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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,说明:,因此积分限必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广:设空间曲线
2、弧的参数方程为,则,例1.计算,其中 L 是抛物线,与点 B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点 O(0,0),例2.计算半径为 R,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量 I(设线密度=1).,解:建立坐标系如图,则,例3.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,例5.计算,其中 为球面,被平面 所截的圆周.,解:由对称性可知,例6.计算,其中 为球面,解:,化为参数方程,则,内容小结,1.定义,2.性质,(l 曲线弧 的长度),3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,补充,1.已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,
