也就是,1.定义 设z=f(x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.,将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,n),其面积记为 i.,(i,i)Di,作积,f(i,i)i,二、二重积分的概念与性质,若对任意的分法和任意的取法,当 0时,和式,的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y),在D上可积,记为f(
3、x,y)R(D),并称此极限值 I 为,f(x,y)在D上的二重积分.记作,即,其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d称为面积元素,x,y称为积分变量.和式,注1.定积分,二重积分,区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f(x)在数轴上点 i 处的函数值 f(i)换成二元函数 f(x,y)在平面上点(i,i)处的函数值 f(i,i).,可见,二重积分是定积分的推广.,注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图),则除边界上区域外,Di都是矩形，它的面积为：,故也将二重积分写成,此时面积元素记为：d=dxdy,i=xi yi,2.
4、二重积分的几何意义：设 x,y 在 D上可积,则,(1)当z=f(x,y)0时,(2)当z=f(x,y)0时,(3),=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积),3.二重积分的性质.,设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,直角坐标系下二重积分的计算.,由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图,若点x处截面面积为A(x),则体积,三、二重积分的计算,如果积分区域D表示为：,利用直角坐标系计算二重积分,我们称为X型,（特殊情况）,积分区域D为：,X型,一般地，,-先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分,如果积分区域D为：,Y型,-先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分,若区域如图，比不是X型也不是Y型，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式得：,则必须分割.,解 1：,先画出积分区域 D，,可知D 是 Y型。,将 D 向 y 轴投影。,于是，,解 2：,D 也是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,于是，,例2 计算,其中 D 由直线,围成。,解,于是，,于是，,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,
