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1、第三章 量子力学中的力学量,算符,厄米算符的本征函数动量算符和角动量算符电子在库仑场中的运动基本对易关系,重点：厄米算符平均值角动量算符对易关系,第一节算符 operator,算符,算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,就是一个算符,算符的引入规则,如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出,经常遇到的力学量所对应的算符,简并degeneration,当算符的某一本征值n的本征函数不止一个，而是 f 个线性无关的函数n1、n2、nf，则称该本征值 f 度简并。,若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以
2、该波函数，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数,算符的本征值和本征函数,线性算符 linear operator,x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符 量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符 是态叠加原理的要求,设,根据态的叠加原理,也就是假设说是二度简并的,也是算符的本征态，应有,当为线性算符时,1 厄米算符 Hermitian operator,设u、v为两个任意函数，如果算符满足,则称为厄米算符,量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符,量子力学的又一基本概念,厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数 力学量
3、观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数,线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个 元素 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系,（1）厄米算符本征函数的正交归一性,(Orthonormality),（2）完备性(Completeness),设1、2、n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与n满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数,都可以按n展开，即,厄米算符的本征函数(本征态)具有正交、完备性,若在每个r处，此无穷级数都收敛到(r,t)，则称n是完备的,第二节,2力学量的平均值(Average Values),(1)力学量处于本征态时设厄米算符的本征函数分别为1、2、
4、n，所属的本征值为，1、2、n，当体系处于n时，力学量A有确定的值 n，,（2）当体系处于的非本征态 时，力学量A为何值？,在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符的非本征态时，测量力学量A所得为平均值，如果已经归一化，力学量的平均值为,如果尚未归一化，力学量的平均值为,利用归一化条件,用*左乘上式并对全空间积分,根据本征函数的完全性,力学量的平均值为：,所以为在n态中，A取n的几率,状态时，粒子的能量？,也就是说，此时粒子不处于本征态。,在此状态下，测量粒子的能量,由于波函数是归一化的,本征函数为：,解：,例：设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动，如果描述粒子状态的波函数为,3
5、轨道角动量算符的本征值和本征函数,(1)轨道角动量算符定义,若位势与坐标的方向无关，即，则称此位势为 中心力场 粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的 重要物理量 为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量,第三节,(2)本征问题,Spherical-harmonics,l 称为角量子数，表征角动量的大小,A的本征方程,本征函数,m称为磁量子数,本征值为,球谐函数，不仅应当在全空间有限，而且是一个单值函数,例如：l=2时,m可以取-2,-1,0,1,2;五个值,本征值,本征函数,B Lz的本征值和本征函数,Lz表示体系的轨道角动量在z轴方向的投影,一个本征值对应2l+1个本征函数，本征
6、值是2l+1度简并的,(3)讨论,算符的本征值是量子化的，只能取断续值除了的基态外，算符的所有本征值都是简并的，且简并度为,例题,若粒子处于状态,求：分别测量的可能取值与相应的取值概率,解：首先判断波函数是否是归一化的状态其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率,在态下，相应的取值概率公式为,4 类氢原子的波函数和能量本征值,(1)分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解,设,在球坐标下，薛定谔方程变为,第四节,（2）本征能量,能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解,电子的能量只与量子数n有关,n称为主量子数,玻尔第一轨道半径,氢原子的基态能量为若要使处于基态的氢原子
7、电离，必须外加 13.6eV的能量 随量子数n的增加，氢原子能级间隔越来越 小，当n时能级接近连续分布,（3）能级的简并度,电子的能级En只与主量子数n有关,对应一个n值，,l 可以取,0,1,2n-1,共n个,对应一个l 值，,m又可以取,0,1,2,l,共2l+1个,l、m不同，,函数,的形式不同,同一能量级对应着不同的本征函数,库仑场中运动的电子能级是简并的,简并度为,电子的能级是n2度简并的,例1对能级,简并度是9，9个不同的波函数(9个不同的本征态)有相同的能量,它们是,例2：氢原子中的电子处于,状态，求：,(1)归一化的波函数,(2)能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的
8、几率，并求平均值？,(3)角动量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？,(4)角动量的z分量有无确定值？如果有，求其本征值,利用本征函数的正交性，得到,所以,归一化的波函数为,解:(1)设归一化常数为A，利用归一化条件,(2),所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，能量的可能值为E2和E3，能量的平均值为,(3)容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态,角动量平方的可能值为,L2平均值：,是其本征函数，本征值为,(4),作业题：1 氢原子中的电子处于,求:(1)归一化的波函数；(2)能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这些值的几率(3)角动量平
9、方有无确定值？如果有求其本征值(4)角动量的z分量有无确定值？如果没有？求其可能值和取这些值的几率,2 氢原子能量简并度是多少？写出n2的所有可能的能量状态,讲义：P74 14,任选两道,量子力学中可以进一步通过代表不同力学量的算符间所满足的关系，来判断哪些力学量可以同时取确定值，哪些力学量不可以同时取确定值，引入了对易的概念,算符、不对易,如果两个算符、，先后作用到一个波函数上，作用的结果与作用的顺序无关，如,两个算符、对易可以同时测定,如果两个算符满足,两个算符反对易,1 算符的对易关系 commutation relation,（1）坐标算符和动量算符的对易关系,坐标算符,动量算符,坐标分量算符和与之对应的动量分量算符不对易；和与之不对应的动量分量算符对易,角分量算符之间不对易，角动量平方算符和角动量分量算符之间对易,(2)角动量算符之间的对易关系,5基本的对易关系,第五节,作业题：,p76第 26题,1如果定义证明：,
