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1、第七章 量纲分析与相似理论,7-1量纲分析 7-2相似的基本概念 7-3相似准则 7-4模型实验,7-1 量纲分析,一、量纲与单位,1.单位：表征各物理量的大小。,如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。质量单位千克、克等,2.量纲：表征各物理量单位的种类。,如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。,3.基本量纲和导出量纲,（1）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。,（2）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基本量纲的指数乘积来表示。,力,粘度,速度,4.量纲分类,（1）几何学量纲：,（2）运动学量纲：,（3）动
2、力学量纲：,（4）无量纲数：,二、量纲和谐性原理,1.量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。,连续性方程,伯诺里方程,2.在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和谐的。,动量方程,三、量纲分析法,量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。,瑞利法,若某一物理过程与 个物理量有关，即,其中一个物理量 可以表示成其它物理量的指数乘积形式,无量纲数,待定系数,例7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力，与物体的质量、速度 和圆周半径 有关，试用瑞
3、利法推导离心力公式。,解 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式,根据量纲和谐性，有,例7-2 由实验得知：恒定有压管流的临界流速 与管径、流体密度 和粘度 有关，试用瑞利法求出它们之间的关系式。,解 根据已知条件，有以下待定函数关系,根据量纲和谐性有,2.定理法,(布金汉法),若物理方程为,而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n m)个无量纲数的函数关系，即,这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征,必须相互独立,表征流体物性：密度、粘度 等,表征几何特性:管径、管长 等,表征运动特性：速度、重力加速度 等,定理法的运用步骤：,（1）找出对物理过程有影响的 个物理
4、量，写成函数形式。所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立因素,（2）选出 个相互独立的基本量，一般取 个,（4）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数、。,（3）将 个基本量依次与其余量组成 个无量纲项,（5）写出描述该物理过程的关系式,例7-3 已知圆球的绕流阻力 与流体的密度 和粘度、圆球的直径、来流的流速 相关，试用 定理推导绕流阻力公式。,解,（1）建立函数关系式,（2）选取、为三个基本量，求各 项。,根据量纲和谐性原理,同理,（3）写出无量纲方程,解,（1）取、作为三个基本量，求各 项,（2）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项结果为,（3）写出无量纲方程,
5、7-2相似的基本概念,一、几何相似,模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。,长度比尺,面积比尺,体积比尺,二、运动相似,两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即,速度比尺,加速度比尺,时间比尺,重力加速度比尺,三、动力相似,两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例，即,粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力,力的比尺,密度比尺,粘度比尺,四、初始条件和边界条件相似,1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意
6、义。3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。,几何相似是运动相似和动力相似的前提；,动力相似是决定流动相似的主要因素；,运动相似是几何相似和动力相似的表现。,7-3 相似准则,1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。,一、牛顿相似准则,2.牛顿相似准则,惯性力比尺,力的比尺,牛顿数,牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件,二、动力相似准则,1.雷诺准则（粘性力准则）,粘性力比尺,雷诺数,雷诺准则：粘性力起主要作用。,2.佛汝德准则（重力准则）,重力比尺,佛汝德数,佛如德准
7、则：重力起主要作用。,3.欧拉准则（压力准则）,压力比尺,欧拉数,欧拉准则：动压力起主要作用。,4.其它准则,韦伯准则（表面张力准则）,柯西准则（弹性力准则）,马赫准则（弹性力准则）,韦伯数,柯西数,马赫数,水击、水流诱发振动,超音速气流,小规模流动，表面张力显著,例7-5一潜艇长为L78m，水面航速为13kn,现用1：50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。解：实验应按佛汝德准则进行。已知船模长度：实艇水面航速为：故实验时船模的拖曳速度为：,例7-6 已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度p=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度m=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差，试求100m长的输油管两端的压强差？解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则 因，上式可简化为,流量比尺，所以模型中水的流量为（2）流动的压降满足欧拉准则 因，则5m长输油管两端的压强差为（油柱）100m长的输油管两端的压强差（油柱）,
