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1、易错点06平面向量-备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】(2020年普通高等学校招生全国统一考试数学)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内 的一点，则APAB的取值范用是()B. (-6,2)A. (-2,6)C. (-2,4)D. (-4,6)【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(-1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果【详解】AB的模为2,根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值0范围是(T,3)结合向量数量积的定义式，可知AP - AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所
2、以AP - AB的取值范围是(-2,6)故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点 有向量数量积的定义式，属于简单题目.【易错警示】易错点1.遗漏零向量【例1】 已知a = (3,2-m)与b = (m, -m)平行，则m值的个数是.m 2 m【错解】由a/b得二，即m2 5m = 0 ,解之得m1 = 5,m2 = 0 (舍)，.m的 值只有一个.【错因】零向量与任一向量平行，当m=0时，为零向量，也与平行.【正解】由a/b得3(m) = m(2 m)，解得m1= 5,m2 = 0，m的值应有两个.易错点2.弄错两个向的夹角【例2】在AABC中，
3、a = 5, b = 8, C = 600，则BC - CA的值为()A 20 B -20 C 20* D 20 *【错解】因为 = 60。，则 BC - CA = |BC|CA|cos = 5x 8x - =20,2故选A.【错因】弄错向量B与CA的夹角.【正解】由题意= 1200 I _ . I-*： _ _ 1故BC-CA = BC-CA-cos =5x8x -20,选 B.2易错点3 .混淆向量与向量的模致误【例3】 两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向 量分别为a和b，那么下列命题中错误的是()A. a与b为平行向量 B. a与b为模相等的向量C.
4、a与b为共线向量D. a与b为相等向量【错解】由向量的基本概念知a与b方向相反，.a与b是平行向量，即共线向量.又.两 列火车所行路程相同，.a与b的模相等.a与b是模相等且方向相反的向量，即A错.【错因】路程相同对应向量的模相等.【正解】由向量的基本概念知a与b方向相反，.a与b是平行向量，即共线向量.又两 列火车所行路程相同，a与b的模相等.a与b是模相等且方向相反的向量，即D错.易错点4 .认为a与b的夹角为钝角(锐角)o a.b 0)致错【例4】设平面向量a =(-2,1)，b = ,1)，若a与b的夹角为钝角，则人的取值范围是 ()A. (K,2) (2,+8)B. (2, +8)C
5、. (K, + 8)D. (8,式)2221【错解】由与的夹角为钝角，所以a - b 0，即一2入一1 0，解得人一，故选C.【错因】忽视使用a-b 0时，其中包含了两向量反向的情况.【正解】由与的夹角为钝角，所以a - b 0，即一2人一1 )。0 ,则 a/bxy -x y =0 ” 错记成11221 22 1a a llb xy -x y = 01 12 2【正解】.(。+方)二(1,初一 1),又(a + b)/c , . 1x2 (m 1)x(1) = 0 ,得m = l.易错点6 :不谶向与三角函数进行联系【例6】若平面向量a,/?满足a=lf p 1,且以向量a,0为邻边的平行四
6、边形的面积为则a与/?的夹角。的取值范围是一【错解】以a/为邻边的平行四边形的面积为：5=lall/?lsin0 =|/?lsin6=-,所以2sin0 = - , 0 g0,ti).2p【错因】忽视三角函数有界性应用致误【正解】 以a,以为邻边的平行四边形的面积为:S=lallAlsin6=IAIsin6=!,所以sinO ，又因为顷1 1,所以 L,即 sin。且 6 e0,7i，所以 9 g -,-7i.2 fi2 p 226 6 易错点7 :忽视向量的方向致误【例7】已知点0, A, B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且20尸= 2OA + B4, 则()(A)点P在线段AB上(
7、B)点P在线段AB的反向延长线上 (C)点P在线段AB的延长线上(D)点P不在直线AB上【错解】因为20尸= 20A + &L,所以2AP = BA ,所以点P在线段AB上，故选A.【错因】2AP = BA表示P点在AB的延长线上，而不是在AB上.【正解】因为2OP = 2OA + BA，所以2AP = BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.【变式练习】一 一1. 已知 AABC中，AB-BC 0，则 AABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定【答案】C【解析】AB-BC = |AB|-|BC|-cos（丸/ABC） 0，所以cosZABC0，故选 C.2.
8、 若向量a = G,2x），b =（ 3x,2），a与b夹角为钝角，则的取值范围是.【答案】 114（-8,-） U （乎0）顷宇+8） FP- F【解析】因a与b的夹角为钝角，a - b = 3x2 + 4 x 0解得x （1）1又由a与b共线且反向可得x丰（2）1、14、由（1）,（2）得的范围是（8,一 ） U （一 ,0） U （，+8）x y3. 设向量 a = （x ,y ）， b = （x ,y ），则 = 1 是 a b 的（）条件.1 12 2x2 y2A.充要B.必要不充分 充分不必要 D.既不充分也不必要【答案】C x y【解析】若=岩 则x y x y = 0, a /
9、 b，若a / b，有可能x或y为0，故选C.x y 122 1224.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则BF =()A. 3 AB +1 ADB -1AB + - AD C - AB + ADD 3 AB + - AD4442244 【答案】B解析 -BF = BC + CF = BC +1 CE = BC + - BE - BC )=1BC +1 BE = 1BC +1BA 222224=1AD -1AB24故选：B5.已知向量Q (-2,0), a -b = (-3,-1)，则下列结论正确的是()A. a -b = 2B. a /bC. |a |=|bD.
10、b 1 (a + b)【答案】D【解析】-一- 因为a = (-2,0), a b = (-3,-1)，所以(-2,0) b = (-3,-1)，即 b = (1,1)，则 a -b =-2, a |= 2,|b卜 J2，即 a -b = 2,a /b, a |=|b|都不正确，即答案 A，B，C 都不 正确.而a + b =7-1,1)，则b - (a + b) = 0，应选答案D.6在边长为3的等边ABC中点E满足AE = 2EC，则BE - BA =()A. 915& 2C. 6D.27T【答案】C 【解析】由AE = 2 EC得 BE - BA = 2( BC - BE)12 即 BE
11、 = BA + _ BC 33则 BE - BA = - BA2 + - BA - BC =1 x 3 x 3 + - x 3 x 3 x cos60。= 63333故选：C.7 .已知a与b的夹角为120, a=3, a+。|=应，则bi =（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】由a + b =而，两边平方可得a2 + 2ab + b2 = 13 ,又因为a与b的夹角为120，所以2a -b = 2 a b cos120 =-3 b , O0所以 a2 + 2ab + b2 = 9-3 b + b2 = 13，解得 b = 4.故选：D8.已知向量a =（龙J2）, b =
12、 （cosa,sin a），则a b的最大值为（）A. 1B. 5C. 3D. 9所以当sin a = 1时，a - b取得最大值3 .V 4 79 .已知向量a = （-1,1），b =（1和）， 若向量-a与b - a的夹角为彳，则实数m =（）A.3B. 1C. -1 一D. f 3【答案】B【解析】由题意得：-a = （1，-1），b -a =（2,m-1）/. |-a =42，b - a = J4 + （m -1）271COS =4-J2-m + lq * b cl=二亍解得：” =1很 xj4 + (农-1)22本题正确选项于B 一 -10.设向量。，b= 牛，若。与人的夹角为锐角
13、，则实数x的取值范围是(_5 4、4),+001 3 1515 JC.UD.(400,I 15J仕+00)15 J【答案】【解析】因为与Z?的夹角为锐角,所以 a-b 0,即 3x + 50,同向时,=人r 2) 2) 3?,所以设。无（人0）,则.415 2X ,解得x = w，从而,1554X x。315*故选：C11. AA8C中，AB = 5,AC = 7 , AABC的外接圆圆心为。,对于AO BC的值，下列选项正确的是（A. 12B.10C. 8【答案】A【解析】如图,ED取AB中点D, AC中点丘，连接OD , OE,则:OD1 AB , OE1 AC AO - BC = AO
14、AC - AB )=AO - AC - AO - AB=AO AC cos ZOAE - AO AB cos ZOADAE - AC - AD - AB = 49 -癸=1222故选:A 12.如图，半径为侦3的扇形AOB的圆心角为120，点C在AB上,且ZCOB = 30 ,若OC = XOA + 口OB，则人+ 日=()A.B.豆3【答案】AoC = xoa+日OB , .-+hG,0 ),D. 2*3=-X + 3 日22331=X笠32/3丁22 13 .在 AABC 中，已知 AB - AC = 9，sin B = cos A - sin C，SABC = 6 , p 为线段 AB上
15、的一点，且CP =x -吕+-黑，则-+-的最小值为()CA _,CBx yA 7 + 2 由厂 7 + 3 房C 7 + 2必 D 7 + M.12 一 二 12 一.12.12【答案】D【解析】 ABC中设AB = c，BC = a，AC = bsinB = cosA sinC，sin( A + C) = sin C cos A即 sin A cos C + sin C cos A = sin C cos A sin A cos C = 0sin A。0，.cos C = 0，C = 90。AB AC = 9，S abc= 6 bc cos A = 9， bc sin A = 6，2 ,4
16、43二tan A = ，根据直角三角形可得sin A =三，cosA = m，bc = 15 c = 5， b = 3， a = 4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为 轴建立直角坐标系可得C(0,0)A(3,0)，B(0,4)，P 为直线 AB 上的一点， 则存在实数X 使得CP = XCA+(1X)CB = (3X,4 4X)(0X I CB I 一 一 x = 3 人，y = 4 - 4 人贝 ij 4 x + 3 y = 12,一 3 y4x二+二(4 x+3 y)= -2 7+=+7+4 寸 3127 + 4招故所求的最小值为12【真题演练】1【2020年高考全国III卷理数】
17、6.已知向量a,b 满足 I a I= 5 , I b I= 6 , a b = -6,贝U cos a,a + b =3119B .351719C. 35【答案】D【解析】b = 6 a b = -62 + a b = 52 - 6 = 19.=侦25-2 x 6 + 36 = 7+ b)=a2 + 2a b + b2-J)因此，cos v a,a + b =a M + b1919 a a + b 5x7 35 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题2【2020年新高考全国I卷】已知P是边长为2的正六边形
18、ABCDEF内的一点，则AP AB的取值范围是A . (-2,6)B . (-6,2)C. (2,4)D . (4,6)【答案】A【解析】如图,AB的模为2,根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)结合向量数量积的定义式，可知AP AB等于AB 模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB的取值范围的(-2,6)故选：A.一【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识 点有向量数量积的定义式，属于简单题目.3【2020年高考全国I卷理数】设a,b为单位向量，且I a + b 1= 1,则I a b 1=【答案1拓【解析】因为a
19、, b为单位向量，所以IaI =IbI =1所以 Ia + 初=；(a + b )2 = (IaI2 + 2a b+IbI2 = V2 + 2a b = 1解得：2a b = 1所以 Ia bI =、j(a b)2 =侦 IaI2 2a b+IbI2 = ; 3故答案为：；3.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题4【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量才，疗的夹角为45, k口 与a垂直，则aa 技【解析】由题意可得.ab = lx lx cos 45 =2由向量垂直的充分必要条件可得：ka-b7云=0,_2八即：k x a 一 a b = k言=0，解得：k=
20、-故答案为：W2 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD中，ZB = 60。, AB = 3 , BC = 6，且3AD = XBC，AD AB =-，则实数人的值为，若M, N是线段BC上的动点，且IMN1=1，则DM DN的最小值为【答案】(1). 1 ； (2).6【解析】 AD =人BC，AD/BC，:.ABAD = 180 -ZB = 120AB AD =人BC AB = X |bc| |ab|cos120o. T 1A .3=X x 6 x 3 x =
21、9X =J L一 2 一解得X= 16以点B为坐标原点，BC所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系xByBC = 6,.C(6,0), AB = 3, BC = 60。，.a 的坐标为 A11，3232件2 )DM =.又AD=*，则 D12 件，设 m a。)，则 n g+i,o)(其中5 丫 3)x x 士33k 2人 2)2DM - DN =/2113=x 2 一 4 x + =x 一 2)2 + 2213 所以，当x = 2时，DM DN取得最小值5. 113故答案为：；. 62【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力，属于中等题.6【
22、2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP = 1(AB + AC)，则I PD 1=；PB - PD =【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平 面直角坐标系，则点A（0,0）、B（2,0）、C（2,2）、D（0,2）AP = -(AB + AC )= 1(2,0 )+ -(2,2 ) 二(2,1)222则点P（2,1）,PD = （2,1）, PB =（0,-1）因此，p =（-2 +12 =必,PB-PD = 0x（-2）+ 1x（-1） = -1.故答案为：;二1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的 坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.7【2020年高考浙江】已知平面单位向量e，满足I2e -e IV、2设=e + e，b = 3e + e，12121212向量a，b的夹角为9，则cos20的最小值是一【答案】2829【解析】12匕一匕 IV J2，二 4 - 4e1 - e2 +1 2 18故答案为：0或云.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答 本题的关键是设出PA = XPD Q0 ).
