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1、1.4 向量和矩阵的范数,1.4.2 矩阵的范数及其性质,1.4.1 向量的范数及其性质,1.4 向量和矩阵的范数,学习目标：掌握向量范数、矩阵范数等概念。,在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。,1.4 向量和矩阵范数,范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广.,数域:数的集合,对加法和乘法封闭,线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量
2、空间,有理数、实数、复数数域,1.4.1 向量范数(vector norms),定义1.5如果向量 的某个实值函数 满足：（1）正定性：，且 当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意 x，y，都有则称 为 上的一个向量范数。,定义1 如果向量 的某个实值函数 满足：（1）正定性：，且 当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意 x，y，都有则称 为 上的一个向量范数。,自己证,容易验证，向量的范数和1范数满足定义1.5中的条件。对于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的 Cauchy-Sch
3、warz不等式可以验证。,显然,并且由于,定理1,注意:一般有向量的等价关系,例 1 求下列向量的各种常用范数,解:,1*499/4*4=9,矩阵的范数(matrix norms),常用的矩阵范数,例2,不难验证其满足定义2的4个条件.,称为Frobenius范数,简称F-范数.,类似向量的 2-范数,称A的F-范数.,定义3,例3,求矩阵A的各种常用范数,解:,由于,特征方程为,容易计算,计算较复杂,对矩阵元素的变化比较敏感,较少使用,使用最广泛,性质较好,使用最广泛,定义4,而,因此,显然,(spectral norm),谱范数,即,所以,定理1.,证明:略,例4 设矩阵A与矩阵B是对称的，求证,
