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1、第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题1.曲线积分j f 3) - sin ydx - f (x)cos ydy与路径无关，其中f (x)有一阶连续偏导 LC. (ex + e-x)d.02数，且 f (0)=。，则 f (x) = BA.；(e-x-ex)B. (ex -e-x)222.闭曲线C为|x| + |y| = 1的正向，则j - ydx + xdy =g H+l y -A.0B.2C.4D.63.4.设为球面x2 + y2 + z2 = 1，则曲面积分jj6.A. 4兀B. 2兀C.冗D.1 兀2闭曲线C为4 x2 + y2 = 1的正向，则j yfX + xdy = D g 4
2、x 2 + y 2A. -2丸B. 2丸C.0D.冗 为 YOZ 平面上 y2 + z2 0)，S为S在第一卦限中部分，则有CA. jj xds = 4 jj xdsC.J zds = 4 jj zdsS11B. jj yds = 4 jj ydsD. jj xyzds = 4 jj xyzdsSS1二、填空题1.设 L 是以(0, 0), (1, 0),j ydx - (ey2 + x)dy =-2L(1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分2.S 为球面 x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，则 jj (y - z)dydz + (z - x)dzdx + (
3、x - y)dxdy = 0s3.4.6.7.j ydx - xdy x 2 + v 2 一x 2 + y 2 =1 x + y曲线积分j (x2 + y2)ds ,其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2丸a3 D设E为上半球面 z = ：4 - x2 - y2 (z 0)，则曲面积分jj (x2 + y2 + z21s= 32 nz设曲线C为圆周x2 + y2 = 1,则曲线积分j (x2 + y2 - 3 x )ds =2 兀.D _设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分j gx + y)ds = 1+728.ds9.设Z为上半球面z =。
4、4-x2 - y2 ,则曲面积分jj ds 的值为8丸。 Z 1 + 顼 x2 + y2 + z2光滑曲Wz=f (x, y)在xoy平面上的投影区域为D,则曲Wz=f (x,尸)的面积是11、12、10.S顼L ($2+导2心1. j ew+y2 *,其中L为圆周X 2 + * =1,直线y = X及x轴在第一象限所围图形的边界。L2x =cos0兀解：记线段S方程y = X，W X V项,圆弧恤方程=s糖，。加4j e x2+y2 ds + j e x2+y2 ds + j e x2+y2 ds = jT e *2dx + j 4 ed 0 + j1 exdx线段OB方程y = 0,0 x
5、 VI。则原式=J eOBOAAB=2(e -1) +； e2.x2 + y2 dx + yxy + ln(x + (x2 + y2 )dy ,其中L为曲线y = sin x,0 x 兀与直线段y = 0,0 x 兀所围闭区域D的正向边界。解：利用格林公式，P = x2 + y2 , Q = yxy + ln(x + ：x2 + y2)，则dPydQ = y 2 +ydyx 2 + y 2dxx 2 + y 2故原式=jj (一空)dxdy = jjy2dxdy = jdxjsinxy2dy = i jsin3 xdx = #8x dy003 09DD3. jy2dx + x2dy，其中L为圆
6、周x2 + y2 = R2的上半部分，L的方向为逆时针。LI x = R cos t解：L的参数方程为y = Rsint，t从0变化到。故原式=j R 2 sin21 (-R sin t) + R 2 cos21 (R cos t )dt04 _=R3 尸(1 一 cos21)(- sin t) + (1-sin21)cos tdt = 一 R3034.求抛物面z = x2 + y2被平面z = 1所割下的有界部分的面积。解：曲面的方程为z = x2 + y2,(x,y) e D，这里D为在XOY平面的投影区域(x, y) x2 + y2 1。故所求面积=+ z2 + Z2 dxdy = jj
7、 顼1 + 4( x2 + y2) dxdyDD5、计算 (exsiny my )dx (ex cosy m)dy，其中 L 为圆(x a)2 y2 a2 (a 0)的上L半圆周，方向为从点A (2a,0)沿L到原点O。解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式，Q ex cosy m， ex cosy m， ex cosyy xP (exsiny my)PQ于是 (ex siny my )dx (gx cosy m )dy + (exsiny my )dx (ex cosy m )dyLOA ma2=m dxdy 寻D而 (ex siny my )dx (ex cos
8、y m )dy = 2a0dx 0 0,于是便有0OA(ex s iny my dx)ex( (yo sn dy = m a2#2L6. (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz，其中 L 为球面 x2 y2 z2 1 在第一L卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程x 0y cot, t从变化到0。乙z s iit于是04(y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz= 0sint( sint) cos2 t(cost)Bt =AB23由对称性即得(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz 3(y
9、2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz4LAB#7. (x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy，其中 为平面 x y z 1, x 0, y 0,z 0所围立体的表面的外侧。解：记1为该表面在XOY平面内的部分，2为该表面在YOZ平面内的部分，S3为该表面在XOZ平面内的部分，24为该表面在平面x + y + z = 1内的部分。%的方程为z = 0,0 y 1 -x,0 x 1，根据定向，我们有JJ (x + 1)dydz + (y + 1)dzdx + (z + 1)dxdy = JJ (z + 1)dxdy = - JJ dxdy =-20 x 10 y 1-x同
10、理，JJ (2 - x - y)dxdy =七，30 x 1 0 y 1-x24 的方程为 z = 1 - x y,0 y 1 - x,0 x 1,故JJ( z + 1)dxdy =24由对称性可得JJ(x + 1)dydz = JJ (y + 1)dzdx =； 2 424故 JJ (x + 1)dydz + (y + 1)dzdx + (z + 1)dxdy = 22411于是所求积分为2-x 3 =-8. 计算曲面积分：JJ (x + y + z)dydz + 2y + sin(z + x)dzdx + (3z + ex+y)dxdy，其中s+=8S+为曲面|x| + |y| + |z|
11、 = 1的外侧。解：利用高斯公式，所求积分等于 狙（1+2 + 3）dxdydz =U+V+w li9.计算 I= J xydydz + yzdzdx + xzdxdy，其中 S 为 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0 所围立 s体的表面外侧解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体由Gass公式得：I(x + y + z) dxdydzV=J0 dxJ0-xdy J0-x 一 y (x + y + z) dz1810. 计算 I工3dx + 3zy2dy - x2ydz，其中 r 是从点 A(3, 2, 1)到点 B(0, 0, 0)的直线段AB.x y z.
12、解：直线段AB的方程是寻=3=；化为参数方程得：x=3t, y=2t, z=t, t 从 1 变到 0,所以：I= j x 3 dx + 3zy 2 dy - x 2 ydz=0 (3t)3 3 + 3t(2t)2 . 2 - (3t)2 . 2tdt = 87013dt = -87#11411. 计算曲线积分 I=amo(e2+y2 113.设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I 解：S在xoy平面的投影区域为：Dy x, y)|0 y 1 - x,0 x 1 sin y - 2y)dx + (ex cos y - 2)dy,其中 AMO 是由点 A(a,0) 至点O
13、(0, 0)的上半圆周x2 + y2 = ax解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0)c将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA在线段 OA 上，(ex sin y - 2y)dx + (ex cos y - 2)dy = 0 (OA从而 jA. O AM O + O7A =JAMOA2dxdy =艾又由Green公式得：jAMOA (ex sin2y)dx + (ex cos y 2)dy =x 2 + y 2 ax的交线12.计算曲线积分z3dx + x3dy + y3dz 其中 L 是 z=2 (x2 + y2)与 z=3 - x2 - y2L沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成
14、参数方程：x=cost, y=sint, z=2 t: 0 T 2兀于是：z3dx + x3dy + y3dz = 0 - 8sin tdt +0兀 cos4 tdt=4兀另证：由斯托克斯公式得z 3 dx + x3 dy + y 3 dz =(3 y 2 - 0)dydz + (3z 2 - 0)dxdz + (3x 2 - 0)dxdy LZj z3dx + x3dy + y3dz = 3 jj x2dxdy = 32K doj1 r 3 cos2 0 dr = 2兀Q004Z: z = 2, x2 + y2 1上侧，则:气 3dxdj = j1 dx j1-3dj = j1、3(1 -
15、x)dx = 2SDxj00014.计算曲线积分j (x j)心+ (:+ j)dj其中L是沿着圆(x 1)2 + (j 1)2 =1从点 _LI= jj dS = jjA(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧解：设 P(x, j) = x j ， Q(x, j) = x + j x2 + j2x2 + j2dP BQ j 2 x 2 2 xj当x2 + j2。0时，=室=-BjBx(x 2 + j 2)2故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关(x j )dx + (x + j )dj(x j)dx + (x + j )dj则：匕x2 + j21=K ln5-arctan2 215
16、.确定勺值，使曲线积分j炽+ 4xj入 )dx +(6 x 入1j 2 -2 j)dj在XoY平面上与路径无C关。当起点为(0,0)，终点为(3,1)时，求此曲线积分的值。解：由已知，P = x2 + 4xy入,Q = 6xi j2 2 j ；由条件得；一, 即 4 人 xj 人1 6 (X-1) xf 人=3, BjBxj(3,1)(x 2 + 4 xj 3 )dx +(6 x 2 j 2 2 j )dj =(0,0 )r 1.，、x3 j 2 + 2 x 2 j 3 (3,1) 263J(0,0)(0,0 )16.设曲面S为球面x2 + j2 + z2 = 4被平面z=1截出的顶部，计算I
17、= jj LdSzS解：S的方程为：z = t：4 x2 j2S在xoy平面的投影区域为：DxjI= jj 2dxdj = j2兀dojG_2dr = 4兀 ln24 x 2 j 200 4 一 r 2Dxj17.计算 I= jj jzdjdz + xzdzdx + (x + j + z)dxdj，其中 E 是x2 + j2 + (z a)2 a2 Z0 za，取下侧解：作辅助曲面s 1： z=a，32 + y2 a2)取上侧设Q为x2 + y2 + (z - a)2 = a2, z = a所围闭区域Dxy为平面区域x2 + y2 a2jj (x + y + a) dxdy =兀 a 3 -
18、a jj dxdy3DDxyxy(Jj (x + y) dxdy = 0)DxyI = ( jj-jj)yzdydz + xzdxdz + (x + y + z )dxdy SI S=jjj dxdydzQx = a cos tf18. L为上半椭圆圆周，.,取顺时针方向，求J ydx-xdy.y = b sin tLy 解：j ydx - xdy =j0 b sin t - (-a sin t) - a cos t - (b cos t)dtL兀=ab j dt兀=abn.#19.计算曲面积分xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy,其中为锥面z = 0 , y 0的两个卦
19、限内被平面y = 0及y = h所截 下部分的外侧，试计算I = JJxyzdxdy。i与在时面上的投影为D ： x a y h解：将分成%与 2,其中%： z = Ja2 - x2 (取上侧)，2: z = - Ja2 - x2 (取下侧)，2xyJJ xyzdxdy = JJ xyzdxdy + JJ xyzdxdy2a 2 - x2 dxdy -JJ xy (fa 2-x2)dxdyDyDy=2 JJxya2 - x2dxdy = 2JadxJ xa2 - x2 - ydyDxy1八 =a 3 h 2.322.计算曲面积分I=JJ z 2 dS其中是柱面x2 + y2 = 4介于0 z
20、6的部分。解：设i为在第一卦限的部分曲面。dS1 +2dydz = *L4 - y2d : dx- yfix 八i: x* 一 y2 瓦 瓦=0 得。i在ya面上的投影域为D :0 y 2,0 z 6。故JJ z 2 dS = 4 JJ z 2 dS = 4 JJ1Dyz2 z 2 dydz = 8J20:4 y2dyJ6 z2dz = 288兀.4-y2023.计算曲面积分I = JJ(z2 + x)dydz + zdxdy，其中是旋转抛物面z = ：(x2 + y2)介于 z = 0及z = 2之间部分的下侧。解：利用高斯公式，取产=2且x2 + y2 4。取上侧，与1构成封闭的外侧曲面，
21、所围的闭域为。,对应的Dy为：x2 + y2 4。jj (z 2 + x)dydz + zdxdyfl (z2 + x)dydz + zdxdy - JJ (z2 + x)dydz + zdxdyi2dxdy/jj (1+ 1)dv - JJ-2jjJ dv - JJ 2dxdyQDx-2 J2 兀 d0J2 dr J2 rdz - 2 兀-22001 r22-8兀一8兀-0.#24.计算曲线积分I = J史功丑二迪，其中c是自点A(-2,1)沿曲线 x 2 + y 2Cy = -cos ；x到点B(2,1)的曲线段。解：P-二,Q-二,籍-x(一2打弓2-孚,(x2 + y2 0), x2
22、+ y2x2 + y2 5y(x 2 + y 2 沸ox取小圆周C : x2 + y2 =8, 8充分小，取逆时针方向，则由Green公式可得：I = J J (y + x)dx + (y - x)dy - J-2 + x dx - -2兀 + 2arctan 28 2 匚2 1 + x 225.用高斯公式计算JJ (x-y)dxdy + (y-z)xdydz，其中：柱面x2 + y2-1及平面 z - 0,z - 3围成封闭曲面的外侧。解：P = (y - z )x, Q - 0, R - x - yOP0 Q 八0 R=y - z, = - 0二- OxOyOz原式=JJJ(y - z)d
23、v = JJJ(r sin 0 - z )rdrdO dzQQ=J2K dO J1 rdr J3 (r sin 0 - z )dz=J2KdO J1 3r2sin0 - r dr00 k2(.9 sin 0-云k 4dO9兀226 .计算曲面积分 I = ffx(8z + 1)dydz-4yzdzdx + (y-2z2)dxdy ,其中 是曲面z = 1 + X 2 + y 2被平面z = 3所截下的部分，取下倡IJ。JJ-JJ,而+JJ =JJJ dv = J 3dz JJ dxdy =兀 J3(z- 1)dz = 2兀，其中 D(z): x2 + y2 z -1+ 1 Q1D (z)1JJ
24、 = JJ (y - 18)dxdy = -18JJ dxdy = -36兀，I = 38兀Dxy解：补：111 Dxy27.计算曲线积分J(x3 + xy)dx + (x2 + y2)dy，其中L是区域0WxW1, 10WyW1的边界正向。解：利用Green公式E (x3 + xy)dx + (x2 + y 2)dy = JJxdxdyj J xdydx =/20 028、计算曲面积分Wx2dydz + y2dxdz + z2dxdy，其中工为平面方程x+y+z=1在第一卦限E的上侧。解：JJ x2dydz + y 2dxdz + z 2dxdy = JJ x2 + y 2 + (1 - x
25、 一 y)2dxdy = v4乙D或由对称性：JJx2dydz = JJ y2dzdx = JJ z2dxdy,而 JJ z2 dxdy = -1，故 I = 1。X 4I或 ：3dS = dxdy = dydz = dzdx 可知。29.计算广xCOSydx + ySinxdy，其E是由点A (0，0)到B (n，2n )的直线段。解：入8的方程y = 2xx e(0,兀) dy = 2dxJ -x cos ydx + y sin xdy = J (一x cos 2x + 4x sin x)dx = 4兀L030、设f (x)可微，f (0) = 1且曲线积分J 2f (x) + e2xyd
26、x + f (x)dy与路径无关。求解：奈=2 /(x)+ e2 x,孚=f(x ) oyox因该项积分与路径无关，所以,有2f(x)+ e2x = f(x)。令y = f(x), oyox得微分方程y 2y = e2x，解得y = e2x(x + c)，(2分)代入条件f (0) = 1得C=1从而有 y = e2 x (x +1)31、计算对面积的曲面积分y2 z 2ds,：z = .：x2 + y2,其中1 z 2。zxy。1 + Z 2 + Z 2 =解:Zx = ,Zy -:,曲面在XOY平面上的投影为1 x2 + y2 41 + -+ x2 + y2 x2 + y2原式=jj y2
27、(x2 + y2)j2dxdy =如2j2KdOj2 r 5sin drD012兀66 r0221、；2 兀1=2xy=侦22 L sin 29L 2 432、计算曲面积分jj (2x + z)dydz + zdxdy，其中z是曲面z = x2 + y2在z 1的部分的下Z侧。OP OQ OR 三 、化,解：补充曲面Z z = 1且取上侧，又丁 +岸+ 丁 = 3，由高斯公式1oxoy ozjj(2 x + z )dydz + zdxdy = jj (2x + z )dydz + zdxdy - jj(2x + z )dydz + zdxdyZZ+Z1Z1=fff 3dxdydz - jj d
28、xdy =手d rdr j3dz-兀=-兀=22x 2+y 21。x2+y 2100r2四、综合题1、证明在整个XOY平面上，(ex sin y my)dx + (ex cos y mx)dy是某个函数的全微分，求这样的一个函数并计算j (ex sin y my )dx + cosy mx dy，其中L为从(0, 0)到L(1,1)的任意一条道路。解：令 P(x, y) = ex sin y my ， Q(x, y) = ex cos y mx，则有dPdQ=ex coy - m =， dydx故知(ex sin j - my)dx + (ex cos y - mx)dy是某个函数的全微分。取
29、路径(0,0) T (x,0) T (x, y)，则一个原函数为(x, y) = J(x, y)(ex sin y - my)dx + (ex cos y - mx)dy(0,0)=J(0,x) (ex sin y - my)dx + (ex cos y - mx)dy + J(x,y) (ex sin y - my)dx + (ex cos y - mx)dy(0,0)(0, x)=Jx 0dx + Jy (ex cos y - mx)dy = ex sin y - mxy最后 J (ex sin y - my)dx + (ex cos y - mx)dy = U (1,1)- U (0,0
30、) = e sinl 一 m L2、证明曲线积分（-2J-1）x2 + y2xdx + ydy）在XOY面与路径无关，并求值。（-1,0 ）解：P(x,y)= x3 + xy2 , Q(x,y)= x2y + y3竺=2 xy具 dydx可知该曲线积分与路径无关。J (x2 + y2)(xdx + ydy)= h 3dx + J (4 y + y3 )dy1-2c1x4 +2 y2 + ； y444-1-1=6设L是抛物线y = x3上从点(2, 8)到点(0, 0)的一段孤，则曲线积分J(2x-4y)dx =_L12设为螺旋线 = cost, y = sint, z =寸31上相应于从0到丸的一段弧， 则曲线积分/ = j (x2 + y2 + z2)ds =_ 2k (1+冗 2)。rxdy ydx 设L为x2 + y2 = a2的正向，则j Q x2 + y2
