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1、XX理工大学数值分析考试题07)一. 填空每空3分，共30分)1. 设 = 0.231是真值XT = 0.229的近似值，则X A有 位有效数字。2. 若f(x) = 6x7+ X4 + 3x +1，则f20,21,.27 = , f2o,2i,.28=。3.A=-3 1则 1罔卜；al=； |四|2=cond2(A=。4. 求方程X = f (X)根的牛顿迭代格式是。5. 设x = 10土5%，则求函数f (x) = nx的相对误差限为。2 1 0、6. A= 1 2 a，为使其可分解为LLl为下三角阵，主对角线元素0，a的取值XR a 2围应为。7. 用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(
2、1,3),C(2,2)的直线是。注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。)二. 推导与计算一对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。12分x012f (x)123f (x)3二已知x=中(x)和中(X)满足I中(X)项1。请利用中(x)构造一个收敛的简单迭代函数中(x)，使气广中(七),k = 0,1,.收敛。8分(三)利用复化梯形公式计算I =亳7妆，使其误差限为0.5 X10 -6，应将区间0, 1等 0份。8分10 a 0一四设A= b 10 b , detAA0,推导用a, b表示解方程组AX=f的Seidel(G-S)迭0 a 5代法
3、收敛的充分必要条件。10分)五确定节点与系数，建立如下GAUSS型求积公式dx 幻 A f (x ) + A f (x )10 分Jy = f (x, y)六对微分方程初值问题 y (x ) - y I 00h 3、(1) 用数值积分法推导如下数值算法：七+1 =七_ + 3( fn+1 + 4 fn + fn-1)，其中f = f (Xj, y, (i = n -1,n,n +1)。8 分(2) 试构造形如 y = a y + a y + h(b f + b f ),的线形一步显格式差分格n+10 n 1 n-10 n 1 n-1式,其中f = f (x , y ), f = f (x ,
4、y )。试确定系数a ,a ,b ,b ,使差 4Ai，。，nn n n -1n -1 n -10 1 0 1分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。14分考试时间2小时30分钟)08)一、填空每空3分，共30分)1. 若开平方查6位函数表，则当x=30时，vMT的误差限为。2. 若 f (x) = a xn +1,(a 。1),则fx ,x ,.x =。nn01n3. 若(一八X3,0 X 1S(x) = 1是3次样条函数，则(x -1)3 + a(x -1)2 + b(x -1) + c,1 x 3 12a=，b，C。(1 2、一4. A= ，则 |A| 二；|A|
5、 =； Cond (A) 二。I2 2J 1225. 考虑用复化梯形公式计算I 1 e - x2dx，要使误差小于0.5x 10-6，那么0,01应分为个子区间。6. (x) = x + a(x2 - 5)，要使迭代法x =中(x)局部收敛到x* = 富，即在邻域I x-法IV 1时，则a的取值X围是。二、计算与推导1、用追赶法解三对角方程组Ax = b，其中2-100-12-100-12-100-121 0，b=0012 分2、已知一组试验数据t12345y4.006.408.008.809.22请确定其形如y = 的拟合函数。13分 at + b3、确定系数，建立如下GAUSS型求积公式d
6、x = Af (x ) + A f (x )。13 分4、证明用Gauss-seidel迭代法求解下列方程组30-2-212llx * -X ( k ) |81x2x1- 3时，对任意的初始向量都收敛；若要求10Y-4，需要迭代几次推导时请统一取初始迭代向量X(0)二 (0 0 0)t？13 分5、试用数值积分法或Taylor展开法推导求解初值微分问题 y，= f ( x , y ), y ( x 0) = a的如下中点公式：y 2 = y + 2 hf (xy 与其局部截断误差。14分6、试推导jb jd f (x, y)dydx的复化Simpson数值求积公式。5分考试时间2个半小时)09
7、)一、填空(每空3分，共36分)、IX3 + X2,0 X 11. S ( x) = (I 2 x 3 + bx 2 + cx -1,1 X 2是以0, 1, 2为节点的三次样条函数，则b=,c=。2. 设f(x) = 4x3 + 2x-1,则差商f0,1,2,3 =, f0,1,2,3,4=。3.函数f (x) = 3x3 + 2x2 - 4x + 5在-1, 1上的最佳2次逼近多项式是，最佳2次平方逼近多项式是。亳 +1 2 一4. A =，当a满足条件时，A可作LU分解；当a满足21条件时，A可作A = L LT分解;5.-20贝MlA| = , cond (A)=。320006 .求方
8、程x = cos x根的newton迭代格式是。7.用显式Euler法求解V = -8。 y(0) = 1,要使数值计算是稳定的，应使步长0h。二、计算与推导、计算函数f (x) = sin(n3x)在x* = 0.0001附近的函数值。当n=100时，试计算在相对误差意义下f (x*)的条件数，并估计满足七(f (x*) = 0.1%时自变量的相对误差限和绝 对误差限。12分二、有复化梯形，复化simpson公式求积分1 exdx的近似值时，需要有多少个节点，才能保证近似值具有6位有效数字。12分四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法y+1+以(yn - yn 1) yn 2 = 2 (
9、3 +以)h(fn+ f+1)中的a值，使方法是四阶的。12分五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据小数点后保留5 位x.1.02.03.04.00.81.51.82.0并计算其最小二乘误差。14分-2 x - 2 x = 13六、对下列线性方程组一2气+10x2 -x3 = 0.5， 构造一定常迭代数值求解公式，并证-x - 2x + 3x = 1123明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为X *，若取初始迭代向量X(0) = (000)t , 要使|x* - X(K)| 10-3，请估计需要多少次迭代计算。14分考试时间2个半小时10)一、填空每空2分，共
10、24分)1. 近似数490.00的有效数字有位，其相对误差限为。2. 设f(x) = 4x7+ x4 + 3x +1,则f20,21,.27 = , f2o,2i,28=。3. 设f (x) = 2x4,x g 1,1, f (x)的三次最佳一致逼近多项式为。121.4. A = 3 4J，|可广，眺=，|处=。2 1 05. A = 1 2 1 ,其条件数Cond(A)2 =。0 1 2 J22 1 0一6. A = 1 2 。，为使分解A = L LT成立L是对角线元素为正的下三角阵，a的取0 a 2值X围应是。7. 给定方程组七ax2 = 5 , a为实数。当a满足且0YY 2时，SOR
11、迭代法收敛。ax +x =b8. 对于初值问题y =100(y x2) + 2x,y(0) = 1，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h的X围是。二、推导计算1.应用下列数据表建立不超过3次的插值多项式并给出误差估计式x012f (x)129f/(x)315 分2.用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据x1. 02. 03. 04. 0y0. 81. 51. 82. 0小数点后至少保留5位。15分3.确定高斯型求积公式 g (0,1)j1 寸xf (x)dx 就 A f (x ) + A f (x ), x000110的节点x ,x与积分系数A , A。15分） 0
12、 101书内三、证明aa。证明当-：Y aY 1时高斯-塞德尔法收敛，1 a1.在线性万程组AX = b中，A = a 1a a而雅可比法只在Y a Y 5时才收敛。10分）*、八 22.给定初值X0丰0,-以与迭代公式x = x （2 一 ax ）,（k = 0,1,2., a 丰 0）证明该迭代公式是二阶收敛的。7分）3.试证明线性二步法一一 h 一一y + (b -1)y - by = - (b + 3)f + (3b + 1)f n+2n+1n 4n+2n当b。-1时，方法是二阶，当b = -1时，方法是三阶的。14分)12)一、填空题每空2分，共40分)1.设x* = 0.231是真
13、值x = 0.228的近似值，则尤*有.位有效数字，x*的相对3.4.5.6.误差限为。过点(-1,0),(2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2=，并计算L2(0)=。设 f (x) = 3 x3 + 2 x2 4 x + 5 在 -1,1 上的最佳二次逼近多项式为，最佳二次平方逼近多项式为。高斯求积公式J I xf (x)dx = A f (x ) + Af (x )的系数A = 00011八方程组Ax = b , A = D - L - U,建立迭代公式x(5和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，BJacobi0，A1 =，节点 x0 =，x1=Bx(k)+ f，写出雅可比迭代法BG
14、aussSeidel7.1成01201001一，其条件数Cn (a)28.，计算矩阵A的X数，11 A 11广II A II =29.求方程x = f (x)根的牛顿迭代格式是12253110.对矩阵A =3 2作LU分解，其L=5JJ，U=二、计算题每题10分，共50分)1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足：p(0) = 0, p (0) = 0, p=1, p(1) = 1, p=1,并写出其余项表达式要求有推导过程。2. 若用复合梯形公式计算积分J1 exdx，问区间0, 1应分成多少等分才能使截断误差不 0_1 m 、一超过X10 -5 ?若改用复合辛普森公式，要达到同样
15、的精度区间0, 1应该分成多少等份?由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。x00.250.50.751ex11.281.642.112.7113.线性万程组Ax = b，其中A = 0.40.40.4 0.410.8 , b = 1,2,3t ,1建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。2问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗0.81，4，用最小二乘法求形如y =。+气x的经验公4.已知如下实验数据（x.,七）,i = 0,1, 式，并计算最小二乘法的误差。x12345yi44.5688.55.用改进的欧拉公式（预估-校正方法），解初值问题 华=X2 +100y2,y（0
16、） = 0，取步长 dxh = 0.1,计算到x = 0.2保留到小数点后四位。三、证明题共10分）1.如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成A = LLT，其中L是具有正对角元的下三角阵。考试时间2个半小时）07答案填空1. 22. 6； 03. 4； 4；_ X -f (% )4. X X nn+1 n l-/f(X ) n5. 0.005/6. 3 。 131 37. y = -x+-2 2一、推导与计算(一)方法 1 先确定 2 次插值N(x) = /(0) + /0,l(x-0) + /0,1,2(x-0)(x-1)再设该 Hermit 插值为 H (x) = N(x) + k(x
17、0)(% 1)3 3) 3将导数要求代入即可确定k值略得:H (x) = -2x3 + 6x2 -3x + l 3方法 2 直接设 H (x) = ax +bx2+cx + d3r将插值要求代入得方程组，略)解得各待定系数得 H (x) = -2x3 + 6x2 -3x + l 3推导余项：根据条件要求设余项RM = f(x)-H (x) = (x)x(x-1)2(x-2)构造关于t的辅助函数 3(t) = H 一K(f 1)2(2)3其是充分光滑的，且满足(p(0)=(p(l)=(p(2)=cp(x) = 0,(p(l)=0故有4个零点反复运用Roll定理，有(p(4)&) = f(4)(g
18、)_K3)4! &u(0, 2)5尤)=宅 4!故夫=史也尤(尤_1)2(尤_2),& U (0,2)且依赖于尤和节点0,1,2 4!由x =中(x)可得入 一 3x =中(x) 一 3x二1-艮队=一一(中(x) 一 3 x)2故设中(x)=-；(甲(x) - 3 x)因 |P(x)| = 11 甲，(x) - 3|y；y1 22-故迭代格式xn,广中(xn )是收敛的三令f = 一顼h2f 7n) 1X10-6,其中。=1一0n122n解得hY 1.736x 10-3.-略将h =代入取整即得n = 578 n八a0- 0107abb四G-S迭代阵B =b 一一G100100 a2b ab
19、L0 - 500 50 J故需将区间578等分。3ab|迭代收敛的充要条件是需P( Bg)=品令det(人/一B )=人2(人一G3ab100 I 100 解出既|ab| 五方法1设s (x) = (x-x0)(x-x1)为0,1上带权=的正交多项式则有=0=0xx - 1( x + x )=-0130 11 xx - 1(x+ x ) 3 0 1 5 01解出 = 1(3 - 2 应),= 1(3 + 2 应)又该公式应对f (x) = 1, x准确成立，代入有2 o+ A124解之得-=A x +Ax30 01 1故可构造出Gauss积分公式为。方法2直接用代数精度验证法列方程组求解方程组
20、 每个待定系数 积分公式六1将y = f (x,y)两边同时在区间x 1,x+1上积分得y (x ) - y (x )=】f (x, y )dx n+1n-1f-与+1 f (x, y)dx 就略七-1右边用积分的Simpson公式展开得将y(x)用相应数值值y代替ii既推出公式y顼n+1h=yn-1 + 3( fn+1 + 4 fn + fn-1) 方法1因前提是y = y(xn), y 1 = y(xn 1) 故利用Tarlor公式y (xn+1h 2)=y(x) + y (x)h + y (x/万(x Y & Y x 1)y = a y(x ) + ay(x) + h(b f (x ,y
21、(x ) + bf (x,y(x)n+10 n 1n-10 n n 1 n-1n-1=(a + a ) y (x ) + (-a + b + b )hy，(x ) + (氏-b )h2 y(x ) + (-a + 3b ) y(x )01 n1 0 1 n 21n11 3!nah4bh4 / 、+7 y(G)-玄 y(n)4*3*考察局部截断误差R= y(x ) y ，使n+1n+1n+1r =雄 y(4)(&)+槊 y)蚪 y”(m=(加)可得n+14!4!3!a + a = 1a + b + b =11 01 a711 b=2 12、a1 + 34 = 1解、得a。= 4, a1 = 5,
22、 b= 4, % = 2。故所给格式为伟y =4y + 5y+ h(4f + 2f )n+1nn1nn1其局部截断误差的主项为h4 y(4)(&) +率y(G)半y(q),其是3阶方法。 4!4!3 !方法2直接套课本中公式，但此时a = a , a = a ,。= b ,。= b。= 0而上=2 01100110, 2令c = q = C= C = 0列方程组可解出各系数。其局部截断误差的主项为C h4y(4) (x )h4y(x )，其是3阶方法。4n3!n09）、填空（每空3分，共36分）1.b=-2, c= 3。2. f0,1,2,3 = 4, f0,1,2,3,4 =0 .3. P
23、(X) = X 2 十 x + 5 , P (x) = 2 x 2 M x + 94. a 丰15. A2, cond (A) =1X 一 cos X1 + sin xk7. 0h。40、解 Cond(f (x*)上(f (X*) r (X *)xf /(x)f ( x)n3 xtan(n3 x)取n=100,则Cond (f ( x *)=10 6 Xtan(100)总 170.3由要求知要求e (f (x)0./100 时则自变量的相对误差限(x*) = r (f (x*)/ Cond r (f (x*) 0.578 x 10 -5绝对误差限 (X*) = (X*) X* w 0.578
24、x 10 -9三.解 f (x) = ex, a = 0, b用复化梯形时即要求IR (f )| =h 212f /(& ) / X 10 -4由此解得应214 个节点八、用复化 Simpson 时，即要求b 一 a1804f (4)由此解得应取9个节点。四.该题是课本-清华第4版372页的例题正确展开1正确合并同阶项为3项。求出a = 9,七“ =O (h 5)五.解 按题意，所求拟合函数应形如P ( x ) = ax + bx 2其最小二乘拟合误差平方和为5 2 = Z3 (ax i + bx 2 - y )2为使其达到最小，应令a (5 2)8 aa (5 2)a bi = 0130a
25、+ 100b = 17.2代入数据后得出oca + 354b = 55。解出a，b，即得所求拟合函数为 P(x) = 0.94968x-0.112903x2。最小二乘拟合误差 5 2 = 0.00523 或5 2 = 0.0046。六.10)一、填空(每空2分)(1)50.0050.0000102; (2)4 0;(3) 2x2 -4(4)67 15 + 55 ；(5) 3 + X2 ;(6) a g (*3, 3) ； (7) |a|Y 1 ；(8) 0YhY0.02二、推导计算1. 解：(待定参数法)：根据节点条件与多项式性质，设所求函数为H (x) = f (0) + f 0,1(x 0
26、) + f 0,1,2(x 0)( x 1) + A( x 0)( x-1)(x 2)代入导数条件，求出A=1H(x) = x3 +1 设余项为 R(x) = f (x) H(x) = K(x)x(x 1)2(x 2)当 x g 1,2且不同 于0,1,2时,构造关于变量t的函数g (t) = f (t) H (t) K (x)t (t 1)2(t 2)-此函数是充分光滑的，且有零点:0,1,2,x(1 是 2重零点)-在4个零点的3个区间上反复运用Rolle定理，可知至少有一倚赖于0, 1, 2, x的点E ,使g(4) (&) = f (4) (&) 4!K(x) = 0 n K(x) =
27、 于是R(x) = f (x) H(x) = f 二(。x(x 1)2(x 2),& g (0,2)I 本题H(x)的推出也可以用1重节点的差商表方法；2直接设为3次多项式一般式，代 入条件建立方程组求出。2. 解：由过原点条件，可知拟合函数形如：y (x) = ax + bx 2故需按最小二乘法定义来推导。32设最小二乘拟合误差为5 2 =X y(x ) y 要使其为极小，必需符合i ii=0混2八57、八=2 乙(ax + bx 2 - y ) x = 0i=0筋2皮=2 (ax + bx 2 - y ) x 2 = 0dbi一 30100 一a 117.2一_100354_ b _=_
28、55 _可得法方程i i i-解之得 a=0.94968,b=-0.112903y 3) = 0.94968x - 0.112903启顼28 2 =E y(x.)-y = 0.005226或0.0046i=03.解：设(x) = (x-%)3-七)为区间0，1上带权云的正交多项式于是应有=0510积分展开并令x + x = v,xx = u解相应方程组得u =-,V =- 0101219由韦达定理，知x, x1口、E C 105，是方程x2 = 0的根。921于是可求出x = 0.821162x0 = 0.289949再由此积分公式对f (x) = 1, f (x) = x精确成立得A0 =
29、I；：11：本题也可利用Gauss代数精度 A = 0.277556v 13 = f fxdx = A + A=f：:xdx = A x + Ax500011要求展开，直接解一个4元非线性方程组。三、证明1.证、A是一对称阵我们令其顺序主子式=1 - a 2A0 ， A = det A = 1 + 2 a 3 - 3a 2 a 0 联立解之得：y a y 1此条件下，A对称正定，G-S法收敛。对Jacbi法，求出其迭代阵为0aaa0aaa0J =令 det(人I - J)=(人一a)2(人 + 2a) = 0于是可知，当P (J) = |2。| Y 1,即gY Q Y 5时，雅可比法才收敛。2
30、.a 即f (x) = a 一1，其牛顿迭代格式为气 广(2 - axk)，( k = 0,1,2., a主0)(b)显然，迭代函数为中(x) = x(2 ax).抑(J_) =1- . J_即是中(x)的不动点。a a a容易求出：中/(上)=0, P(- )=-2a壬0 所以该迭代公式是二阶收敛的 aa3.证此方法的局部截断误差一 一 h ,一-T 2 = y(x + 2h) + (b 1)y(x + h) by(x ) - (b + 3)y/(x + 2h) + (3b +1)y/(x )将其各项函数在x处泰勒展开并合并同类项得一 1 ,.37 T =- (b + 1)h 3 y / (
31、x ) ( 一 b) h 4 y (x ) + O (h 5)-于是，当 b。一 1 时+238 24T = 1(b + 1)h3 y/(x ) + O (h4)，方法是 2 阶的； 当 b = 1 时n+2337T+2 = ( b)h4y(x) + O(h5)，方法是 3 阶的。12)一填空题(每空2分，共40分)1. 20.025 或 0.02162. 3033. k (x +1)(x 一 2)，3271194. x2 x + 5 2x2 x + -4 555. 0.280.390.290.826.7.8.H=D-1(L + U), $ = (D L)-1U19 + 七 29 +16%：
32、3I A |1 = 3_，II A II尸 229. x =气一寸(气).k+1k 1 - f(x )kf 1 0 0、f 1 23 )10. L =2 1 0,U =0 1 - 43 5 1 LJ、0 0 - 24/二、计算题每空10分，共50分)1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:P(0)=0, P(0)=0, P(1) =1, P(1) =1, P(2) =1,并写出其余项表达式。解：由题意P(x) = X2(ax2 + b x + c),由插值条件得方程组a + b + c = 14a + 3b + +2c = 14(4a + 2b + c) = 1求解，得 a =1/
33、4, b= - 3/2 , c =9/4。所以139P(x) = x2(4x2 -2x + )插值余项为 R( x) = 1 f (&) x 2(x -1)2( x - 2)2.若用复合梯形公式计算积分1 exdx，问区间0, 1应分成多少等分才能使截断误差不 0超过1 X 10-5 ?若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间0, 1应该分成多少等分？ 由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。x00.250.50.751ex11.281.642.112.71解：由于f (x) = ex，则f ”=f=ex在区间0,1上为单调增函数，b-a=1,设区间分成n等分，则h=1/n.,故对复合梯形公式
34、，要求R (f) =1 - ba h2 f (n )l (!)2 e 212.85，因此n=213,即将区间0,1 分成213等分时，用复合梯形 61计算，截断误差不超过g X 10-5。若用复合辛普森公式，则要求R (f) =l -ba f 纠2 f 4() (n )l 1(k e x 104 , n 3.7066，因此n=4,即将区间0,1分成8等分时，用复合梯形计算，1441小截断误差不超过X 10-5。S4(h) = 尸f (气)+ 4f 3+ f (气？=6k +*k=0205(f 3 ) + 4f (X ) + f (X ) + f (X ) + 4f (X ) + f (X )
35、= 1.71256012210.40.4b = 1,2,3t，1建立 Jacobi 迭代3.线性方程组Ax = b，其中A = 0.410.80.4 0.81法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。2问Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收 敛吗？解：(1) Jacobi迭代法的分量形式x (k+1) = (1 -0.4x (k) -0.4x (k) X (k+1) = (2-0.4X (k) -0.8X (k),k = 0,1,2,，X(0)为任意初始值。213X (k+1) = (3-0.4X (k) -0.8X (k)I 312Gauss-Seidel迭代法的分量
36、形式x (k+1) = (1 -0.4x (k) -0.4x (k) 1，故 Jacobi 迭代法不收敛。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵(0-0.4-0.4 )B= (D - L) -1U =00.16-0.64G - S 00.0320.672 /P (Bg-s ) = 0.8 1，故G-S迭代法收敛。4.已知实验数据3 , y ）, k = 1,2, ,5 ,如下表，用最小二乘法求形如y = a + a x的经验 k k01公式，并计算均方误差。x12345yi44.5688.5解：令 S （x） = a + a x中 0 = 1, 甲 i = x,故（甲 0,甲 0） = lL
37、l = 5i=0（甲,甲）=L x = 15i=0（甲,平）=Il x = i5i=0（也,） = Li=0x 2 = 55iS, f） = L 0i=0（中 1, f） = L xf = 105.5 i=0由法方程得线性方程组| 5a + 15a = 31 15a0 + 55a1 = 105.5解得 a = 2.45, a = 1.25于是所求拟合曲线为S1（x） = 3.7143 +1.2429x2-X数的误差1II 5 | =2疽(S (X ) - y )2 =、0.675 = 0.8216V 1 i i1 i=05.用改进的欧拉公式预估-校正方法解初值问题芈=X2 +100y2, y(
38、0) = 0 , h为步长，1取步长h = 0.1,计算到X = 0.2保 dx留到小数点后四位。1由改进的欧拉公式解：y = y + hf (x , y )hy = y + f (x , y ) + f (x, y )n+1n 2 n nn+1n+1因为 h = 0.1, y = 0，f (x, y) = x2 +100y2所以 x = 0, x = 0.1, x = 0.2y = y + hf (x , y ) = 0， 1000h一、y = y + f (x , y ) + f (x , y ) =0.00051 0 20 01 1y = y + hf (x , y ) = 0.0015
39、2 111h一、y I = y + f (x , y ) + f (x , y ) =0.00302 x=0.2121 12 2三、证明题共10分)1、证明：如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成A = LLT，其中L是具有正对角元 的下三角阵。法一：因为A对称正定，A的所有顺序主子式不为零。A有唯一的Doolittle分解A = LU其中乙,u11u22a -2u111a-3 .u11 a -3u22a 1nu11 a du22=DU0Unn JkD为对角阵，U 0为单位上三角矩阵。又因为A是对角正定矩阵LDU = A = At = UtDLt00由分解的唯一性L = Ut，代入分解式子 0A = LDLT又A对称正定知道ii Di-i(U11u22v所以Unnu-ii JuV 22腴)nn /
