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1、1,9.8 方向导数与梯度,9.8.1 方向导数,定义9.5(方向导数),设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域,内有定义,l 是以P0(x0,y0)为起点的射线,为其方向向量.,如果极限,2,存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0),记为,如果函数 f(x,y)在区域D内任何一点(x,y)处沿方向,或,的方向导数都存在,注:方向导数是函数沿半直线方向的变化率.,则 为D内的一个函数,称为f(x,y)沿方向 的方向导函数(简称方向导数).,处沿方向 的方向导数,3,t一定为正!,是函数在某点沿任何方向的变化率.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿平行于
2、坐标轴的直线,x、y可正可负！,的变化率.,4,的方向导数存在,同理,函数,的方向导数存在,存在时,当函数,5,函数,函数,6,类似,可定义三元函数的方向导数,对于三元函数,它在空间一点,的方向导数,定义为,其中,7,定理9.12,处可微,则函数,且,其中,类似地,如果三元函数,处可微,且,其中,8,注,即为,(1),(2),计算方向导数只需知道l,的方向及函数的,偏导数.,在定点,的方向导数为,(3),(4)关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,9,解,令,故,其方向余弦为,例 设,处指向外侧的法向量,求函数,10,故,11,解,(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?,并问在怎样的方向上
3、此方向导数有,例 求函数,12,故(1),方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于 0.,和,(2),(3),13,考虑函数 定点 P0(3,1),P1(2,3).,解,求函数在 P0 沿 方向的方向导数.,练习,14,练习,求函数 在点 处沿,解,切线方向的方向向量,在此点的切线方向上,曲线,的方向导数.,15,解,此方向的方向向量为,练习,16,方向导数,最大或最小?,9.8.2 梯度的概念,问题:函数 沿什么方向的方向导数为,方向导数取最大值,方向导数取最小值,其中,而,方向一致时,方向相反时,17,定义9.6,记作,即,处的梯度,则梯度又可记为,引用记号,称为奈布拉算子,或
4、称为,向量微分算子或哈密尔顿算子,18,结论:,函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.,梯度的模为,沿着 方向,函数减少得最快.,方向：,模：,f 变化率最大的方向,f的最大变化率之值,19,在几何上,被平面,所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线,称为曲面的等高线,表示一个曲面,所截得,等高线,两端微分,得,20,法线的斜率为:,所以梯度 为等高线上点P 处的法向量.,由于等高线,上任一点,等高线,21,梯度与等高线的关系：,在同一直线上,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.,的梯度的方向与点P的等高,22,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方,梯度的概念可以推广到三元函数,则函数在该点的梯度为,设三元函数 在点P处可微分,向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.,23,解,故,可得,在 处梯度为,令,例 求函数 在点,处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?,24,解,练习,25,解 因为,正南方向,问他应当怎样往上登才能攀登得最快?,例 一个登山者在山坡上点 处,山坡,的高度z 近似为 若以x 轴正向为,在点 处,与梯度方向一致时,攀登最快.,如果以x轴正向为正南方向,则登山者应沿南偏东约 方向攀登,攀登得最快.,26,作业,习题9.8,(209页),1.(3)2.3.(3),
