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1、直方图调整法,直方图均衡化 直方图匹配,直方图调整法,（一）直方图均衡化 Histogram Equalization 直方图:是灰度级的函数，描述的是数字图象中的每一灰度级与其出现的频率(该灰度级的象素数目)间的统计关系,用横坐标表示灰度级,纵坐标表示频数(也可用概率表示)。,直方图:,直方图,直方图的性质：,不表示图像的空间信息；任一特定图像都有唯一直方图，但反之并不成立,（a）（b）图a和图b具有相同的直方图,连续灰度的直方图非均匀分布,连续灰度的直方图均匀分布,直方图均衡化目标,直方图均衡化,直方图均衡化,如上面所述，一幅给定的图像的灰度级分布在0 r 1范围内。可以对0,1区间内的任
2、一个 r 值进行如下变换(3.3.1)也就是说，通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值 r 都对应产生一个 s 值。,直方图均衡的基础,变换函数T(r)应满足下列条件：（1）在0r1区间内，T(r)单值单调增加；（2）对于0r1，有0T(r)1。这里的第一个条件保证了图像的灰度级从白到黑的次序不变。第二个条件则保证了映射变换后的像素灰度值在允许的范围内。满足这两个条件的变换函数的一个例子如图3.16所示。,图3.16 一种灰度变换函数,从 s 到 r 的反变换可用式(3.3.2)表示(3.3.2)由概率论理论可知，如果已知随机变量 的概率密度为，而随机变量 是 的函数，即，的概率密度为，所以可
3、以由 求出。,因为 是单调增加的，由数学分析可知，它的反函数 也是单调函数。在这种情况下，如图所示，且仅当 时发生，,和 的变换函数关系,所以可以求得随机变量 的分布函数为 对式 两边求导，即可得到随机变量 的分布密度函数 为(3.3.3),通过变换函数 T(r)可以控制图像灰度级的概率密度函数，从而改变图像的灰度层次。这就是直方图修改技术的基础。,直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。,假定变换函数为,(3.3.4),式中 是积分变量，而 就是 的累积分布函数(CDF)。,这里，累积分布函数是 的函数，并且单调地从0增加到1，所以这个变换函数满足关于*在0 1内单值单调
4、增加，*在0 1内有0 1的两个条件。,对式(3.3.4)中的 求导，则,(3.3.5),再把结果代入式(3.3.3)，则,(3.3.6),两个重要概念：1）、直方图均衡化处理技术是用累积分布函数作变换函数的直方图修正方法；2）、用累积分布函数作为变换函数可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像。,图 4-5 均匀密度变换法,例如，在图45中，(a)是原始图像的概率密度函数。从图中可知，这幅图像的灰度集中在较暗的区域，这相当于一幅曝光过强的照片。(b)和(c)分别为变换函数和变换后的均匀的概率密度函数。,由图(a)可知，原始图像的概率密度函数为,用累积分布函数原理求变换函数,由此可知变换后的
5、 值与 值的关系为,按照这样的关系变换就可以得到一幅改善了质量的新图像。这幅图像的灰度层次将不再是呈现黑暗色调的图像，而是一幅灰度层次较为适中的，比原始图像清晰，明快得多的图像。下面还可以通过简单的推证，证明变换后的灰度级概率密度是均匀分布的。,因为,所以,由于 取值在0,1区间内，所以,这个简单的证明说明在希望的灰度级范围内，它是均匀密度。,因此,而,图象均衡化处理后，图象的直方图是平直的，即各灰度级具有相同的出现频数，那么由于灰度级具有均匀的概率分布，图象看起来就更清晰了。,直方图均衡化,要找到一种变换 S=T(r)使直方图变平直，为使变换后的灰度仍保持从黑到白的单一变化顺序，且变换范围与
6、原先一致，以避免整体变亮或变暗。必须规定：（1）在0r1中，T(r)是单调递增函数，且0T(r)1；（2）反变换r=T-1(s),T-1(s)也为单调递增函数，0s1。,直方图均衡化变换公式推导图示,直方图均衡化,考虑到灰度变换不影响象素的位置分布，也不会增减象素数目。所以有,直方图均衡化,应用到离散灰度级，设一幅图象的象素总数为n，分L个灰度级。nk:第k个灰度级出现的频数。第k个灰度级出现的概率 P(rk)=nk/n 其中0rk1，k=0,1,2,.,L-1 形式为：,算例,例,例：设图象有64*64=4096个象素，有8个灰度级，灰度分布如表所示。进行直方图均衡化。,rkr0=0r1=1
7、/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1,nk 790102385065632924512281,p(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02,步骤：,rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1,nk 790102385065632924512281,p(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02,例,1.由（2-2）式计算sk。,rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1,nk 7901023850656
8、32924512281,p(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02,sk计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00,例,rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1,nk 790102385065632924512281,p(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02,sk计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00,sk舍入 1/73/75/76/76/7111,2.把计算的sk就近安排到8个灰度级中。,例,rkr0=0r1=1/7
9、r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1,nk 790102385065632924512281,p(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02,sk计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00,sk舍入 1/73/75/76/76/7111,sk s0s1s2s3s4,nsk 7901023850985448,p(sk)0.190.250.210.240.11,3.重新命名sk，归并相同灰度级的象素数。,例,直方图均衡化,均衡化前后直方图比较,例,由上面的例子可见，利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变换后得到
10、的新灰度的直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直方图平坦得多，而且其动态范围也大大地扩展了。因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。,因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。,产生简并现象的根源是利用变换公式 求新灰度时，所得到的 往往不是允许的灰度值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，一些相邻的 值
11、变成了相同的 值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。,那么为什么会有简并现象呢？,减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如，通常用8bit来代表一个像素，而现在用12bit来表示一个像素，这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。另外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放大。,那么如何减少简并现象呢？,均衡化,直方图均衡化,直方图均衡化实质上是减少图象的灰度级以换取对比度的加大。在均衡过程中，原来的直方图上频数较小的灰度级被归入很少几个或一个灰度级内，故得不到增强。
12、若这些灰度级所构成的图象细节比较重要，则需采用局部区域直方图均衡。,直方图调整法,（二）直方图匹配 修改一幅图象的直方图，使得它与另一幅图象的直方图匹配或具有一种预先规定的函数形状。目标：突出我们感兴趣的灰度范围，使图象质量改善。,连续灰度的直方图原图,连续灰度的直方图规定,直方图匹配,令P(r)为原始图象的灰度密度函数，P(z)是期望通过匹配的图象灰度密度函数。对P(r)及P(z)作直方图均衡变换，通过直方图均衡为桥梁，实现P(r)与P(z)变换。,所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一个 pr(r)和 pz(z)间的中介，在 pr(r)，pz(z)间搭建一座桥梁，建立 r 与 z 的关系
13、。,首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函数是。对这幅图像也作均衡化处理，即：,因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以 和 具有同样的均匀密度。其中式(417)的逆过程为,(418),这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级 来代替逆过程中的，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数 的灰度级。,直方图匹配变换公式推导图示,直方图匹配,步骤：（1）由 各点灰度由 r映射成s。（2）由 各点灰度由 z映射成v。,直方图匹配,步骤：（3）根据v=G(z),z=G-1(v)由于v,s有相同的分布，逐一取 v=s，求出与r对应的z=G-1(s)。,直方图匹配
14、,离散灰度级情况：由（1）、（2）计算得两张表，从中选取一对vk,sj，使vksj，并从两张表中查得对应的rj，zk。于是，原始图象中灰度级为rj 的所有象素均映射成灰度级zk。最终得到所期望的图象。,实 例,灰度动态范围较窄观察直方图分布,对比度拉伸灰度动态范围变宽,灰度动态范围变宽观察直方图分布,直方图均衡化灰度动态范围扩展,对比度扩展,直方图均衡化,original,Desired histogram,After,Histogram Matching(Specification),Example-Application,We wish to check if a circuit boar
15、d(image 1)matches the template(image 2)from which it was manufactured.Any defects?,1-Manufactured,2-Template,Compute difference image(defined later),threshold by setting pixels with non-zero absolute difference to 1 and all other pixels to 0:,Example-Application,What if the overall brightness of ima
16、ge 1 is different from that of image 2?,1-Manufactured,2-Template,Difference image is white everywhere because there is a difference in the brightness of all pixels.One solution would be to match the histograms of the two images and then do the subtraction.,给出一幅4bit 的图象，作出个灰度级出现的频数与灰度级的对应关系直方图，并进行直方图均衡。,习题：,已知一幅图象如下所示，即半边为深灰色，灰度等级为1/7，另半边为黑色，灰度级为0。假定 0，1 划分为8个灰度级，试对此图象进行直方图均衡化处理，并描述一下均衡化后的图象是一幅什么样的图象。,习题：,
