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1、主要内容（2学时）,一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。1、离散型Y=g(X)；2、连续型Y=g(X)(重点）二、二维(X,Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y)的分布 2、Z=X+Y的分布(重点）3、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布（重点）,第九节 随机变量函数的分布,问题的提出,实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.,1、已知圆的直径 d 的分布，求园的面积S=d 2 的分布.,例如：,2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求 位移S=vt的分布.,归纳：1、随机变量X 的分布已知，Y=g(X)，求 Y 的分布？,2、设随机变量(X,Y)的联合分布已
2、知，Z=g(X,Y),如何 由(X,Y)的分布求 Z的分布？,一、一维随机变量函数Y=G(X)的分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13,X=a与Y=2a+3两事件同时发生，两者具有相同的概率.,故,1、离散型Y=g(X),再对等值合并,解：设X，U的分布函数分别为 FX(x),FU(u),2、连续型Y=g(X),设函数Y=g(X)严格单调(递增),Y=g(X)非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。,U 的概率密度,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解：设Y和X的分布函数分别为，,则 Y=X2 的概率密度为：,启示：从例3-4中看到，在求F(y
3、)=P(Yy)过程中，关键就是设法从 g(X)y 中解出X，从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式.,目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率.,求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。,例5（P63,例4）设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布。求：（1）(略).（2）Y=-2lnX的概率密度.,二、二维(X,Y)函数的分布,1、离散型Z=g(X,Y),解:将(X,Y)及各函数值列表如下：,合并后可得各变量的分布律如下：,设(X，Y)的联合概率密度为 f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.,分析:Z=X+Y的分布函数是,积分区域D=(x,y):x+y z是直线x+y=z 左
4、下方半平面,2、Z=X+Y的分布(重点）,FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),Z=X+Y的概率密度为,由对称性,特别:当X和Y独立时，设(X,Y)的边际密度为fX(x),fY(y),卷积公式,解:由卷积公式,解:由卷积公式,设X、Y是两相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布函数.,3、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布（重点）,FM(z)=P(Mz)=P(max(X,Y)z),=P(Xz,Yz),=P(Xz)P(Yz),=FX(z)FY(z),即 FM(z)=FX(z)FY(z),FN(z)=P(Nz)=
5、P(min(X,Y)z),=1-P(min(X,Y)z),=1-P(Xz,Yz),=1-P(Xz)P(Yz),即 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),特例:当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FN(z)=1-1-F(z)n,推广:设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为(i=0,1，,n)，则,FM(z)=F(z)n,解（1）串联方式：系统L的寿命 Z=min(X,Y),（2）并联方式：系统L的寿命 Z=max(X,Y),（3）备用方式：系统L的寿命 Z=X+Y,本节重点总结
6、,一、连续型随机变量函数Y=g(X)的分布二、二维连续型(X,Y)函数的分布 1、Z=X+Y的分布。2、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布。,1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率；4、边际分布律、边际概率密度；4、随机变量独立的定义与性质；5、连续型随机变量函数的分布计算 Y=g(X)、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。,本章重点总结,备选1：若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0b
7、r+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散卷积公式,r=0,1,2,解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n),记1-p=q,备选2：设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.,n=0,1,2,解二:P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1),=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1),n=0,1,2,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,当0y1时,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,而,由独立性,备选8 随机变量X和Y 独立，它们服从相同的分布N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。,
