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1、量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L,M,T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),量纲齐次原则,=fl2m-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t,m,l,g 之间有关系式,1,2,3 为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,对 x,y,z
2、的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2),为什么假设这种形式,设p=f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式,设 f(q1,q2,qm)=0,ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-r,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,F未定,Pi定理(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量纲,nm,q1,q2,qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=
3、LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v,船体尺寸l,浸没面积 s,海水密度,重力加速度g。,m=6,n=3,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay=0 有m-r个基本解,ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-r,F(1,2,3)=0与(g,l,v,s,f)=0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0,未定,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n;选哪些基本量纲,
4、有目的地构造 Ay=0 的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,量纲分析在物理模拟中的应用,例:航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数(f1未知，其他已知),注意：二者的相同,按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟,无量纲化,例：火箭发射,星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g,研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律,t=0 时 x=0,火箭质量m1,星球质量m2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc（特征尺度）,无量纲变量,如,令,xc,tc的不同构造,1）令,为无量纲量,3）令,2）令,1）2）3）的共同点,重要差别,考察无量纲量,在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？,1),无解,2),3),原问题,是原问题的近似解,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?,3）令,火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,
