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1、2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上） 受有均匀压力q试证b x =b y =-q及xy = 0能满足平衡微分方程、相容方程和2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F，体力可以不计。试根据应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。证明：（1）将应力分量材料力学公式，写出弯应力战和切应力Ty的表达式，并取挤压应力，= 0，然 后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表 示正确的解答。代入平衡微分方程、相容方程dbd xdI ydT+ yx + f = dxd!_+ xy + f = dyx00(a)4
2、-d+)(b +b,df-)=-(1+ H)( xf+ ydx2dy2xydxdy)=0（b）显然（a）、（是满足的（2 ）对于微小的三角板A，dx，dy都为正值，斜边上的方向余弦l = cos(n, x) m = cos(n, y)将 b=b = -qy，Txy = 0代入平面问题的应力解1矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为I =垣M=一Fx，横截面对z轴（中性轴）的惯性矩为12，根据材料力学公式，b =矢=-皿 xyf x F弯应力xIzh3；该截面上的剪力为Fs（x） = 一F，剪应力t = 3 廿（I-户=-6F （: - y 2）b = 0xy 2 h hh3 4；并取
3、挤压应力y边界条件的表达式（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程(lb + mT ) = f (s) (mb + It ) = f (s)则有 Xcos(n, x) = -q cos(n, x)（c）b cos(n, y) = -q cos(n, y)所以b x =-q，by =-q。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。b =b该题为平面应力的情况，首先，将应力分量=-q 及 T xy=0代入物理dbdTx +yx + fddxxydbdTy + xy + fdy dx yd 2 d 2d df_ .也能满足相容方程dx2 + dy2x
4、 J同疽dy = 0 = （H） q方程，得形变分量x E ，Yxy（d）再考察边界条件：在y = h/2的主要边界上，应精确满足应力边界条件:（b ） y=h/2 = 0，气）y=h/2= 0 ；（b ）= 0（T ）= 0y y=-h/2， yx y=-h/2。能满足然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件:au(粗 一 1)= qdxE，每=甲T ay& -du+dx dy（e）前而式的积分得到T qx + f (y)E 1，(P- DE qy + f 2( x)(f)(bxL d = 0h/2Jh/2 (气) 0ydy = 0jh/2 (t
5、 ) dy = -F-h/2xy x=0其中的扇f2分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式满足应力边界条件。仃）代入8）的第三式得df ( ) d (x)y xdy dx在次要边界x =1上，列出三个积分的应力边界条件:等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一df /、，）df1（y） = -Q个常数3，于是有 df (y) = -Qy + u f (x) = Qc + vjh/2(b ) dy =jh/212F,lydy=0-h/2x x=l-h/2h 3jh/2(b ) ydy=jh/212F,ly2=-Fl-h/2x x=l-h/2h3
6、jh/2(T ) dy =Jh/26F （虹一y 2) = F一 -h/2xy x=0-h/2h 3 4代入仃）得位移分量满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。(卜1 1)u =qx -y + U0(H 1)v = eqy+x + v其中U0，V0，Q为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。3-6如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b, hb,在两侧面上受到均布剪力qb = 2Cx + 6Dy(e)的作用。试用应力函数 = A。+ Bx2 y求解应力分量。b =-pgyyT =-2Cy（f）（g）根
7、据斜边界的边界条件，它的边界线方程是y = x tan a，在斜面上没有任何面力，即fx - fy - 0,按照一般的应力边界条件，有l(b x)y=x tan / x.= x tan a = 0m(by)y=x tan a+T x. y = x tan a = 0解（1）相容条件：将(e)、(f)、(g)代入得l(2Cx + 6Dx tan a) + m(-2Cx tan a) = 0将应力函数代人相容方程v 4 m = 0中，(h)其中m(-pgx tan a) +1(-2Cx tan a) = 0a 4 mam ,a = 0=0dx4dy4，d 4 m = 0 dx2dy2很明显满足相容
8、方程。由图可见，&l = cos(n, x) = cos( 2 +a) = 一 sin a（2）应力分量表达式m = cos(n, y) = cos ad 2 mb = 0 bxdy 2，d 2 m=6Bxy dx 2Txya ? = - A - 3Bx 2 dxdyC = pg cot a代入式（h）、（i）求解C和聘即得2Pgcot 2 a3（3）考察边界条件:在主要边界x = b/2上,各有两个应精确满足的边界条件,将这些系数代入式0）、（c）、（d）得应力分量的表达式即(b)x=b/2 = 0，(T )= -qxy x= b/2在次要边界y = 0上，（by）y=0= 0，无（T）=0
9、的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替 L/2 Jy=0dx = 0b = p gx cot a 一 2p gy cot2 a_x一b =-p gy一y八t = -p gy cot ai xy4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。（4）把各应力分量代入边界条件，得a=-；B=bi，应力分量为bx = 0， y b 2，Ty= 1(1-12 Z)3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为P，试用纯三次式的应力函数求解。解应力函数m = P2（Acos2（P + Bsin29 + C9 + D）， 由应力函数得
10、应力分量进行求解解（1）相容条件:设=Ax 3 + Bx 2 y + Cxy 2 + Dy 3不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。(2)/ 孙+ -1 g = 一2( a cos 2平 + B sin 2平 一 C平一 D) p dp p 2 d9 2dim -=2( A cos 29 + B sin 29 + C9 + D)dp 2一尊(I 孙)=2 a sin 29 - 2B cos 29 - Cdp p dp（2）体力分量fx = O, fy = P?由应力函数得应力分量的表达式aim-f x = 2Cx + 6Dy dy 2.(b)根据对称性，得(b)= 09
11、a /2（a）(T)= qp9 a/2(b)(气)-a/2 = 0(c)-a/2 =F(d)考察边界条件：dm-fy = 6 Ax + 2By - pgyy2 y(c)由式由式由式（a）(b)(c)Txya ? m= -2Bx - 2Cy dxdy由式(d)得 2 A cosa + 2B sin a + Ca + 2D = 0始 2A sin a - 2B cosa 一 C = q得得 2 A cosa - 2B sin a-Ca+ 2D = 0始-2 A sin a 一 2B cos a 一 C = -q得(e)(f)(g)(h)(d)（3）考察边界条件：利用边界条件确定待定系数A = ,
12、B = C = 0, D 式（e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得2sin aq-1 cot a先考察主要边界上y = 0的边界条件：（b y）y=0 = 0，(T yx ) y=0 = 0将以上系数代入应力分量，得将应力分量式（b）和式（c）代入，这些边界条件要求(b ) 0 = 6 Ax = 0 (T ) 0 =-2 Bx = 0 得人。B=0。式（b）、（c）、（d）成为cos 2mb = -q(+ cot 以)p sin 以z cos 2m、b = q(- cot 以)m sin 以sin2mpm sin 以4 一 13设有内半径为r夕卜半径为R的圆筒受内压力q,试求内半径和外半径
13、的改变, 并求圆筒厚度的改变。解本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情 况下，取应力分量表达式（B=0）,内外的应力边界条件要求p 疽0 （ p 疽0,（bp）p=r =-q （bp）p=R = 0,解求出两个主应力，即由表达式可见，前两个关于Tpm的条件是满足的，而后两个条件要求b1 l = b7-+b7 ，(b7-b7 )2 +T 2 =q b I 22 xy2Ar 2 + A-A + 2C = 0R 2A由上式解得（R2-r2），C =护2(R2 - r2)(a)把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量,qr2u =p E(R2 - r2)R2(1)
14、p + (1+t) pUp= Hp 一 I sin m + K cos m = 0()+ I cosm + K sin m(b)式（c）中的p,m取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。所以，轴对称问题的径向位移式（b）为qr 2Uc=p E(R2 - r2)R2(1-)p+(1+P)pE t日而圆简是属于平面应变问题，故上式中1-“2-1 u代替，则有原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如 图所示。应力分量bX= q，by=q，T xy = 0代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件（b ）= q cos 2m（t ）= -q sin 2m在
15、孔边，边界条件是p=广 0（c）p= r = 0（d）由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设。佚p的某一函数乘以cos2m，而%为p的另一函数乘以面叩。而_1-1 &rnp p 5p p 2 5p 2T pm Qp（ p Qp），因此可假设= f （p ）cos2m。（e）u p=q 匕)R2+(1-二)p 2 尤(:- D（且 +1 气-u m ）2 中=0将式（e）带入相容方程Qp 2 p Qp p 2 Qm 2，得cosdfp)+2 dfp) 一q dfp)dp 4p dp 3p 2 dp 2+ 口 g = 0p 3 dp J(1 + n)R 2+(1一)r
16、 2qr(x R4,re1 日2 r2.- 一 Df p= Ap4 + Bp3 + C + 2删去因子cos2m以后，求解这个常微分方程，得&p 2uR外径改变为(1 + ) R 2 + (1 - )R 211株(:-D其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e ），得应力函数O = cos 2m (Ap 4 + Bp 2 + C +)由应力函数得应力分量的表达式u -u =-拙i（ + *）圆环厚度的改变为R r E R+r 1一四4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为b广b y = 0，T勺=q如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。4C 6Db =-cos2m(2B +)6Di
17、 b = cos2m(12 Ap 2 + 2B +)mp4t = sin 2m(6Ap 3 + 2B - 2C - 6D)pmp 2p 4将上式代入应力边界条件由式(a)2B + 4C + 钮=-q 得 R 2 R 4由式由式(b)2C 6D6 AR 2 + 2B -=-q得R2 R4(c)4C 6D得 2B +r2 + r4 = 0(g)(h)(i)6Ar 2 + 2B - C - 6D = 0由式(d)得r 2r 4(j)rqqr4-T 0 A = 0,B = -q,C = qr2,D =-尹7联立求解式(%)，并令R，得22将各系数值代入应力分量的去达式，得b =-(1-U) + (1-
18、 lg cos 29(1 - 4)(1-3 p 2(1四) p 22(1一四)p 2p 2b9=-21(1 + 石)-(1 一 *脸 cos29(1 + 3n)LT-土 ；-Z )(1 + 3 P-r2nb = q cos2中(1-)(1 - 3)pp2p2r- b =-q cos 29 (1 + 3 )-rx-t2t =T =-q sin 29(1 -)(1 + 3)P9 9Pp 2p 2沿着孔边p=r，环向正应力是b9= -4q cos 29最大环向正应力为(b9 maXqb 沿着孔边p=r，环向正应力是最大环向正应力为maxpgh=9(1)十cos291 4p3 4 =1咐(b9m，n=
19、- 1Pg方 ，4-17在距表面为h的弹性地基中，挖一直径为d的水平圆形孔道，设hd，弹性地基的密度为P，弹性模量为E，泊松比为H，试求小圆孔附近的最大*最小应力。8-1设有任意形状的等截面杆,密度为p，上端悬挂，下端自由。如题8-1图所示，是否能满足所有一切条件。Hi解按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满足相容方程；并在边界上满足应力边界条件.G-d d-x+户 + zx + f -=0dxdydz xb_dTdTy+z + xy + f :=0dydzdxydb-d ,z+xz +.yz + f -=0z解距地表为h处，无孔时的铅直应力bX= -pg
20、h，由水平条件x = y = 0，b = 0,b = 0, b = pz ,t试考察应力分量,f = f = 0, f = -pg很显然应力分量满足如下平衡徽分方程0 = b (2)+ byx可得b = b = - 1pghx向为水平回形孔道的轴向，在横向y，z平面的主应力为b 1= -pgh， LIb 2 =-1 - ph（2）原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力 U1h一-ph1 ，在上下两边受均布压力 pgh，如图（a）所示。可以将荷载分解为两b + bp hJ Jpgrt12 =部分：第一部分是四边的均布压力2 c2（1-K）如图（b）所示，第二部b -_ （1
21、2）pgh分是左右两边的均布拉力 22（1-）和上下两边的均布压力b1 -气=2K ）pgh 1 + nb = q（1 -p2= q如图汁显所示p对于第一部分荷载，可应用解答1 R 2+ b = p7z ，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程20(1 +)V 2b + xdx 220(1 +)V2b y += = 020(1 +)V 2b += 0z 边2(1 + 四)V 2Txyd ? 0 +dxdy0(1 + 四)V 2Tyzd 2 0+=dydz0(1 + P)V 2Txzd 2 0+=dxdz0考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，fx = fy = f =七.在（%,卜）平面上应考虑为任
22、意形状的边界（侧面方向余弦分别为=0,乳为任意的；在下端对于第二部分解答，可应用解答，教材中式（4-18）。将两部分解答叠加，即得原面方向余弦分别为=-U = m = 0）。应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式荷载作用下的应力分量（基尔斯的解答）。(lb +mT + nT) = f (mb +nT+ lT)= f(nb +lT+ mT)= fl x xz yz s z直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解 其中的W 2, f 3分别是弘z和X，z和X，的待定函数，可以通过几何方程的后三个式子求出。#；O =_ df2（ x, z）dy
23、dzdf （x, y）df （y, z）3= _1dxdzdf J z）df（y, z）2= _1dxdy满足上述三个等式，只可能每个等式的左右两边等于同一个常数冬。积分以后得f = -y +z + uf = wx 一z + vf 3 = -wx + wy +气代入位移分量表达式得2p 1u =x wy + wz + u2u1v = wx +y wz + vEo2p 1w = wx + wy + % z +w8-2设有任意形状的空间弹性体，在全部边界上（包括在孔洞边界上）受有均布压力q,试证应力分量 x =b y =b z =F =T zvxy = 0能满足一切条件，因而就是正确的解答.s_解
24、：应力应满足平衡微分方程，相容方程及应力边界条件（在上），多连体还应满 其中uo,vo, wo,w分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。多连体上各 个点的位移分量都是x, y, z的线性函数，所以满足位移单值条件。足位移单值条件。（1）平衡条件 fx = f = f = 0，很显然，应力分量满足平衡微分方程（2）相容条件：。= x + y + z =-q，应力分量也满足贝尔特拉米相容方 程。（3）应力边界条件。考虑一般的应力边界条件：法线的方向余弦为1m 边界面 为任意斜面，受到法向压力q的作用。同样，满足应力的边界条件。（4）位移单值条件，为了考虑多连体中的位移单值条件，由应力求出对应的位移， 然后再检查是否满足单值条件。将应力分量代人教材中式（7 12），得形变分量表达式Y =Y =Y = 0yz zy xy = = = 一 1 qx y z E，将形变分量代入几何方程，得 xy2=1 = q dxE21=q dyEdw 2p 1 =qdzEYyzYzxYxydw dv c+= 0dydzdw du- += 0dxdzdv du+= 0dx dy叩一1u = qx+f（ y, z）, vE1积分得位移分量的表达式叩一1叩一1e qy + f2（x, z）,w = e qz + f3（x, y）-
