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1、2 向量组的线性相关性,主要内容：一、向量组线性相关/无关的定义二、向量组线性相关/无关的判定定理,2 向量组的线性相关性,定义:给定向量组A:a1,a2,am,如果存在不全为零的数k1,k2,km,使 k1a1+k2a2+kmam=0则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.,例,2 向量组的线性相关性,说明:只含一个向量a的向量组,当a=0时是线性相关的,当a0时是线性无关的.说明:包含零向量的向量组是线性相关的.,例,2 向量组的线性相关性,解设数k1,k2,k3,使 k1a1+k2a2+k3a3=0,则向量组 a1,a2,a3线性相关.,例判别向量组 的线性相关性.,2 向量组的线性
2、相关性,说明:向量组a1,a2,am(当m2时)线性相关的充分必要条件是 a1,a2,am中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.,证法一:设数k1,k2,k3,使 k1 b1+k2 b2+k3 b3=0,则k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0,即(k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0,由于向量组a1,a2,a3线性无关,有,例 已知向量组a1,a2,a3线性无关,b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1,试证向量组 b1,b2,b3线性无关.,向量组b1,b2,b3线性无关.,2 向量组的线性相关性,记作B=AK.设BX=O
3、,以B=AK代入,得A(KX)=O.因为矩阵A的列向量组线性无关,所以可推知KX=O.又因|K|=20,知方程KX=O只有零解X=O.所以矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关.,证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,2 向量组的线性相关性,记作B=AK.因|K|=20,知K可逆,有R(A)=R(B),由矩阵A的列向量组线性无关可知:矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关.,证法三 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,2 向量组的线性相关性,定理(1)若向量组A:a1,a2,am 线性相关,则向量组B:a1,a2,am,am+1也线性相关.反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.,2 向量组的线性相关性,例,2 向量组的线性相关性,例,2 向量组的线性相关性,定理(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地,n+1个n维向量一定线性相关.,2 向量组的线性相关性,例 4个3维向量线性相关,5个3维向量线性相关.,2 向量组的线性相关性,定理(3)设向量组A:a1,a2,am 线性无关,而向量组B:a1,a2,am,b线性相关,则向量b必能由向量组A 线性表示,且表示式是唯一的.,2 向量组的线性相关性,例,2 向量组的线性相关性,总结1.线性相关与线性无关的概念；2.线性相关与线性无关的判定方法：定义及定理,
