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1、解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解，为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面
2、证明 是齐次线性方程组解空间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一
3、个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方
4、程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形,由于,令,（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解，为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,证毕.,基础解系
5、的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,证明,非齐次线性
6、方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形,由于,令,（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,
