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1、第二节 二重积分的计算法,利用直角坐标计算(续)利用极坐标计算小结,如果积分区域为：,X型,其中函数、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，画好围成D的几条边界线，,若是X型，,就先 y 后 x;,若是Y型，就先 x 后 y.,注意内层积分限
2、是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。,一、化二重积分为二个一次积分，会确定积分限,解,积分区域如图,二、会交换积分顺序，把X型区域与Y型区域互换,解,原式,解,D,Y型,I=,若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。,三、会计算两个一次积分，从后往前积分，后一次积分作为前一次积分的被积函数。,例6 计算,解,D是X型区域,要分部积分不易计算,若将D看做Y型区域，则须分片,易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。,解,解,例10 计算,解,根据积分区域的特点,应先对 x 后对 y 积分,但由于,对 x 的积分求不
3、出，无法计算，须改变积分次序。,先 x 后 y 有,奇函数,化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来,以上各例说明,为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。,二、小结,二重积分在直角坐标下的计算公式,X型,Y型,（根据被积函数和积分区域的特点要正确选择积分次序）,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,作业:p95 1(2)(4);2(2)(4);6;15(3),二重积分的计算法（2）,一、利用极坐标系计算二重积分,极坐标系下区域的面积,1、区域特征如图，极点在区域之外,解,在直角坐标系下，无法求解,解,解,练习：,解,解,例7 计算,解,思考题,二、小结,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,思考题解答,练 习 题,练习题答案,作 业,习题9-211(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4).,
