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1、第八章 近代平差理论,前面介绍的五种平差方法，我们常称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及和矩阵理论在测量平差中的广泛应用，产生了一些新的测量平差模型，如序惯平差、自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介绍这些平差理论及其应用，部分方法只阐述其原理，详细内容将在后续课程中进一步学习。,序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行。本
2、节的理论公式推导，以分两组为例。,81 序贯平差,一、序惯平差原理,按间接平差原理可得其法方程为,按分组平差，先对第一组误差方程行第一次平差（因未顾及第二组观测值，所以第一次平差只能得到 的第一次近似值，用 表示）。函数模型可改写为,将 代入（8-1-3）式，得观测值 的第一次改正数，而。,再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数 作为虚拟观测值参与平差，其权阵为,，,解：本题，选 两点高程平差值为未知参数，并取其近似值为：,组成法方程,解得参数的第一次改正数及其权阵,求第一期观测值的第一次改正数,第一次平差可得：,（8-1-23）,（8-1-24）,（8-1-25
3、）,第二次平差的误差方程为,权阵,（8-1-26）,权阵,（8-1-27）,式中：,或,（8-1-28）,第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方程、权阵、参数的第一次平差值等见（8-1-33）、（8-1-34）、（8-1-35）式，其中 的计算见（8-1-42）式。,第一次平差的法方程为：,未知参数的权阵为,第二次平差的法方程为,即,其解为,即,8-2 秩亏自由网平差,在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节
4、将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为,在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘 和最小范数 的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。,二、附加条件法（伪观测值法）,前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘 和最小范数 的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组 的最小范数解。附加条
5、件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于 的限制条件方程的具体形式。,为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组 的最小范数解。设等价于约束条件 的限制条件方程为,（8-2-28）、（8-2-29）两式说明 是的最小范数g逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得的 一定是相容方程组 的最小范数解。,三、精度评定,（8-2-32）,四、
6、两点说明,上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。,该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵S，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵S及其标准化后G的矩阵的具体形式：水准网（设有u个点）,式中 是以中心坐标为原点的第I点的近似坐标，它们的计算如下：,试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵。,未知参数的平差值为,未知参数的协因数阵为,2附加条件法解法一中已求得法方程为 的具体形式为：,该水准网有3个待定点，
7、所以附加阵为,则有,结果与直接解法完全相同。,8-3 附加系统参数的平差,经典平差中总是假设观测值中不含系统误差，但测量实践表明，尽管在观测过程中采用各种观测措施和预处理改正，仍会含有残余的系统误差。消除或减弱这种残余系统误差可借助于平差方法，即：通过在经典平差模型中附加系统参数对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。经典的高斯马尔可夫模型为,（8-3-1）,8-4 方差分量估计,我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；
8、对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。,为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。,一、赫尔默特方差分量估计公式,为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为,式中,但只有 才认为定权合理
9、。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权P1、P2进行预平差，然后利用平差后两类观测值的、来求估计量，再根据（8-4-6）式求出，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到 为止。为此需要建立、与估计量 之间的关系式。,而,对上式应用协因数传播律得,顾及矩阵迹的性质，上式可写为,同理可得,式中,（8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。,按照上述类似的推导，则有,式中,二、计算步骤,1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值；2.进行第一次平差，求得；3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值；4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止,8-5 习 题,试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，求各点高程平差值及其协因数阵。,
