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1、第五章 量纲分析和相似原理,51 量纲分析52 相似理论53 相似准则54 模型实验,主要内容,五,学习重点：,51 量纲分析,一、量纲的概念,1、量纲与单位,1.单位：表征各物理量的大小。,如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。质量单位千克、克等,2.量纲：表征各物理量单位的种类。,如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。,2、量纲的分类：,如：速度量纲：L T 1；流量量纲：L3 T 1。,对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。速度 dimv=LT-1；加速度 d
2、ima=LT-2力 dimF=MLT-2；动力粘度 dim=ML-1T-1综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。,alpha 角度；系数 beta 磁通系数；角度；系数 gamma 电导系数（小写）delta 变动；密度；屈光度,e epsilon 对数之基数 zeta 系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数 eta 磁滞系数；效率（小写）,theta 温度；相位角 pi 圆周直径=3.1416,rho 电阻系数（小写）,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写）phi 磁通；角 psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 omega 欧
3、姆（大写）；角速（小写）；角,补充资料,米欧 纽 克西 欧米克隆 派 柔 西格玛 陶 玉普西隆 弗爱 凯 普赛 奥米伽,A 阿尔法B 贝塔 伽玛 德尔塔 伊普西隆 泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达,补充资料,3、导出量纲公式：,dimq=M a L b Tc,4、无量纲量（纯数、无因次量）：,（1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时,则dimq=1，这个物理量即无量纲量。可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。,（2）特点：,用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物
4、理量，如相似准则数：,量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。,连续性方程,伯努利方程,动量方程,二、量纲和谐原理,凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。,2、量纲的主要特性：,1、定义,3、量纲分析的具体应用：,（1）量纲分析法,即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。,（2）应用：,1、瑞利法：2、定理（布金汉定理）,三、量纲分析法,1、瑞利法：,（1）特点：,可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；,（2）适用范围：,
5、方程中物理量较少（一般45个），各量纲间的关系较易确定。,（3）基本原理和步骤：,写成指数形式：,量纲表示式：,据量纲和谐原理,1 其指数关系式：,（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的 重度，流量Q，扬程 H。求水泵输入功率N 的表达式。,3 据量纲的和谐原理有：,M L2T-3=M L-2T-21 L3T-12 L3,故得：N=k Q H,例7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力，与物体的质量、速度 和圆周半径 有关，试用瑞利法推导离心力公式。,解 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式,根据量纲和谐性，有,2、定理（布金汉定理）,是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对
6、 较多的情况。,（1）基本原理：,设某一物理过程包含 n个物理量：f(x1，x2，xn)=0，其中有 m 个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个 无量纲项来描述。,无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3 为基本变量，则数组为：,.,这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征,（2）m 个相互独立量纲的物理量选择：,一般可选 3个（m=3），通常分别选几何学物理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一般可满足量纲相互独
7、立。,必须相互独立,表征流体物性：密度、粘度 等,表征几何特性:管径、管长 等,表征运动特性：速度、重力加速度 等,（3）确定无量纲量的方法：,1 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量；,2 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子 分母量纲相同，即可求得无量纲量。,如 m=3，,则有：,3 按量纲和谐原理求得各指数，即可得出的具体表达式。,例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速,管径D，重力g，粘度，管壁粗糙度和密度，试用定理分析确定方程的一般形式。,解：（1）找出有关物理量,（2）选基本量。在有关量中取v，
8、D，为基本变量，基本量数m=3,（3）组成项，决定各项基本指数。的个数N()=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个，因hf和L量纲都是长度。,1=/(a1Db1c1)=ML-1T-1/(LT-1a1Lb1ML-3c1),则,L:-a1-b1+3c1-1=0 T:a1-1=0 M:-c1+1=0,由此a1=1，b1=1，c1=1。类似有：,2=/(a2Db2c2)3=g/(a3Db3c3）,可得：,a2=0，b2=1，c2=0 a3=2，b3=-1，c3=0,（4）整理方程式：,即,解得：,常用沿程损失公式形式为：,称沿程阻力系数，具体由实验决定。,例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强
9、差p与下列变量有关：管径d,l,管壁粗糙度，试求p的表达式。,解：（1）找出有关物理量 F（d,l,p）=0,（2）选基本量，组成项。基本量d,n=7,m=3,数n-m=4个,（3）决定各项基本量指数,对1：,对2：,同理得：,（4）整理方程式,设,则,（2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19 世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了 不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验 根据，都可用于一定条件下流动现象的描述，这些 公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量 纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经 验的范围内解脱出来。,关于量纲分析方法的几点讨论：,（1）量纲
10、分析法的理论基础是量纲和谐原理。,（3）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观 规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方 法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启 示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程 中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依 靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。（4）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提 供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力 学理论和实验之间的桥梁。,思考题,1.量纲分析有何作用？,答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正
11、确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。,2.经验公式是否满足量纲和谐原理？,答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。,3.瑞利法和布金汉定理各适用于何种情况？,答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数45个，定理是具有普遍性的方法。,相似原理,实物,模型,相似原理,实验设备：水池、水槽、风洞。,相似理论：模型流场再现实物流场的准则指导模型实验。实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中。,52 相似理论,一、相似的概念,1、模型实验：,从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。,原型：天然水流和实际建筑物称为原型。,2、相似理
12、论：,研究原型与模型之间联系的理论，即为相似理论。是模型实验的理论基础。,3、流动相似 是几何相似概念的扩展。即要求在原、模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例关系。即流动相似扩展为下面的“相似条件”。,二、相似条件,满足力学相似，即几何相似、运动相似、动力相似、初始条件和边界条件相似。,一、几何相似,模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。,长度比尺,面积比尺,体积比尺,以角标p表示原型（prototype）,m表示模型（model）,二、运动相似,两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即,
13、速度比尺,加速度比尺,时间比尺,重力加速度比尺,三、动力相似,两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例，即,粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力,力的比尺,密度比尺,粘度比尺,四、初始条件和边界条件相似,1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。,几何相似是运动相似和动力相似的前提；,动力相似是决定流动相似的主要因素；,运动相似是几何相似和动力
14、相似的表现。,7-3 相似准则,1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。,一、牛顿相似准则,2.牛顿相似准则,惯性力比尺,力的比尺,牛顿数,牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件,二、动力相似准则,1.雷诺准则（粘性力准则）,粘性力比尺,雷诺数,雷诺准则：粘性力起主要作用。,2.佛汝德准则（重力准则）,重力比尺,佛汝德数,佛如德准则：重力起主要作用。,3.欧拉准则（压力准则）,压力比尺,欧拉数,欧拉准则：动压力起主要作用。,4.其它准则,韦伯准则（表面张力准则）,柯西准则（弹性力准则）,马赫准则（弹性力准则）,韦伯数,柯西数,马赫数,水
15、击、水流诱发振动,超音速气流,小规模流动，表面张力显著,例7-5一潜艇长为L78m，水面航速为13kn,现用1：50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。解：实验应按佛汝德准则进行。已知船模长度：实艇水面航速为：故实验时船模的拖曳速度为：,例7-6 已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度p=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度m=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差，试求100m长的输油管两端的压强差？解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则 因，上式可简化为,流量比尺，所以模型中水的流量为（2）流动的压降满足欧拉准则 因，则5m长输油管两端的压强差为（油柱）100m长的输油管两端的压强差（油柱）,
