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1、1.单个方程确定的隐函数的求导法则,定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且,则方程F(x,y)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，,10.4 隐函数求导法则,它满足条件，并有,将y=f(x)代入方程F(x,y)=0得恒等式:,F x,f(x)=0,该定理的证明略，我们仅推导隐函数求导公式：,其左端是x的复合函数，两端同时对x求全导数可得,所以,【补充】如果F(x,y)的二阶偏导数都连续，则,也存在，并且有,其中,且因为F(x,y)的二阶偏导数都连续，所以,整理可得结果,解,令,则,练习 求由方程yxey+x=0所确定的隐函数y=f
2、(x)的 导数.,它满足条件，同时还有,定理2 设函数F(x,y,z)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且,则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数z=f(x,y)，,该定理的证明略，我们仅推导隐函数求导公式：,确定一个二元隐函数z=f(x,y).将z=f(x,y)代入方程F(x,y,z)=0得恒等式：,Fx,y,f(x,y)=0,其左端是x、y的复合函数，应用复合函数求法，将上式两端分别对x和y求导，得：,解:,令,则,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,解,令,而有微分知识可知,则,即,二、多个方程的情形,例如方程xuyv0和yuxv1可
3、以确定两个二元函数,事实上，,如何根据元方程组求u,v的偏导数呢？,定理3 设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)满足:,(2)在点 的某一邻域内具有 对各个变量的连续偏导数，,则方程组,的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件,将恒等式两边分别对x求导，应用复全函数求导法则得,假设可知在点 的一个邻域内，系数行列式,从而可解出，得,同理，可得,例4,解：将所给方程的两边对x求导并移项，得,另解将两个方程的两边微分得,即,解之得,于是,例5 反函数组存在定理,解,（1）将方程组改写成下面的形式,则按假设,由隐函数存在定理3，即得到所要证的结论,（2）将方程组所确定的反函数,代入原方程，即得：,将上述恒等式两边分别对x求偏导数，得：,由于J0，故可以解得：,同理，可得：,注 从上面的解题过程我们发现，在学习本节内容时，不要求死记公式，一定要掌握本质内容，这样解题更加得心应手。,例,利用变量代换,将,方程,化为关于变量,的方,程，其中，,解,令,同理可得,将上述偏导数带入原方程，得到,
