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1、高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。,定义 形如,的方程，称为二阶线性微分方程。,6 二阶常系数线性微分方程,当f(x)=0时，称为二阶齐次线性微分方程；,当f(x)0时，称为二阶非齐次线性微分方程；,设 y1=y1(x),y2=y2(x),yn=yn(x)是一组定义在区间I上的函数，如果存在n个不全为零的常数k1,k2,kn,使得xI,恒成立,k1 y1+k2y2+kn yn=0,则称y1,y2,yn,是线性相关的.否则称它们是线性无关的.,一、函数的线性无(相)关定义,例1.sin2x,cos2x,1 在R上线
2、性相关.,因 sin2x+cos2x 1=0,例2.1,x,x2,xn-1,在R上线性无关.,证:若k0,k1,kn-1,使,k0+k1x+kn-1 x n1=0,在R上成立,必有k0=k1=kn-1=0.,命题 两个非零函数 y1,y2在区间 I上线性无关,二、二阶线性微分方程及其解的结构,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,(1),(2),如果 y1,y2是齐次方程(1)的两个解,则,(i)y=y1+y2 也是(1)的解.,(ii)y=ky1也是(1)的解.,证:(i)因 Ln(y1)=0,Ln(y2)=0,所以,Ln(y
3、)=Ln(y1)+Ln(y2)=0.,即 y 是(1)的解.,同理可证(ii).,叠加原理,若 y1,y2是二阶方程(1)的两个线性无关的解,则方程(1)的通解为,y=C1 y1+C2 y2,其中C1,C2为任意常数.,同理,若 Ln(y)=0有n个线性无关的解y1,y2,yn,则通解为,y=C1 y1+C2 y2+Cn yn,定理 1,定理1指出了二阶线性齐次方程的通解的结构：通解是两个线性无关的特解的线性组合；,容易验证：,是二阶齐次线性方程,的两个特解，且线性无关；所以 的通解为：,定理 2,设 y*是方程(2)的解,y 是(1)的解,则,也是(2)的解.,y*+y,证:L(y*+y)=
4、L(y*)+L(y),=L(y*),=f(x),定理2指出了二阶非齐次线性方程的通解的结构：非齐次线性方程的通解由两部分组成:一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程自身的特解。,定理3,L(y)=f1(x)和L(y)=f2(x),的解,L(y)=f1(x)+f2(x),的解.,容易验证：设,是某二阶非齐次线性方程的解，求该方程的通解。,解,所以Y1，Y2线性无关，故通解为：,一般形式,二阶,由定理1可知，只要找出（1）的两个线性无关的特解 y1,y2,便可得方程（1）的通解 y=C1y1+C2y2,三、二阶常系数齐次线性方程解法,（1）,设想(1)有形式解 y=erx(为什么?),
5、(2),r2+pr+q=0,故有,(2)式称为(1)的特征方程,分三种情形讨论,(i)=p2 4q 0,(2)有两个不等实根 r1,r2.,(1)的通解为,代入得,(r2+pr+q)erx=0,解：特征方程是,r2 r 6=0,其根r1=3,r2=2是两个相异实根,故所求通解为,y=C1e3x+C2e2x.,(ii)=0,r1=r2(=r),一特解为,得齐次方程的通解为,例2 求解方程 4y+12y+9y=0.,解：特征方程是,4r2+12r+9=0.,此方程有二重实根,故所求通解为,(iii)0,r1,2=i 为一对共轭复根.,得(1)的两个复数形式的解,Y1=e(+i)x,Y2=e(i)x
6、,由叠加原理,知,也是(1)的解,且线性无关,故(1)的通解为,例3 求解方程 y6y+13y=0.,解：特征方程是,r2 6r+13=0.,其根 r1,2=32i为一对共轭复根,故所求通解为,特征根,方程的通解,一对共轭复根r1,2=i,两个不等的实根r1,r2,两个相等的实根r1=r2=r,(0),求二阶常系数齐次线性微分方程通解步骤：,Step1：写出方程（1）的特征方程,Step2：求出特征方程的两个根r1,r2,Step3：根据（3）的两个根的不同情况，按照下表写出方程（1）的通解：,上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性方程的情形,此时特征方程为,其特征方程的根对应微分方程的解的
7、情况如下表,特征根,对应的线性无关的特解,(1)单实根 r,r1,2=i,(2)k重实根 r,(3)一对单复根,r=i,(4)一对k重复根,(0),(0),例4 求解方程,y(4)2y+5y=0.,解：特征方程为,r42r3+5r2=0.,对应线性无关的特解为 y1=1,y2=x,y3=excos2x,y4=exsin2x,故所求通解为,其根为r1=r2=0,r3,4=12i.,解：特征方程,对应线性无关的特解为 y1=e2x,y2=ex,y3=xex,y4=x2 ex,故所求通解为,例5 求解方程,其根为r1=2,r2=r3=r4=1.,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见
8、类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,四、二阶常系数非齐次线性方程的解法,类型 I,(*),设方程(*)特解具有形式,则,代入(*)并消去 ex,(i)当 不是特征根,即2+p1+p2 0,Q(x)为 m 次多项式,(ii)当 是单实根,即2+p1+p2=0,但2+p2 0.,Q(x)是 m+1次多项式,取常数项为零.,Q(x)=x Qm(x),(iii)是重根,即2+p1+p2=0,2+p2=0.Q(x)是 m+2次多项式,取常数项和一次项系数为零,Q(x)=x2 Qm(x),总之,k 取0,1 或 2 视不是特征根,是一重根或是二重根而定,Qm(x)与 Pm(x)次数相同,为待定多
9、项式.,例6 求方程 y+9y=xe5x的特解.,解：特征方程是,r2+9=0,由于=5不是特征方程的根,Pm(x)=x,可设特解为,y*=(ax+b)e5x,代入原方程得,34ax+(10a+34b)=x.,其根为r1,2=3i.,比较等式两边同次幂的系数，得,34a=1,10a+34b=0,解得,于是求得一个特解为,例7 求方程 y 2y+y=ex(1+x)的通解.,解：特征方程是,r22r+1=0,其根为r1=r2=1，对应齐次线性方程的通解为：,因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为：,代入原方程中得,所以,从而有一特解为,故原方程的通解为,解,对应齐次方程通解,特征
10、方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,练习,类型 II,当 i 不是特征根时,k=0;,当 i 是一重特征根时,k=1;,在不加推导的情况下,给出的 y*形式,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,例8 求方程 y+y=xcos2x 的通解.,解：特征方程为,r2+1=0,其根为r1,2=i,所以对应齐次线性方程的通解为,y=C1cosx+C2sinx.,因 i=2i不是特征方程的根,P1(x)=x,Qn(x)0,故可设特解为,y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x,y*=(4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2x,y*代入原方程，得,比较两端同类项的系数，得,解之得,于是求得一个特解为,因此方程的通解为,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例9,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例10,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,
