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1、第三节 随机变量的协方差和相关系数,协方差相关系数协方差矩阵相关系数矩阵原点矩、中心矩,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,E X-EXY-EY称为随机变量X和Y的协方差,记为cov(X,Y)，即,一、协方差,cov(X,Y)=EX-EXY-EY=EXY-EXEY,1.定义,1)当(X,Y)是离散型随机变量时,2)当(X,Y)是连续型随机变量时,(6)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y),(5)cov(aX,bY)=ab
2、 cov(X,Y)a,b 是常数,(7)D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y),(4)cov(aX+b,Y)=a cov(X,Y)a,b 是常数,2.简单性质,(3)cov(X,Y)=cov(Y,X),(2)cov(X,X)=D(X),(1)cov(X,C)=0,C为常数；,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.,为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数.,在不致引起混淆时，记 为.,相关系数的性质：,证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数 b,有,0D(Y-bX)
3、=b2D(X)+D(Y)-2b cov(X,Y),D(Y-bX)=,存在常数 a,b(b0)，,使 PY=a+b X=1，,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.,3.X和Y独立时，=0，但其逆不真.,由于当X和Y独立时，cov(X,Y)=0,故,=0,例1 设XN(0,1),Y=X2,求X和Y的相关系数。,证:,4.若，则称X和Y（线性）不相关。,定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，且均不为零，则下列四个命题等价：,（1）；,（2）cov(X,Y)=0；,（3）E(XY)=EXEY；,（4）D(X Y)=DX+DY。,注：反应了X与Y的线性关系密切程度；X与Y不相关 表明两者没有线
4、性关系，但不等于说没有其他关系。,但可以证明对下述情形，独立与不相关等价,若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,独立与不相关的关系：,三、协方差矩阵,将二维随机变量（X1,X2）的四个数量指标,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,这是一个非负定对称矩阵,类似定义n 维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.,为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.,这是一个非负定对称矩阵,为(X1,X2,Xn)的相关系数矩阵。,四、相关系数矩阵,这是一个非负定对称矩阵,由于,故相关系数矩阵的主对角元素均为1.,五、原点矩和中心矩,定义 设X和Y是随机变量，若,存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩.,存在，称它为X的k阶中心矩.,注：均值 E(X)是X一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩.,注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.,称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.,六、例题讲解,1、,1、解,解,2.,
