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1、,空间与图形的教学应用与研究,楚雄金鹿中学,赵继雄,一、拓展了认识视野。二、推动了学习思考。三、提升了对经验的总结（一）“空间与图形”的教育价值1、培养学生初步的空间观念。2、提高学生解决实际问题的能力，增强应用的意识。3、有助于培养学生的学习兴趣，促进科学精神和态度的形成。4、培养和提高学生的审美情趣，发展数学直觉。（二）“空间与图形”的课程目标,教材编制的几个问（一）把握好教学要求（二）应从学生的已有生活经验出发（三）培养学习兴趣“空间与图形”的编排特点（一）凸显生活化和现实性。（二）凸显过程性与体验性。（三）凸显实践性与应用性。（四）凸显开放性与创造性,空间与图形”的教学建议（一）呈现现
2、实背景，丰富感知有效基础 1、提供生活情景 2、摄取生活原型 3、激活生活经验 4、赋予实际意义（二）注重探究体验，促进建构重要形式 1、拓宽渠道，强化感知（直观观察实践操作 有机结合）2、多种形式，建立表象（列举变式类比想象描述）3、自主探究，活动体验（提供空间构建过程）,（三）运用科技手段，优化效果优化手段 1、动态模拟，准确构建 2、创设环境，高效学习（四）联系实践应用，发展提升良好土壤 1、合作互动，营造氛围 2、实践应用，拓展提升,一、对“空间与图形”的整体思考1对于空间与图形，请写出您认为最重要的核心词。2在课程标准中，空间与图形的学习包括哪些内容？这些内容与过去有哪些变化？这种变
3、化的意义是什么？四个部分之间的关系是什么？3在这部分教学中，请写出您印象最深刻的教学现象？您还有哪些困惑的问题？,1义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面 向全体学生，实现：-人人学有价值的数学；-人人都能获得必需的数学；-不同的人在数学上得到不同的发。,2数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是
4、现代文明的重要组成部分。,3学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。,4数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中
5、真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。,5评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。,6现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容
6、和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。,标准中不仅使用了了解（认识）、理解、掌握、灵活运用等刻画知识技能的目标动词，而且使用了经历（感受）、体验（体会）、探索等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了标准对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。,空间与图形”是数学课程内容的四个领域之一 空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出
7、立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考,一、总体目标 通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能 力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。经历直观认识简单几何体和平面图形的过程，了解简单几何体
8、和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，能初步描述物体的相对位置，获得初步的测量（包括估测）、识图、作图等技能。经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程，了解简单几何体和平面图形的基本特征，能对简单图形进行变换，能初步确定物体的位置，发展测量（包括估测）、识图、作图等技能。,经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握三角形、四边形、圆的基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等的基本性质，初步认识投影与视图，掌握基本的识图、作图等技能；体会证明的必要性，能证明三角形和四边形的基本性质，掌握基本的推理技能。在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中，发展空间观
9、念。在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图案的过程中，进一步发展空间观念。在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。,二、空间与图形在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法
10、，发展空间观念。,推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。,（一）具体目标1图形的认识(1)点、线、面 通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。（2）角 通过丰富的实例，进一步认识角。会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单
11、换算 了解角平分线及其性质,（3）相交线与平行线角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。了解线段垂直平分线及其性质。知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。,知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。（4）三角形
12、了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。探索并掌握三角形中位线的性质。了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角形是等腰三角形的条件3；了解等边三角形的概念并探索其性质。了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质4和一个三角形是直角三角形的条件5体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。,（5）四边形探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、
13、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。探索并掌握平行四边形的有关性质1和四边形是平行四边形的条件2。（注解 1 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。2 一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。）,探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质3和四边形是矩形、菱形、正方形的条件4。（注解 3 矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。4 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。）探索并了解等腰梯形的有关性质5和四边形是等腰梯形的条件6。
14、（注解 5 等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等。6 同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。）,探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的短形木板的重心）。通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。,（6）圆。理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。了解三角形的内心和外心。了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一
15、点画圆的切线。会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。,（7）尺规作图。完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。,（8）视图与投影。会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。了解直棱柱、圆锥
16、的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。,通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。通过实例了解中心投影和平行投影。,2图形与变换。（1）图形的轴对称。通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段
17、被对称轴垂直平分的性质。能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。,（2）图形的平移。通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。能按要求作出简单平面图形平移后的图形。利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。,（3）图形的旋转。通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与
18、旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。了解平行四边形、圆是中心对称图形。能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。欣赏旋转在现实生活中的应用。探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。参见例2和例3 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。,（4）图形的相似。了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。,通过典型实例观察和认识
19、现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA,tanA），知道30，45,60角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。,3图形与坐标。（1）认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。参见例4（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置参见例5（3）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化参见例6（4）灵活运用不同的方式确定物体的位置。参见例7,4
20、图形与证明。（1）了解证明的含义。理解证明的必要性。通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。通过实例，体会反证法的含义。掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。,（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据。一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等。全等三角形的对
21、应边、对应角分别相等。,（3）利用（2）中的基本事实证明下列命题1（注解1练习和考试中与证明有关的题目难度，应与所列命题的论证难度相当。）平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行。三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）。直角三角形全等的判定定理。,角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。三角形中位线定理。等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。平行四边形、矩形、菱形、正方形
22、、等腰梯形的性质和判定定理。（4）通过对欧几里得原本的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。,（二）案例例1以树干为对称轴，画出树的另一半。例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的？例3观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？例4在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来：（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；,（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；（4，4），（5，4），（5，5），（4，
23、5），（4，4）；（3，3）。观察这个图形，你觉得它像什么？,例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置：例6 如图所示，在直角坐标系下，图1中的图案“A”经过变换分别变成图2图6中的相应图案（虚线对应于原图案），试写出图2图6中各项点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。,例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如下图）。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；（2）填空：百鸟园在大门的北偏东 度的方向上，到大门的图上距离 约为 厘米；熊猫馆在大门的北偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；驼峰在大门的南偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米。说明 本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外。还可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。,2010年10月,谢谢,
