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1、3.6检测系统的静态特性,人们在设计或选用检测系统时，最主要的因素是检测系统本身的基本特性能否实现及时、真实地（达到所需的精度要求）反映被测参量（在其变化范围内）的变化。,3.6.1 概述,检测系统的基本特性一般分为两类：静态特性和动态特性。研究和分析检测系统的基本特性，主要有以下三个方面的用途。第一，也是最主要的用途，是通过检测系统已知基本特性由测量结果推知被测参量准确值；,第二，用于对多环节构成的较复杂检测系统进行测量结果及（综合）不确定度分析，即根据该检测系统各组成环节已知的基本特性，依已知输入信号的流向，逐级推断和分析各环节输出信号及其不确定度。第三，根据测量得到的（输出）结果和已知输
2、入信号，推断和分析出检测系统的基本特性。,3.6.2 检测系统静态特性方程与特性曲线,一般检测系统的静态特性均可用一个统一（但具体系数各异）的代数方程，即通常称作静态特性方程来描述检测系统对被测参量的输出与输入间的关系，即(1-44)式中 x 输入量；y（x）输出量；常系数项。,3.6.3 检测系统静态特性的主要参数,静态特性表征检测系统在被测参量处于稳定状态时的输出输入关系。衡量检测系统静态特性的主要参数是指测量范围、精度等级灵敏度线性度滞环、重复性、分辨力灵敏限、可靠性等。1.测量范围 每个用于测量的检测仪器都有规定的测量范围，它是该仪表按规定的精度对被测变量进行测量的允许范围。测量范围的
3、最小值和最大值分别称为测量下限和测量上限，简称下限和上限。,2.精度等级3.灵敏度灵敏度是指测量系统在静态测量时，输出量的增量与输入量的增量之比。即 对线性测量系统来说，灵敏度为:,(1-47),(1-46),亦即线性测量系统的灵敏度是常数，可由静态特性曲线（直线）的斜率来求得，如图1-8（a）所示。式中 为Y和X轴的比例尺，为相应点切线与X轴间的夹角。非线性测量系统其灵敏度是变化的。如图1-8（b）所示。,（a）线性系统灵敏度示意图（b）非线性系统灵敏度示意图图1-8 灵敏度示意图,4.非线性非线性通常也称为线性度。线性度就是反映测量系统实际输出、输入关系曲线与据此拟合的理想直线 的偏离程度
4、。通常用最大非线性引用误差来表示。即,（1-48）,式中 线性度；校准曲线与拟合直线之间的最大偏差；以拟合直线方程计算得到的满量程输出值。,（1）理论线性度及其拟合直线 理论线性度也称绝对线性度。它以测量系统静态理想特性 作为拟合直线，如图1-9中的直线1（曲线2为系统全量程多次重复测量平均后获得的实际输出/输入关系曲线；曲线3为系统全量程多次重复测量平均后获得的实际测量数据，采用根据最小二乘法方法拟合得到的直线）。此方法优点是简单、方便和直观；缺点是多数测量点的非线性误差相对都较大。,图1-9最小二乘和理论线性度及其拟合直线,（2）最小二乘线性度及其拟合直线最小二乘法方法拟合直线方程为。如何
5、科学、合理地确定系数和是解决问题的关键。设测量系统实际输出/输入关系曲线上某点其输入、输出分别，在输入同为情况下，最小二乘法方法拟合直线上得到输出值为 两者偏差为 最小二乘拟合直线的原则是使确定的N个特征测量点的均方差,（1-49）,为最小值，为此必有关于和的偏导数为零，即把表达式代入上述两方程整理可得到关于最小二乘拟合直线待定系数和的两个计算表达式,（1-50）,5.迟滞迟滞，又称滞环，它说明传感器或检测系统的正向(输入量增大)和反向(输入量减少)时输出特性的不一致程度，亦即对应于同一大小的输入信号，传感器或检测系统在正、反行程时的输出信号的数值不相等，见图1-10所示。,图1-10 迟滞特
6、性示意图,迟滞误差通常用最大迟滞引用误差来表示，即(1-51)式中 最大迟滞引用误差；（输入量相同时）正反行程输出之间最大绝对偏差；测量系统满量程值。在多次重复测量时,应以正反程输出量平均值间的最大迟滞差值来计算。迟滞误差通常是由于弹性元件、磁性元件以及摩擦、间隙等原因所产生，一般需通过具体实测才能确定。,6.重复性重复性表示检测系统或传感器在输入量按同一方向(同为正行程或同为反行程)作全量程连续多次变动时所得特性曲线不一致的程度(见图1-11)。,图1-11 检测系统重复性示意图,特性曲线一致好,重复性就好,误差也小。重复性误差是属于随机误差性质的,测量数据的离散程度是与随机误差的精密度相关
7、的,因此应该根据标准偏差来计算重复性指标。重复性误差可按下式计算:(1-52)式中 重复性误差；为置信系数,对正态分布，当Z取2时,置信概率为0.95即95%，Z取3时,概率为99.73%；对测量点和样本数较少时，可按t分布根据表1.2选取所需置信概率所对应的置信系数。,正、反向各测量点标准偏差的最大值；测量系统满量程值。式(1-52)中标准偏差 的计算方法可按贝塞尔公式或级差公式计算。按贝塞尔公式计算，则通常应先算出各个校准级上的正、反行程的子样标准偏差，即,（1-53）,式中 第j次测量正行程和反行程测量数据的子样标准偏差(j1M)；第j次测量上正行程和反行程的第i个测量数据(i1一n)；
8、,第j次测量上正行程和反行程测量数据的算术平均值。取上述(共2M个测量点)中的最大值及所选置信系数和量程便可按式（1-52）计算得到测量系统的重复性误差。,7.分辨力 能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量称为检测系统的分辨力。许多测量系统在全量程范围内各测量点的分辨力并不相同，为统一，常用全量程中能引起输出变化的各点最小输入量中的最大值相对满量程输出值的百分数表示系统的分辨率，即：（1-54）,8.失灵区失灵区又叫死区、钝感区、阈值等，它指检测系统在量程零点（或起始点）处能引起输出量发生变化的最小输入量。9.可靠性衡量检测系统可靠性的指标有：,（1）平均无故障时间MTBF（2）可信任概率P
9、（3）故障率,（1-55）,检测系统使用方面的指标有：操作维修是否方便，能否可靠安全运行以及抗干扰与防护能力的强弱、重量、体积的大小、自动化程度的高低等。,（4）有效度 衡量检测系统可靠性的综合指标是有效度，对于可排除故障、修复后又可投入正常工作的检测系统，其有效度A定义为平均无故障时间与平均无故障时间、平均故障修复时间MTTR（Mean Time to Repair）和的比值，即：,3.7 检测系统的动态特性,当被测（输入量、激励）随时间变化时，因系统总是存在着机械的、电气的和磁的各种惯性，而使检测系统（仪器）不能实时无失真的反映被测量值。这时的测量过程就称为动态测量。测量系统的动态特性是指
10、在动态测量时，输出量与随时间变化的输入量之间的关系，而研究动态特性时必须建立测量系统的动态数学模型。,3.7.1 测量系统的（动态）数学模型测量系统的动态特性的数学模型主要有三种形式：时域分析用的微分方程；频域分析用的频率特性；复频域用的传递函数。1.微分方程对于线性时不变的测量系统来说，表征其动态特性的常系数线性微分方程式如下：,式中 输出量或响应；输入量或激励；,（1-56),与测量系统结构的物理参数有关的系数；输出量Y对时间t的n阶导数；输入量X对时间t的m阶导数。,2.传递函数若测量系统的初始条件为零，则把测量系统输出（响应函数）的拉氏变换Y(s)与测量系统输入（激励函数）的拉氏变换X
11、(s)之比称为测量系统的传递函数H(s)。假定在初始时t=0，满足输出Y(t)=0和输入X(t)=0以及它们的各阶对时间导数的初始值均为零的初始条件，这时Y(t)和X(t)的拉氏变换Y（S）和X（S）计算公式为:,（1-57）满足上述初始条件，对（1-56）式两边取拉氏变换，这样就得测量系统的传递函数为；（1-58）上式分母中S的最高指数n即代表微分方程阶数，相应地当n=1、n=2，则称为一阶系统传递函数和二阶系统传递函数。由方程（1-58）可得：(1-59),知道测量系统传递函数和输入函数即可得到输出（测量结果）函数Y(s)，然后利用拉氏反变换，求出 的原函数，即瞬态输出响应为 传递函数具有
12、以下特点：（1）传递函数是测量系统本身各环节固有特性的反映，它不受输入信号影响；但包含瞬态、稳态时间和频率响应全部信息；（2）传递函数 是通过对实际测量系统抽象成数学模型后经过拉氏变换得到，它只反映测量系统的响应特性；,(1-60),（3）同一传递函数可能表征多个响应特性相似，但具体物理结构和形式却完全不同的设备，例如一个RC滤波电路与有阻尼弹簧的响应特性类似，它们同为一阶系统。3.频率（响应）特性在初始条件为零的条件下，把测量系统的输出（t）的傅立叶变换 与输入 的傅立叶变换 之比称为测量系统的频率响应特性，简称频率特性。通常用 来表示。对稳定的常系数线性测量系统，可取，即令其实部为零；这样
13、（1-57）式转换为:,（1-61）,根据式（1-61）或直接由（1-58）式转换得到测量系统的频率特性频率响应函数是在频率域中反映测量系统对正弦输入信号的稳态响应，也被称为正弦传递函数。,（1-62）,3.7.2 一阶和二阶系统的数学模型测量系统的数学模型中的具体参数确定通常需经实验测定，亦称动态标定。工程上常用阶跃和正弦两种形式信号作为标定信号。阶跃输入信号的函数表达式为,式中 A 阶跃输入信号幅值。,一阶系统的标准微分方程不论是电学、力学或热工测量系统，其一阶系统的运动微分方程最终都可化成如下通式表示：（1-63）上述一阶系统的传递函数表达式为,（1-64）,上述一阶系统的频率特性表达式
14、为,（1-65）,其幅频特性表达式为,（1-66）,其相频特性表达式为,（1-67）,二阶系统的标准微分方程,上述二阶系统的传递函数表达式为,上述二阶系统的频率特性表达式为,（1-69）,（1-70）,其幅频特性表达式为,（1-71）,其相频特性表达式为,（1-72）,下面着重介绍一阶和二阶系统的动态特性参数。,3.7.3 一阶和二阶系统的动态特性参数检测系统的时域动态性能指标一般都是用阶跃输入时检测系统的输出响应，即过渡过程曲线上的特性参数来表示。1.一阶系统的时域动态特性参数 一阶测量系统时域动态特性参数主要是时间常数及与之相关的输出响应时间。(1)时间常数,(2)响应时间当系统阶跃输入的
15、幅值为A时，对一阶测量系统传递函数式（1-64）进行拉氏反变换，得一阶测量系统的对阶跃输入的输出响应表达式为,（1-73）,其输出响曲线如图1-12所示。,图1-12 一阶测量系统对阶跃输入的响应,2.二阶系统的时域动态特性参数和性能指标 二阶测量系统当输入信号为幅值等于的阶跃信号时，通过对二阶测量系统传递函数式（1-69）进行拉氏反变换，可得常见二阶测量系统（通常有，称为欠阻尼）的对阶跃输入的输出响应表达式,（1-74）,不同阻尼比对（二阶测量）系统响应的影响如图1-13所示。,图1-13 阶跃输入下，（不同阻尼比）二阶测量系统响应,以上可见，阻尼比 和系统有阻尼自然振荡角频率 是二阶测量系
16、统最主要的动态时域特性参数。,表征二阶测量系统在阶跃输入作用下时域主要性能指标（结合图1-14 常见 衰减振荡型二阶系统的时域动态性能指标示意图）主要如下。,图1-14 二阶系统的时域动态性能指标示意图,延迟时间上升时间 响应时间 峰值时间超调量衰减率,2)频域动态性能指标 检测系统的频域动态性能指标由检测系统的幅频特性和相频特性的特性参数来表示，主要有：(1)系统的通频带与工作频带如果一个检测系统,其输出Y(t)与输入X(t)之间满足,(122),即系统的输出与输入之间有一个数值为A的固定放大倍数和相移为的延时。这样的系统称为完全不失真系统。在工程上，完全不失真系统难于实现。一些设计较好的检
17、测系统通常也只在一定的频率范围内使幅频特性曲线保持一段较为平坦、近似水平线段(在这一范围A近似不变)。工程上，把幅频放大倍数 的范围叫通频带。而检测系统的相频特性近似线性的范围一般比通频带小得多。为使检测系统有较高的精度，应选检测系统频特性近似线性或幅频特性近似水平的频率范围为系统的工作频带。,(2)系统的固有频率当 时所对应的频率 称为固有频率。确定了检测系统的特性，就可以确定它可测信号的频率范围以及保证测量获得较高的精度，这在设计和选用检测仪器和系统时非常重要。2)频域动态性能指标3.检测系统的频域动态性能指标（1）系统的通频带与工作频带,(2)系统的固有频率当 时所对应的频率称为系统固有角频率。知道和确定了检测系统的固有角频率，就可以确定该系统可测信号的频率范围，以及保证测量获得较高的精度，这在设计和选用检测仪器和检测系统时是非常重要的。,
