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1、第十二章 能量法,12-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即U=W,12-2 杆件变形能计算,一、轴向拉伸和压缩,二、扭转,三、弯曲,纯弯曲：,横力弯曲：,四、组合变形,截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。,例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,解：,例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。,解：,例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利
2、用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。,解：,例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。,解：,12-3 单位载荷法,莫尔定理（莫尔积分）,例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB。EI=常数。,例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、。,解：,例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角
3、。已知 GIp、EI为常量,解：(1),(2),(3),12-4 图形互乘法,在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分,CL12TU20,直杆的M0(x)图必定是直线或折线。,顶点,顶点,二次抛物线,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,解：,例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。,解：,例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。,解：,例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。,解：,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,解：,例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂
4、位移。,解：,例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的X值；(2)集中力作用端转角为零时的X值。,解：(1),(2),例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。,解：,例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移 AB 和沿P力作用线方向的相对线位移 AB。,解：,例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。,解：,例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和转角A。,解：,12-5 互等定理,载荷作用点,位移发生点,功的互等定理:,位移互等定理:,例：求图示简支梁C截面的挠度。,例：
5、求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C。,例：长为 l、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知E和。,例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠度。求梁在中点集中力P作用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积。,12-6 简单静不定系统,本章应用能量法求解静不定系统。应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。求解静不定问题的关键是建立补充方程。静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力静不定系统和内力静不定系统。,一、外力静不定系统,由于外部的多余约束而构成的静不定系统,一般称为外力静不定系统。求解外力静不定系统的基
6、本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或相当系统。,例：作图示梁的弯矩图。,解：变形协调条件为,即,解得,另解：变形协调条件为,即,解得,例：作图示梁的弯矩图。,解：变形协调条件为,即,解得,例：作图示等刚度刚架的弯矩图。,解：变形协调条件为,即,解得,例：作图示等刚度刚架的弯矩图。,解：变形协调条件为,即,解得,例：作图示等刚度刚架的弯矩图。,解：变形协调条件为,即,解之得,M图,二、内力静不定系统,有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，
7、这类结构称为内力静不定系统。求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。,例：求A、B两点间的相对线位移 AB。,由对称性知:,变形协调条件:,例：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。,由对称性知：A、B截面上剪力为零,变形协调条件:,对称性的利用：,对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。,正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。,反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。,对称结构在正对称载荷作用下：,结构的内力及变形是对称的,位于对称轴上的截面C的
8、内力 QC=0,对称结构在反对称载荷作用下：,结构的内力及变形是反对称的,位于对称轴上的截面C的内力 NC=0,，MC=0,例：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态，已知q、R与EI=常数，试求A截面的剪力、弯矩和轴力。,例：平面框架受切向分布载荷q作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。,例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩图。,解：变形协调条件为,即:,解之得,12-7 力法及正则方程,在求解静不定结构时，一般先解除多余约束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条件为基本方程的方法，称为力法。,平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力、支座反力。,试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。,两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中点的挠度。,求图示刚架的支反力。,等截面梁的受力情况如图所示。试求、三处的约束力。,等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。,
