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1、随机信号的谱分析,内容提要,随机过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度联合平稳过程的互谱密度白噪声非平稳过程的功率谱密度,1 随机过程的功率谱密度,帕塞伐公式：(能量守恒),普通时间函数 s(t)的谱分析,能谱密度,功率谱密度,截尾函数：,随机信号的谱分析,X(t)是随机过程，,功率谱密度,功率谱密度,定义 设 X(t),t 是随机过程，称为 X(t)的平均功率。称为 X(t)的功率谱密度，简称谱密度。,当 X(t)是平稳过程时，,解,例1 设有随机过程 X(t)=a cos(0t+)，其中 a,0 为常数，在下列情况下，求 X(t)的平均功率：(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；(2
2、)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。,(1)随机过程 X(t)是平稳过程，,相关函数：,平均功率：,(2),平均功率：,X(t)是非平稳过程,2 平稳过程的功率谱密度,设 X(t),t 是均方连续平稳过程，RX()为它的自相关函数，其功率谱密度 GX()具有如下性质：,(1)（维纳-辛钦定理）若，则 GX()是 RX()的傅里叶变换；,当 X(t)为实平稳过程时，GX()和 RX()均为偶函数,平稳过程功率谱密度的性质,(2)GX()是非负的实函数；(3)实平稳过程的功率谱密度是偶函数；当 GX()是 的有理函数时，其形式必为,其中，a2ni,b2mj(i=2,2n,j=2,4,2m)
3、为常数，且 G0 0,m n，分母无实根。,单边功率谱,单边功率谱实平稳过程的谱密度 SX()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。,平稳随机序列的功率谱,对于平稳随机序列X(n)，若它的自相关函数RX(m)满足其功率谱密度 GX()具有如下性质：,常见的平稳过程的自相关函数及相应的功率谱密度参见表4.1（P84）,例2,解,已知平稳过程的相关函数为，其中 a 0,0 为常数，求谱密度 GX().,解,例3 设随机序列X(n)=W(n)+W(n-1)，其中W(n)是高斯随机序列，mW=0,RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关函数和谱密度 GX().,3 联合平稳过程
4、的互谱密度,定义 设 X(t)和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数 RXY()满足，则称是 X(t)和 Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。,互谱密度的性质,(1),(3),(4)若 X(t)和 Y(t)相互正交，则,(2)ReGXY()和 ReGYX()是 的偶函数，ImGXY()和 ImGYX()是 的奇函数；,联合平稳过程的谱密度,若 X(t)和 Y(t)相互正交，则,设 X(t)和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则,例4 如图所示X(t)是平稳过程，过程Y(t)=X(t)+X(tT)也是平稳的，求Y
5、(t)的功率谱。,解,4 白噪声,定义 若实平稳过程X(t)的均值为零，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即 GX()=N0()，则称 X(t)为白噪声过程。,自相关函数：,定义2 称均值为零、自相关函数 RX()=N0()的实平稳过程为白噪声过程。,热噪声,热噪声电路中由于个各电阻内部电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。,噪声电压 NU 的均方值：,功率谱密度：,高斯白噪声,高斯白噪声平稳正态过程具有均匀的功率谱密度。,均值：mX=0,方差：DX=2 RX(0),功率谱密度：GX=N0/2,自相关函数：,n维概率密度：,对于正态变量，不相关独立,白序列,定义 若实平稳序列 X
6、(n)的均值为零，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即 GX()=N0()，则称 X(n)为白序列。,自相关函数：,白序列可以看成是由白噪声过程等间隔抽样得到的。,带限白噪声,自相关函数：,带限白噪声谱密度在一段有限频带内为常数，在频带之外为零。,功率谱密度：,随机信号的带宽,随机信号的带宽随机信号的功率谱所占据的频带宽度。,绝对带宽,3dB带宽（半功率带宽）,等效噪声带宽,5 非平稳过程的功率谱密度,广义功率谱密度,当 GX(1,2)只在 1=2 时有值，即,这时广义谱就退化为平稳情况的功率谱。,时变功率谱密度,时变功率谱密度：,非平稳过程的自相关函数：,W-V谱,维格纳威利（Wigner-Ville）谱：,对称自相关函数：,维格纳分布：,时变功率谱的时间平均（工程实际中）,
